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17.1 勾股定理
一、单选题
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=5，BD=4，DC=2，则AC等于（ ）
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A．13 B． C． D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用AD⊥BC得到两个直角三角形,分别在直角三角形中用勾股定理求边长即可解题.
【详解】
解：∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ADB中,∵AB=5，BD=4，
∴AD=3,（勾股定理）
在Rt△ADC中,∵DC=2，
∴AC=,
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用,属于简单题,熟悉勾股定理的概念是解题关键.
2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方 ( http: / / www.21cnjy.com )向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )www.21-cn-jy.com
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A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
【答案】D
【分析】
根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=（海里）
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
3．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】
分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题.
【详解】
解：当3为斜边时,
32=22+x2,解得：x=,
当x为斜边时,
x2=32+22,解得：x=,
∴x为或,
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,分类讨论是解题关键.
4．下图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是( )
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A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
【答案】C
【分析】
根据"弦图",说明了直角三角形的三边之间的关系,解决的问题是:勾股定理即可得出
【详解】
解:"弦图",说明了直角三角形的三边之间的关系,解决的问题是:勾股定理.
故选 C
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
5．如图，是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
【答案】B
【解析】
试题解析：如图，
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由题意得：AC=10×5=50cm，
BC=20×6=120cm，
故AB=cm．
故选B．
6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
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A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【解析】
试题分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
试题解析：连接AC，如图：
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根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
考点：勾股定理．
7．如图所示的图形中，所 ( http: / / www.21cnjy.com )有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为SA、SB、SC、SD、SE、SF，则下列各式正确有（ ）个.
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① SA+SB+SC+SD=49；② SE+SF=49；③ SA+SB+SF=49；④ SC+SD+SE=49【来源：21cnj*y.co*m】
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
如下图,根据勾股定理得a2+b2=e2、c2+d2=f2、e2+f2=g2,即a2+b2+c2+d2 =g2即可解题.【版权所有：21教育】
【详解】
解：如下图,设正方形的边长分别为a、b、c、d、e、f、g,
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根据正方形的面积公式等于边长的平方,
∴四边形A的面积是a2,四边形B的面积是b2,
a、b是对应直角三角形的直角边,根据勾股定理,则有a2+b2=e2;
同理,四边形C的面积是c2,四边形D的面积是d2,
c、d是对应直角三角形的直角边,根据勾股定理,则有c2+d2=f2;
根据正方形的对边相等,e、f就是下面大直角三角形的直角边,根据勾股定理,得到e2+f2=g2,
∵g是最大的正方形边长为7cm,
∴正方形A、B、C、D面积之和为7×7=49平方厘米.
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,利用图形找到直角边和正方形的边长之间的关系是解题关键.
8．如图，，，，，垂足分别为，，，，则（ ）
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A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】
先证△BCE≌△ACD，得DE=CE-CD=AD-BE；由勾股定理得AD=.
【详解】
∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠BEC=∠CDA=90° ∠DCA+∠DAC=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠DCA+∠ECB=90° 21教育名师原创作品
∴∠ECB=∠DAC
又∵BC=AC
∴△BCE≌△ACD
∴CE=AD，BE=CD=5
∴DE=CE-CD=AD-BE
又∵AD=
∴DE=CE-CD=AD-BE=12-5=7
故选A
【点睛】
勾股定理和全等三角形判定和性质的综合运用.
9．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示 ( http: / / www.21cnjy.com )意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）21cnjy.com
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A．51 B．49 C．76 D．无法确定
【答案】C
【解析】
试题解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169，
解得x=13．
故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．
故选C．
10．在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m)( )．
A．20m B．25m C．30m D．35m
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出图形，题目已知条件是：已 ( http: / / www.21cnjy.com )知旗杆AB高21m，目测点C到杆的距离CD为15m，目高CE为1m.在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC即可.
【详解】
如图，已知AB＝21m，CD＝15m，CE＝1m，
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∵∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE＝1.
