2022届高考数学冲刺课第9讲函数值域技巧、数形结合技巧课件(共61张PPT)

(共61张PPT)
高考数学冲刺（9）
函数值域技巧、数形结合技巧
主讲人： |
2
01
椭圆
焦点三角形中的秒杀结论
02
椭圆
焦点、通径、渐近线秒杀技巧
03
椭圆
中点弦模型
04
函数
奇偶性、单调性、周期性秒杀技巧
05
综合
线性规划、二项式、不等式秒杀
06
数列
列举法秒杀数列
07
数列
数列四大求和方法
08
综合
排列组合七大解题策略
09
函数
函数值域技巧、数形结合技巧
10
综合
巧解高考小题
本节说明
求函数值域的常用方法：
1.换元法 2.分离常数法 3.基本不等式法
4.导数法 5.数形结合法 6.判别式法
7. 配方法 8. 单调性法 9.观察法
3
方法1
方法2
方法3
方法4
方法5
方法6
方法7
方法8
4
1.换元法
解题步骤：
第一步：观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步：另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
1.求函数的值域.
方法1
5
例题
2.求函数的值域.
(1)对形如的函数，可以考虑换元，消掉根号，化成一个二次函数.
(2)在任何地方换元，都要注意新元的取值范围，它就是新函数的定义域.
(3)由于,所以当已知中同时又有的和或差的形式
以及积的形式，也可以考虑换元，化成二次函数.
方法1
6
例题
第二问经过一系列的推理化简得到，,求d的取值范围.
方法1
7
例题
解析： ，
令则
,易知在（1,]上是减函数，
所以
方法1
8
练习
第二问解答时有这么一步需要求
取得最小值时的值，
我们也可以直接当成求红色部分的取值范围（值域）,
方法1
9
练习
1.本题重点为求函数的值域.
方法1
10
练习
1.本题重点为求函数的值域.
解析：令则,
所以
换元后转化为二次函数求最值，计算即可.
方法1
11
2.分离常数法
解题步骤：
第一步：观察函数类型，型如;
第二步：对函数成形式；
第三步：求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.
方法2
12
例题
1.函数,()的值域为 .
2.函数的值域为 .
方法2
13
3.基本不等式法
解题步骤：
第一步：观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步：对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，
进而得到函数的值域.
方法3
例题
1.已知求函数的最小值.
2.求函数的最小值.
14
方法3
例题
1.已知求函数的最小值.
解析：因为所以
当且仅当 ，
即上式等号成立.
因为在定义域内，
所以最小值为1.
2.求函数的最小值.
解析：由题意得
+
当且仅当
即时等号成立.
所以函数最小值为
15
方法3
例题
3.(杭州模拟)已知实数若的值域为 .
方法3
例题
3.(杭州模拟)已知实数若的值域为 .
解析：
,其中,
所以
当且仅当等号成立，又当时， 取最大值,
故值域为[0,].
方法3
18
例题
4.(浙江卷)点P(0,-1)是椭圆C:的一个顶点，C的长轴是圆的直径，过点P且垂直的两条直线，其中交圆与A，B两点， 交椭圆于另一点D.
（2）求△ABD的面积取最大值时直线的方程.
第二问经过一系列的计算会得到,,求为何值时， 最大.
方法3
19
例题
解析：
当且仅当即或时等号成立.
方法3
20
练习
1.（湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 .
此题在第一讲中利用“交通线“秒杀结论来做的，较简单，若不用秒杀结论来做则会得到下面的式子:
假设离心率的倒数之和的平方为，则,，求其最大值.
方法3
21
练习
解析： ,
当即等号成立，
故最大值为离心率的倒数之和的最大值为.
方法3
22
练习
2.(全国II卷)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个定点，直线与AB交于点D,与椭圆交于E，F两点.（2）求四边形AEBF面积的最大值.
第二问经过一系列的计算会得到，求其最值.
方法3
23
练习
解析，
当且仅当，即时取等号,
故四边形AEBF面积的最大值为.
方法3
24
4.数形结合法
1.求函数的值域.
2. 当,函数最小值为（ ）
A. 4 B. C.4 D.
方法4
25
例题
方法4
26
例题
3.对，记,函数的值域是 .
