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17.2 勾股定理逆定理
一、单选题
1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3 B．三条边满足关系a2=b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
2．如图，在单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
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A． B． C． D．
3．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的是（ ）
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A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
4．有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；
③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；
④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.
其中判断正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
6．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
8．三角形的三边长为，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
9．已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（ ）.
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
10．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
11．若△ABC三边长a，b，c满足+||+()2=0，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
二、填空题
13．已知一个三角形的三边分别为3，4，5，则此三角形面积为_______________．
15．一个直角三角形的三边长为三个连续的整数，则这个直角三角形的斜边长为___________.
16．已知△ABC的三边长a、b、c满足,则△ABC一定是_______三角形.
17．如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积=________.21世纪教育网版权所有
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18．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．21教育网
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19．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，则这块地的面积为______ m2．
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三、解答题
20．求知中学有一块四边形的空地AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB =3m，BC =12m，CD =13m，DA= 4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
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21．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=1.8．
（1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
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22．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.21cnjy.com
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23．方格纸中小正方形的顶点叫格点.点A和点B是格点，位置如图.
（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；
（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有 个.
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17.2 勾股定理逆定理
一、单选题
1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为1：2：3 B．三条边满足关系a2=b2﹣c2
C．三条边的比为1：2：3 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
【答案】C
【解析】
试题分析：选项A，三个角的比为 ( http: / / www.21cnjy.com )1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，选项A正确；选项B，三条边满足关系a2=b2-c2，根据勾股定理的逆定理可得选项B正确；选项C，三条边的比为1：2：3，12+22≠32，选项C错误；选项D，三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，选项D正确．故答案选C．2·1·c·n·j·y
考点：三角形的内角和定理；勾股定理的逆定理．
2．如图，在单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出正方形的边长，利用勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度的平方（因为逆定理也要计算平方），再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．www-2-1-cnjy-com
【详解】
设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，GH2=22+32=13.
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH.
故选C.
【点睛】
本题考查勾股定理, 勾股定理的逆定理，能熟练运用勾股定理的计算公式进行计算和运用勾股定理的逆定理进行判断是解决本题的关键.21*cnjy*com
3．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】
根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】
∵正方形小方格边长为1
∴，，，
∵在△ABC中AB2+AC2=52+13=65，BC2=65
∴AB2+AC2=BC2
∴网格中的△ABC是直角三角形．
故选A．
【点睛】
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
4．有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；
③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；
④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.
其中判断正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.
【详解】
①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．
共2个正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
5．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
【答案】A
【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理 ( http: / / www.21cnjy.com )：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．21教育网
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
6．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】D
【解析】
当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:C、D,E,H四个;
( http: / / www.21cnjy.com / )
当AB是直角边,A是直角顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点时,第三个顶点是F点;
当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.【来源：21·世纪·教育·网】
7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．
【答案】C
【分析】
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，根据两小边的平方和等于最长边的平方逐一验证即可得到答案．
【详解】
解：A、故A不正确；
B、故B不正确；
C、故C正确；
D、故D不正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．21cnjy.com
8．三角形的三边长为，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【分析】
利用完全平方公式把等式变形为a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角形，可得答案．
【详解】
∵，
∴a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．21·世纪*教育网
9．已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（ ）.
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
【答案】A
【解析】
等式＋+＝0可化为＋+＝0，根据非负数的性质可得a-17=0，b-15=0，c-8=0，所以a=17，b=15，c=8；又因，所以△ABC是 以a为斜边的直角三角形，故选A.2-1-c-n-j-y
点睛：本题主要考查了非负数 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质以及勾股定理逆定理，熟知勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．【出处：21教育名师】
10．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
将等号右侧式子移到左侧,再将其因式分解,然后根据：若xy=0,则x=0或y=0,判断即可.
【详解】
解:
∵，，是的三边
∴
∴或
解得: 或
∴是等腰三角形或直角三角形.
故选C.
【点睛】
此题考查的是因式分解、等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和直角三角形的判定，掌握因式分解的各个方法、等腰三角形的定义和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.【版权所有：21教育】
11．若△ABC三边长a，b，c满足+||+()2=0，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理即可解答.
【详解】
∵+|b-a-1|+(c-5)2=0，
∴a+b-25=0，b-a-1=0，c-5=0，
∴a=12，b=13，c=5，
∵，
∴△ABC是直角三角形.