在Rt△BCD中，∵∠CDB＝90°，
CD＝15，BD＝AB－AD＝21－1＝20，
∴BC＝＝＝25m，
即目测点到杆顶的距离为25m.故选B.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意正确画出图形是解题的关键.
11．如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）
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A．12cm B．cm C．15cm D．cm
【答案】C
【解析】
分析：要求圆柱体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将圆柱体展开,然后利用两点之间线段最短解答.【来源：21·世纪·教育·网】
详解：圆柱体的展开图如图所示:用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是:;即在圆柱体的展开图长方形中,将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短;21*cnjy*com
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∵圆柱底面半径为cm,
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长:=4cm;
又∵圆柱高为9cm,
∴小长方形的一条边长是3cm;
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5cm;
∴AC+CD+DB=15cm;
故选C.
点睛：本题主要考查了圆柱的计 ( http: / / www.21cnjy.com )算、平面展开--路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形,此长方形的宽等于圆柱底面周长,长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展开成长方形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.www-2-1-cnjy-com
12．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可．
【详解】
设直角三角形的两条直角边分别为x、y，
斜边上的中线为d，
斜边长为2d，
由勾股定理得，，
直角三角形的面积为S，
，
则，
则，
，
这个三角形周长为：，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，得出．
二、填空题
13．在△ABC中，∠B＝90度，BC＝6，AC＝8，则AB＝_____．
【答案】2
【解析】
由勾股定理得，AB=2.
14．我国古代有这样一道数学问 ( http: / / www.21cnjy.com )题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何 ”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.
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【答案】25.
【解析】
试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为=25（尺）．2-1-c-n-j-y
故答案为25．
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考点：平面展开最短路径问题
15．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为____________________．
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【答案】
【分析】
根据图示，得到圆的半径为，所以A点表示的数为．
【详解】
∵圆的半径为，
∴A点表示的数为
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，关键是要判断出圆的半径，然后根据实数计算法则求解即可．
16．如图，在三角形纸片ABC中，∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为___．21·cn·jy·com
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【答案】4
【解析】
试题分析：∵△BDE由△BCE翻折而成，∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°．
∵AD=BD，∴AB=2BC，AE=BE．∴∠A=30°．
在Rt△ABC中，∵AC=6，∴BC=AC tan30°=6×=2．
设BE=x，则CE=6﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x，
∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4．
∴折痕BE的长为4．
17．如图，小巷左右两侧 ( http: / / www.21cnjy.com )是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_____m．
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【答案】2.2
【分析】
作出图形,利用定理求出BD长,即可解题.
【详解】
解：如图,
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在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,
∴AB2=0.72+2.42=6.25,
在Rt△BD中,∠DB=90°, D=2米,BD2+D2=B2,
∴BD2+22=6.25,
∴BD2=2.25,
∵BD0,
∴BD=1.5米,
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用,属于简单题,利用勾股定理求出BD的长是解题关键.
18．已知等腰三角形的一边长为10,面积为30,该三角形的周长为__________.
【答案】10+2或20+2或20+6
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，分情况讨论即可得出周长
【详解】
当10为底边长时,高为6,根据勾股定理,腰长为=,此时三角形的周长为10+2；
当10为腰长时,设底边长为x,根据三角形的面积为30,可得高为,
由勾股定理可得, +x2=100,解得x=3或,
当x=3时,三角形的周长为20+6;
当x=时,三角形的周长为20+2.
故答案为10+2或20+2或20+6
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键.
三、解答题
19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BD=2CD=2，试求AB的长.
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【答案】
【解析】
【分析】
过点B作BE⊥AC于E,设AE=x,则BE=x,AB=2x,CE=,再根据勾股定理可知:AB2-BD2=AD2=AC2-CD2,将各值代入,即可求出x的值,进而求出AB的长.21教育网
【详解】
解：过点B作BE⊥AC于E，则BE=AE,设AE=x，则BE=x,AB=2x,
∵BD=2CD=2，
∴BD=2，CD=1，BC=3.