方法4
27
5.导数法
1.是抛物线C：上一点，A，B是C上的两点，线段AB被直线OM平分且P,求△ABP面积的最大.
此题在经过一系列的推理计算会得到,
,求最大值.
方法5
28
例题
解析：,
令 ,,则
令,则,
由0,所以
故△ABP面积的最大值为
方法5
求函数值域的常用方法：
1. 换元法 2. 分离常数法 3. 基本不等式法
4.导数法 5.数形结合法 6.判别式法
7. 配方法 8. 单调性法 9.观察法
当堂总结
以下内容为选讲内容，建议作为材料包
31
5.导数法
1.（浙江卷）已知P（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C：交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.求△ABP的面积取最大时直线l的方程.
此题在经过一系列的推理计算会得到,
,求为值时，最大.
方法5
32
练习
解析：可以先求出面积的平方再开方来算. ,
令
求导得
,
因为,所以当时， 单调递增，
当时， 单调递减；
当= 时，△ABP的面积取得最大值.
方法5
3.不等式法
方法3
1.
在第二问中有 = ,求其范围.
34
3.不等式法
1.求函数， 的值域.
解析：令,,则
所以
又因为
所以值域为.
方法3
35
3.不等式法
2.已知椭圆C:l经过定点(0,2)，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值.
经过一系列的计算会得到,,求△OAB面积的最大值.
方法3
36
练习
解析：，
当且仅当,即时等号成立，所以最大为1.
故△OAB面积的最大值为1.
方法3
3.
第二问经过一系列的计算会得到,求m的最大值可先求出最大值.
即求函数 的最大值.
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3.不等式法
方法3
3.
第二问经过一系列的计算会得到,求m的最大值可先求出最大值.
即求函数 的最大值.
38
3.不等式法
解析：
令,则，
所以
当即时，取得最大值.
方法3
39
6.判别式法
解题步骤：
第一步：观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，
即得函数的值域.
方法6
40
例题
1.求函数的值域.
2.求函数的值域.
方法6
41
例题
1.求函数的值域.
解析：因为2>0，所以函数的定义域为R.
原函数转化为
整理得
当时，上式可以看成关于的二次方程，时此方程有实数根，
即.
当时，方程为7=0，显然不成立，故,经检验时有解.
所以
方法6
42
7.配方法
1.（重庆）函数的最小值为 .
2.函数的值域为 .
方法7
43
例题
方法7
44
例题
方法7
45
8.单调性法
1.求函数的值域.
2.求函数的值域.
3.求函数的值域.
方法8
46
例题
4.求函数+的值域.
5.求函数的值域.
6.已知,则的最大值.
方法8
数形结合
1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：
一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，
比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；
二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，
如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合
48
数形结合
2.数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.
(5)构建立体几何模型研究代数问题.
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(7)构建方程模型，求根的个数.
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.
数形结合
例题
1.[成都一诊]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，
f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________．
数形结合
50
例题
数形结合
51
例题
2.[江苏卷]已知实数则的取值范围是 .
数形结合
52
例题
解析：作出不等式组对应的平面区域,
设,则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,
由图象知A到原点的距离最大,
点O到直线BC:2x+y-2=0的距离最小,
由得,即A(2,3),此时,
点O到直线BC:2x+y-2=0的距离d=
则
故z的取值范围是[,13],
答案：[,13].
数形结合
53
例题
3.[浙江卷]已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A.1 B.2 C. D.
数形结合
54
例题
数形结合
55
例题
4.[上海卷]如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0, 1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
数形结合
56
例题
数形结合
57
例题
5.
数形结合
58
例题
解析：不妨设
所以
上式表示点到点的距离之和为
故在线段上，
所以问题转化为求点与线段上点的距离的范围问题，
如图，易求得其范围为[].
数形结合
59
例题
6.求函数的值域.
数形结合
60
例题
数形结合
O
x
P
A
B
y
解析表示定点（2，3）到动点（cosx,sinx）的斜率，
又知动点（cosx,sinx）满足单位圆方程，
问题转化为点（2，3）到单位圆上点的连线的斜率问题.
可设出直线方程，临界条件是相切时，原点O到直线的距离等于半径1，
求出斜率即可.
答案：[ ]
61
数形结合
1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.
2.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.
3.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.
4.数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.
数形结合