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17.1 勾股定理
一、单选题
1．在中，，若，，则的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．7
2．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（ ）
A．13 B．8 C． D．
3．在Rt△中，，，则（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
4．如图在5×5的正方形网格中（每个小正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的边长为1个单位长度），格点上有A、B、C、E五个点，若要求连接两个点所成线段的长度大于3且小于4，则可以连接（ ）21教育网
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A．AE B．AB C．AD D．BE
5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．13 B．26 C．34 D．47
6．如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ）
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A．13 B．169 C．12 D．5
7．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（ ）
A．4 B．2或 C．4或 D．2或
8．如图，直线 l上有三个正方形 a、b、c ，若 a、c的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）
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A．4 B．6 C．16 D．55
9．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（ ）21cnjy.com
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A．14 B．13 C．14 D．14
10．在中，，， ，则=（ ）．
A． B． C． D．
11．如图，校园内有两棵树，相距8 ( http: / / www.21cnjy.com )米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）21·cn·jy·com
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
12．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（ ）www.21-cn-jy.com
A．8米 B．10米 C．12米 D．13米
13．如图，数轴上点A，B分别对应1 ( http: / / www.21cnjy.com )，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )
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A． B． C．+1 D．+1
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（4，0），点的坐标为（0，3），以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．（1，0） B．（－1，0） C．（－5，0） D．（5，0）
15．若直角三角形两直角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（ ）
A．13：12 B．169：25 C．13：5 D．12：5
16．“折竹抵地”问题源自《 ( http: / / www.21cnjy.com )九章算术》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺
17．老师要求同学们设计一个测量某池塘两端 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（ ）21·世纪*教育网
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A．19m B．19m C．12m D．12m
18．将一根长为17cm的筷子，置于内半径为3cm、高为8cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
二、填空题
19．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于____cm．
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20．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式______．
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21．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么的值是____．2-1-c-n-j-y
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22．如图，点，把线段分割成三条线段，和，若以，和为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．若，，则的长的平方为____．21*cnjy*com
23．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )10，BC＝12，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝______．【来源：21cnj*y.co*m】
24．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形……以此规律，则点的坐标是_____．【出处：21教育名师】
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25．如图，一架长5米的梯 ( http: / / www.21cnjy.com )子A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了_____米．21教育名师原创作品
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26．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对 ( http: / / www.21cnjy.com )应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ．21*cnjy*com
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27．如图，有一个由传感器A ( http: / / www.21cnjy.com )控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m内，灯就会自动发光，小明身高1.5m，他走到离墙_______的地方灯刚好发光.
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28．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_____．
三、解答题
29．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2=c2；
（2）如果大正方形的面积是6,小正方形的面积是2,求（a+b）2的值．
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30．如图，在中，中，，，垂直平分，分别交，于点，，平分，与的延长线交于点．
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（1）求的长度；
（2）连接，求的长度．
31．如图，点在线段上，，，点在线段上，且满足，连接并延长交于点，连接，．
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（1）求证：；
（2）若已知，，，设，则的面积用代数式可表示为．你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧！
32．在甲村至乙村的公路上有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且，如图所示为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否因为有危险而需要暂时封锁？请说明理由．
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33．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
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34．“中华人民共和国道 ( http: / / www.21cnjy.com )路交通管理条例”规定：小汽车在高速公路上的行驶速度不得超过120千米/小时，不得低于60千米/小时，如图，一辆小汽车在高速公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到“车速检测点”正前方60米处，过了3秒后，测得小汽车位置与“车速检测点”之间的距离为100米，这辆小汽车是按规定行驶吗？
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35．已知：如图，一块Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的绿地，量得两直角边AC=8cm，BC=6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩充等腰△ABD的周长.
（1）在图1中，当AB=AD=10cm时，△ABD的周长为 ．
（2）在图2中，当BA=BD=10cm时，△ABD的周长为 ．
（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长.
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17.1 勾股定理
一、单选题
1．在中，，若，，则的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
Rt△ABC，∠C＝90°，则根据勾股定理AB2＝AC2＋BC2即可求AB的长度．
【详解】
在直角△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理可得，所以．故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理是解题的关键．
2．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（ ）
A．13 B．8 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
【详解】
解：作底边上的高并设此高的长度为x，
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由等腰三角形三线合一的性质可得高线平分底边，
根据勾股定理得：52+x2=122，
解得x=
【点睛】
本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．21cnjy.com
3．在Rt△中，，，则（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【分析】
根据勾股定理即可得到结论.
