山东省邹平市第二中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试卷 (1) （word含答案）

2021～2022学年度第二学期开学考试
高二数学 2022.2
本试题共4页，22小题，满分150分.考试时间为120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
2．记为等差数列的前项和．已知，，则　　
A． B． C． D．
3．设函数的导函数为，则图像大致是（ ）。
A. B. C. D.
4. 长方体中，分别在棱，上，且，，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在平面直角坐标系中，直线 绕它与轴的交点按顺时针方向旋转 所得的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
6．已知边长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则点B到平面AEF的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．给出数阵：
其中每行、每列均为等差数列，则此数阵所有数的和为（ ）
A．495 B．900 C．1000 D．1100
8. ，分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
10．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点F到准线l的距离为2 B．焦点，准线方程
C．的最小值是3 D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切
11．如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线与所成角的范围为
D．二面角的大小为
12．己知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）。
A、函数的极小值为
B、函数在上单调递增
C、，使得
D、若，恒成立，则整数的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.圆心为，且与直线相切的圆的标准方程是___________.
14．已知公差不为0的正项等差数列中，为其前项和，若，，也成等差数列，，则等于 ．
15．设函数，，其图像上任意一点处切线的斜率恒成立，则实数的取值范围为 .
16. 已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线E的两条渐近线的交点M N位于y轴左侧，满足，，为坐标原点，则双曲线E的渐近线方程为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
已知函数（）。
（1）若，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。
18. （12分）
如图,在四棱锥中,底面ABCD满足,,底面ABCD且,.
（1）若E是SD的中点,求直线AE到平面SBC的距离;
（2）求平面SDC与平面SBC的夹角的余弦值.
19. （12分）
已知圆的圆心在直线上， 且过点．
（1）求圆的方程；
（2）已知圆上存在点，使得的面积为，求点的坐标．
20．（12分）
设数列的前项和为
（1）求，
（2）设，证明：数列是等比数列
（3）求数列的前项和为．
21. （12分）
已知点，，点P满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且
（1）求点的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（12分）
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
2021～2022学年度第二学期开学考试
高二数学答案 2022.2
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. B 2．A 3．D 4. C 5. C 6．C 7． B 8. A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9． BC 10．ACD 11．ABD 12． BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
14． 30
15．
16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）的定义域为，∵， 1分
由得，解得， 2分
∴，令，即，
解得或， 4分
— +
单调递减 极小值 单调递增
∴在上的最小值是，最大值是； 6分
（2）由题意得：在区间上恒成立，
∴， 8分
又当时，是增函数，其最小值为，∴， 9分
即实数的取值范围是。 10分
18.解：（1）如图建立空间直角坐标系,则
1分
2分
设平面SBC的法向量
则由,得
取 4分
因为,所以平面SBC 5分
所以直线AE到平面SBC的距离即点到平面SBC的距离 7分
（2） 设平面SDC的法向量
则由,得,取 9分
11分
所以平面SDC与平面SBC的夹角的余弦值为 12分
19. 解：（1）由题意知AB所在直线的斜率为，则AB的垂直平分线的斜率为1， 1分
又A（1，3），B（2，2）的中点为，
所以线段AB的垂直平分线为，即， 2分
联立，得圆心C（2，3） 3分
半径， 4分所以圆C方程为； 5分
（2）由题意得AB所在直线方程为，即． 6分
可得|， 7分
因为三角形MAB的面积为，所以点M到直线AB的距离为． 8分
设点M 则， 9分
联立，无解； 10分
联立，得或 11分
所以或 12分
20． 解：（1），， ， 1分
2分
（2）由题设知，①
所以，得②， 3分
②—① 得 ，即， 5分
（常数），是首项为2，公比为2的等比数列． 6分
（3）， ， 7分
数列的前项和， 8分
， 9分
相减得
， 11分
． 12分
21.解：（1）由题意知：，，
由，即， 2分
整理得点的轨迹C的方程为：. 4分
（2）假设在x轴上存在点，使得为定值.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 5分
联立方程消去y得， 6分
令，，则，， 7分
由，，
所以
， 9分
将看成常数，要使得上式为定值，需满足，即， 10分
此时；
当直线l的斜率不存在时，可得，，，
所以，，， 11分
综上所述，存在，使得为定值. 12分
22．解：（1）函数的定义域为，
， 1分
令得或， 2分
当时，，由得或，
所以函数的递增区间为，，递减区间为. 3分
当时，由，所以函数的递增区间为，无递减区间； 4分
当时，，由得或，
所以函数的递增区间为，，递减区间为. 5分
综上，当时，的递增区间为，，递减区间为；
当时，的递增区间为，无递减区间；
当时，的递增区间为，，递减区间为. 6分
(2)∵，所以， 7分
由（1）知当时，，所以函数在上单调递减， 8分
则，， 9分
∵对，不等式恒成立，
∴，
即对恒成立， 10分
令，则函数在上单调递增， 11分
所以.
所以实数m的取值范围为. 12分2