∴CE==,
由AB2﹣BD2=AD2=AC2﹣CD2，得4x2-4=(x+)2-1,
∴4x2-4=8-2x2+2x,3x2-6=x,9x4-36x2+36=9x2-3x4,
4x4﹣15x2+12=0，
∴x2=,又
∴x=不合题意,
故x=,∴AB==
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【点睛】
本题考查勾股定理的知识,难度较大,解题关键是过点B作BE⊥AC,构建直角三角形,以便灵活运用勾股定理.
20．如图,圆柱形玻璃杯的高为1 ( http: / / www.21cnjy.com )8cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为多少
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【答案】20cm.
【分析】
作A关于EF的对称点A',连接A'B, 根据两点之间线段最短可知A'B即为所求，根据勾股定理即可解得.
【详解】
如图:作A关于EF的对称点A',连接A'B,
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易知A'B的长为最短距离,
由勾股定理得得A'B==20 (cm).
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是转化为直角三角形的问题.
21．如图，在△ABC中，AC=B ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：CD=BE；（2）已知CD=2，求AC的长；（3）求证：AB=AC+CD．21·世纪*教育网
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【答案】（1）详见解析；（2）2+2；（3）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）先根据题意 ( http: / / www.21cnjy.com )判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；【出处：21教育名师】
（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论；21*cnjy*com
（3）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出结论．
试题解析：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴CD=DE，
∴CD=BE；
（2）∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，
∴DE=BE=CD=2，
∴BD=，
∴AC=BC=CD+BD=2+2；
（3）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC．
∵由（1）知CD=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边距离相等是解答此题的关键.
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.
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【答案】见解析
【分析】
连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD 、AM 、BM 进行代换就可以最后得到所要证明的结果．
【详解】
证明：连接MA，
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∵MD⊥AB，
∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，
∵∠C=90°，
∴AM2=AC2+CM2
∵M为BC中点，
∴BM=MC．
∴AD2=AC2+BD2
【点睛】
本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．2·1·c·n·j·y
23．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
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【答案】（1）12米；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高 ( http: / / www.21cnjy.com )度，下滑1米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】
解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO===12（米）；
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA′=12﹣5=7（米），根据勾股定理：OB′===2 （米），
∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣5）米
答：当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了（2﹣5）米.
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求OB′的长度是解题的关键．
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17.1 勾股定理
一、单选题
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=5，BD=4，DC=2，则AC等于（ ）
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A．13 B． C． D．5
2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60° ( http: / / www.21cnjy.com )方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )21教育网
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A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
3．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
4．下图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是( )
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A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
5．如图，是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）21cnjy.com
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
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A．90° B．60° C．45° D．30°
7．如图所示的图形中，所有四边形都是正方形， ( http: / / www.21cnjy.com )所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为SA、SB、SC、SD、SE、SF，则下列各式正确有（ ）个.
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① SA+SB+SC+SD=49；② SE+SF=49；③ SA+SB+SF=49；④ SC+SD+SE=4921·cn·jy·com
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，，，，，垂足分别为，，，，则（ ）
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A．7 B．8 C．9 D．10
9．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图 ( http: / / www.21cnjy.com )，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．51 B．49 C．76 D．无法确定
10．在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m)( )．【来源：21·世纪·教育·网】
A．20m B．25m C．30m D．35m
11．如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）
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A．12cm B．cm C．15cm D．cm
12．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在△ABC中，∠B＝90度，BC＝6，AC＝8，则AB＝_____．
14．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根 ( http: / / www.21cnjy.com )直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何 ”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 尺.
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15．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为____________________．
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16．如图，在三角形纸片ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为___．21世纪教育网版权所有
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17．如图，小巷左右两侧是竖直的 ( http: / / www.21cnjy.com )墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_____m．
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18．已知等腰三角形的一边长为10,面积为30,该三角形的周长为__________.
三、解答题
19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BD=2CD=2，试求AB的长.
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20．如图,圆柱形玻璃杯的高为 ( http: / / www.21cnjy.com )18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为多少
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21．如图，在△ABC中，AC=BC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：CD=BE；（2）已知CD=2，求AC的长；（3）求证：AB=AC+CD．2·1·c·n·j·y
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22．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.
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23．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
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