【详解】
∵Rt△中，，，
∴2=18
故选B.
【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容.
4．如图在5×5的正方形网格中（每个小正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的边长为1个单位长度），格点上有A、B、C、E五个点，若要求连接两个点所成线段的长度大于3且小于4，则可以连接（ ）【出处：21教育名师】
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A．AE B．AB C．AD D．BE
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AD，BE，根据算术平方根的大小比较方法解答．
【详解】
AE=4，
AB=3，
由勾股定理得AD=，3＜＜4，
BE==5．
故选C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有 ( http: / / www.21cnjy.com )的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）21*cnjy*com
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A．13 B．26 C．34 D．47
【答案】D
【分析】
根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的 ( http: / / www.21cnjy.com )平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和.
【详解】
由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．
故选D．
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【点睛】
此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键.
6．如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ）
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A．13 B．169 C．12 D．5
【答案】A
【分析】
由正方形的面积公式可知AC ( http: / / www.21cnjy.com )2=25，BC2=144，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求AB2．即可得出AB的长．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
又∵AC2=144，BC2=25，
∴AB2=25+144=169，
∴AB==13．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．
7．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（ ）
A．4 B．2或 C．4或 D．2或
【答案】C
【分析】
分5为斜边和5为直角边两种情况，根据勾股定理计算．
【详解】
因为一个直角三角形的两边长分别为3和5，所以当5是此直角三角形的斜边长时，设另一直角边长为，则由勾股定理得，解得；当5是此直角三角形的直角边长时，设斜边长为，则由勾股定理得，解得．故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是知道如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
8．如图，直线 l上有三个正方形 a、b、c ，若 a、c的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）
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A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵a、b、c都是正方形，
∴A ( http: / / www.21cnjy.com )C=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选：C．21教育网
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【点睛】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
9．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（ ）
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A．14 B．13 C．14 D．14
【答案】D
【分析】
24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．
【详解】
解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长=24-10=14，
∴EF=．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
10．在中，，， ，则=（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依题意可设，，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而可得答案.
【详解】
解：如图，设，，根据勾股定理，得：，解得，∴.
故选B.
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【点睛】
本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
11．如图，校园内有两棵树，相距8 ( http: / / www.21cnjy.com )米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）www-2-1-cnjy-com
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
【答案】C
【解析】
如图所示，
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AB，CD为树，且AB=13，CD=8，B ( http: / / www.21cnjy.com )D为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=8，AE=AB-CD=6，
在直角三角形AEC中，
AC=10米，
答：小鸟至少要飞10米．
故选C．
12．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．13米
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为x米，在Rt△ACH利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
如图，已知AB=AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD=1米，CH=5米，设AB=AC=x米．
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在Rt△ACH中，∵AC2=AH2+CH2，
∴x2=52+（x-1）2，
∴x=13，
∴AB=13（米），
故选：D．
【点睛】
此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．
13．如图，数轴上点A，B分别对应1， ( http: / / www.21cnjy.com )2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )
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A． B． C．+1 D．+1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意求出BC，根据勾股定理求出AC，得到AM的长，根据数轴的性质解答．
【详解】
解：由题意得，BC=AB=1，
由勾股定理得，AC=，
则AM=，
∴点M对应的数是+1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（4，0），点的坐标为（0，3），以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为（ ）
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A．（1，0） B．（－1，0） C．（－5，0） D．（5，0）
【答案】B
【分析】
直接利用勾股定理得出AB的长，再利用圆的性质得出CO的长，即可得出答案．
【详解】
∵点的坐标为（4，0），点的坐标为（0，3），
∴，，
∴．
∵以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，
∴，
则点的坐标为（－1，0）．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理，正确得出CO的长是解题关键．
15．若直角三角形两直角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（ ）
A．13：12 B．169：25 C．13：5 D．12：5
【答案】C
【解析】
【分析】
若直角三角形两直角边的比为5：12，根据勾股定理可知，它们与斜边的比是5：12：13，所以斜边与较小直角边的比为13：5．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵直角三角形两直角边的比为5：12，设一直角边为5x，则另一直角边为12x，
根据勾股定理得斜边为，
∴斜边与较小直角边的比为13x：5x=13：5．
故选C．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理来解直角三角形.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
16．“折竹抵地”问题源自《九章算术》 ( http: / / www.21cnjy.com )，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺
【答案】B
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10 x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺．
根据勾股定理，得，
解得，
∴折断处离地面的高度为4.2尺．故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
17．老师要求同学们设计一个测量某池塘两 ( http: / / www.21cnjy.com )端A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（ ）
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A．19m B．19m C．12m D．12m
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用直角三角形的性质结合勾股定理得出答案．
【详解】
∵∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，
∴设AB＝x，则BC＝2x，
∴AC2+AB2＝BC2，
即362+x2＝（2x）2，
解得：x＝12．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
18．将一根长为17cm的筷子，置于内半径为3cm、高为8cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图，当筷子的底端在A点 ( http: / / www.21cnjy.com )时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出x的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短在中，，，所以，则，此时，所以的取值范围是．故选B．
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【点睛】
本题考查勾股定理的应用，能够读懂题意和求出x的值最大值与最小值是解题关键．
二、填空题
19．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于____cm．
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【答案】7
【分析】
根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】
在中，，，，由勾股定理，得，由翻折的性质，得，的周长为7（cm）．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题关键．
20．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式______．
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【答案】c2=a2+b2
【分析】
该图形的面积是由3个直角三角形组成的一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答.
【详解】
解：依题意得：ab+c2+ab=(a+b)(a+b)，
ab+c2+ab=(a2+2ab+b2)，
ab+c2+ab=a2+ab+b2，
c2=a2+b2，
c2=a2+b2.
故答案是：c2=a2+b2.
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，解题时，采用了分割法求图形的面积.
21．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么的值是____．21·cn·jy·com
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【答案】1.
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求得a2 ( http: / / www.21cnjy.com )+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得a2+b2=13，
四个直角三角形的面积是：
ab×4=13-1=12，即：2ab=12，
则（a-b）2=a2-2ab+b2=13-12=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
22．如图，点，把线段分割成三条线段，和，若以，和为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．若，，则的长的平方为____．
【答案】5或13
【分析】
分两种情况：①当为最长线段时，②当为最长线段时，再结合勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】
分两种情况：①当为最长线段时，因为点，是线段的勾股分割点，所以；②当为最长线段时，因为点，是线段的勾股分割点，所以．综上所述，的长的平方为5或13．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理和分情况讨论问题.
23．在等腰三角形ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝AC＝10，BC＝12，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝______．
【答案】9.6
【分析】
如图连接AD，作AH⊥BC于H．首先利用勾股定理求出AH，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，DE⊥AB，DF⊥AC，可得 BC AH= AB DE+ AC DF，由此即可解决问题．
【详解】
如图，连接AD，作AH⊥BC于H．
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∵AB=AC=10，AH⊥BC，∴BH=CH=6．在Rt△ABH中，AH===8．
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ BC AH= AB DE+ AC DF，∴6×8=5DE+5DF，∴DE+DF=9.6．21教育名师原创作品
故答案为9.6．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形……以此规律，则点的坐标是_____．
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【答案】
【分析】
点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系，据此即可得到答案．
【详解】
∵，，以为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，∴，，…，．∵，，…的位置每8个一循环，，∴点在轴正半轴上，，∴点的坐标为．
【点睛】
本题考查图形类规律，解题的关键是注意除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．
25．如图，一架长5米的梯子 ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了_____米．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】0.8
【解析】
【分析】
梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形，分别得出AO，A1O的长即可．
【详解】
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解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知，A1O= =4（m），
在Rt△ABO中，由题意可得：BO=1.4（m），
根据勾股定理知，AO=
=4.8（m），
所以AA1=AO-A1O=0.8（米）．
故答案为0.8．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
26．如图，O为数轴原点，A，B两 ( http: / / www.21cnjy.com )点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ．
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【答案】
【详解】
试题分析：根据题意得，等腰△ABC中，OA=OB=3,由等腰三角形的性质可得OC⊥AB，根据勾股定理可得OC=，又因OM=OC=，于是可确定点M对应的数为．
考点：勾股定理；实数与数轴．
27．如图，有一个由传感器A控制的 ( http: / / www.21cnjy.com )灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m内，灯就会自动发光，小明身高1.5m，他走到离墙_______的地方灯刚好发光.2-1-c-n-j-y
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【答案】4米
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，则人离墙的距离为CE， 在Rt△ACE中，根据勾股定理列式计算即可得到答案.
【详解】
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如图，传感器A距地面的高度为AB=4.5米，人高CD=1.5米，
过点C作CE⊥AB于点E，则人离墙的距离为CE，
由题意可知AE=AB-BE=4.5-1.5=3（米）.
当人离传感器A的距离AC=5米时，灯发光.
此时，在Rt△ACE中，根据勾股定理可得，
CE2=AC2-AE2=52-32=42，
∴CE=4米.
即人走到离墙4米远时，灯刚好发光.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定义与运算.
28．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_____．
【答案】或
【分析】
分两种情况：△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定理计算AC和BC即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
分两种情况：
当是锐角三角形，如图1，
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∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵CD=，AD=1，
∴AC=2，
∵AB=2AC，
∴AB=4，
∴BD=4-1=3，
∴BC；
当是钝角三角形，如图2，
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同理得：AC=2，AB=4，
∴BC=；
综上所述，BC的长为或，
故答案为或．
【点睛】
本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键.21·世纪*教育网
三、解答题
29．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2=c2；
（2）如果大正方形的面积是6,小正方形的面积是2,求（a+b）2的值．
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【答案】（1）详见解析；（2）10.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，我们可在图 ( http: / / www.21cnjy.com )中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【详解】
（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b-a）2，
∴c2=4×ab+（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2即c2=a2+b2．；
（2）由图可知，（b-a）2=2，4×ab=6-2=4，∴ab=2，
∴（a+b）2=（b-a）2+4ab=2+8=10．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的证明，熟悉掌握是关键.
30．如图，在中，中，，，垂直平分，分别交，于点，，平分，与的延长线交于点．
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（1）求的长度；
（2）连接，求的长度．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可．
【详解】
（1）∵垂直平分，
∴，．
∵平分，∴，
∴．
（2）作于，
∵平分，，，
∴，，∴，
∴，
在中，．
【点睛】
本题考查勾股定理、角平分线的性质、线段 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线的概念，解题的关键是知道如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
31．如图，点在线段上，，，点在线段上，且满足，连接并延长交于点，连接，．
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（1）求证：；
（2）若已知，，，设，则的面积用代数式可表示为．你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧！
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）首先证明Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC＝∠EDC，进而求出∠AFE＝180° （∠BAC＋∠AEF）＝90°，即可得出答案；
（2）根据S△ABD＝S△BCE＋S△ACD＋S△ABE，得出a2＋b2＝c2即可．
【详解】
（1）因为在和中，
所以，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以．
（2）由题意，得
．
因为，
所以，
所以．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定(HL)和性质、勾股定理的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定(HL)和性质、勾股定理的证明.
32．在甲村至乙村的公路上有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且，如图所示为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否因为有危险而需要暂时封锁？请说明理由．
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【答案】公路段需要暂时封锁．理由见解析.
【分析】
如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小 ( http: / / www.21cnjy.com )于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【详解】
公路段需要暂时封锁．理由如下：
如图，过点作于点．
因为米，米，，
所以由勾股定理知，即米．
因为，
所以（米）．
由于240米＜250米，故有危险，因此公路段需要暂时封锁．
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【点睛】
本题考查运用勾股定理，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
33．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
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【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．
【解析】
【分析】
（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，
所而确定C港在A港的什么方向.
【详解】
（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【点睛】
本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.
34．“中华人民共和国道路交通管理条 ( http: / / www.21cnjy.com )例”规定：小汽车在高速公路上的行驶速度不得超过120千米/小时，不得低于60千米/小时，如图，一辆小汽车在高速公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到“车速检测点”正前方60米处，过了3秒后，测得小汽车位置与“车速检测点”之间的距离为100米，这辆小汽车是按规定行驶吗？2·1·c·n·j·y
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【解析】
【分析】
根据勾股定理求出BC，求出速度，再比较即可．
【详解】
解：由勾股定理得，（米），
（米/秒），
∵米/秒千米/时，而，
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，能求出BC的长是解此题的关键．
35．已知：如图，一块Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的绿地，量得两直角边AC=8cm，BC=6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩充等腰△ABD的周长.
（1）在图1中，当AB=AD=10cm时，△ABD的周长为 ．
（2）在图2中，当BA=BD=10cm时，△ABD的周长为 ．21*cnjy*com
（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）32m；（2）（20+4）m；（3）
【分析】
（1）利用勾股定理得出DC的长， ( http: / / www.21cnjy.com )进而求出△ABD的周长；
（2）利用勾股定理得出AD的长，进而求出△ABD的周长；
（3）首先利用勾股定理得出DC、AB的长，进而求出△ABD的周长．
【详解】
：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD-BC=10-6=4（m），
故
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；
故答案为（20+4）m；
（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
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