故选C.
【点睛】
本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，根据非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键.
12．如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
先把a2+b2+c2+338=1 ( http: / / www.21cnjy.com )0a+24b+26c化为完全平方公式的形式，再根据非负数的性质求出a、b、c的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：∵a2+b2+c2+338=1 ( http: / / www.21cnjy.com )0a+24b+26c
∴a2+b2+c2+338-10a-24b-26c=0
可化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13．
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形．
故选B．21教育名师原创作品
【点睛】
此题考查的知识点是因式分解的应用，先把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为完全平方的形式是解答此题的关键．www.21-cn-jy.com
二、填空题
13．已知一个三角形的三边分别为3，4，5，则此三角形面积为_______________．
【答案】6
【解析】
试题分析：根据题意可知：，则这个三角形为直角三角形，则S=3×4÷2=6．
14．在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为__.
【答案】60
【解析】
【分析】
首先根据数量关系利用勾股定理逆定理确定三角形是直角三角形，再求面积即可．
【详解】
∵
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积是：
故答案为60.
【点睛】
考查勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
15．一个直角三角形的三边长为三个连续的整数，则这个直角三角形的斜边长为___________.
【答案】5
【解析】
【分析】
首先设中间的数为x，表示出其余2个数，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：设较小的边长为x．则最小 ( http: / / www.21cnjy.com )的边长为（x-1），斜边长为（x+1），（x-1）2+x2=（x+1）2，
解得x1=0，（不合题意，舍去）x2=4，
故斜边长为x+1=5．21*cnjy*com
答案为：5.
【点睛】
本题考查利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用，利用勾股定理得到三边的关系是解决本题的关键．
16．已知△ABC的三边长a、b、c满足,则△ABC一定是_______三角形.
【答案】等腰直角
【解析】
先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形的三边关系进行判断即可．
解：∵△ABC的三边长a、b、c满足∴a-1=0，b-1=0，c-=0，
∴a=1，b=1，c=．
∵a2+b2=c2，
∴△ABC一定是等腰直角三角形．
本题考查的知识点是：一个数的算术平方根 ( http: / / www.21cnjy.com )与某个数的绝对值以及另一数的平方的和等于0，那么算术平方根的被开方数为0，绝对值里面的代数式的值为0，平方数的底数为0及勾股定理的逆定理．
17．如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积=________.
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【答案】24
【解析】
先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
解：在Rt△ABC中，AB==5，
∵AD=13，BD=12，
∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，
阴影部分的面积=AB×BD -BC×AC=30-6=24．
答：阴影部分的面积=24．
故答案为24．
“点睛”此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．
18．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
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【答案】2.4
【分析】
根据已知得当AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，从而不难根据相似比求得其值．
【详解】
连结AP，
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在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB，
∴AP：AC=AB：BC，
∴AP：8=6：10，
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当AM最短时，AM=AP÷2=2.4．
故答案为2.4
【点睛】
解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解．
19．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，则这块地的面积为______ m2．
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【答案】216
【解析】
【分析】
连接AC，根据直角△ACD可 ( http: / / www.21cnjy.com )以求得斜边AC的长度，根据AC，BC，AB可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
连接AC，
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在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，
∴AD +CD =AC ，得AC=15m，
在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，
∴AC +CB =AB ，
∴△ABC为直角三角形，
S==AC BC CD AD=×15×36 ×9×12=270 54=216m ，
答：这块地的面积为216m .
故填:216.
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定△ABC是直角三角形是解题的关键．21·cn·jy·com
三、解答题
20．求知中学有一块四边形的空地A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB =3m，BC =12m，CD =13m，DA= 4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
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【答案】7200元
【分析】
仔细分析题目，需要求得四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【详解】
解：连接BD，
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在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，
即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD AB+ DB BC，
=×4×3+×12×5=36．
所以需费用36×200=7200（元）．
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过勾股定理及逆定理求得边并由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=1.8．
（1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
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【答案】
【小题1】∵CD⊥AB且CB=3，BD=
∴在Rt△CDB中，CD=
在Rt△CAD中，AD=
【小题2】△ABC为直角三角形
理由：∵AD=，BD=∴AB=AD+BD=+=5
∴
∴△ABC为直角三角形
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形．
【详解】
（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=，故△CDB为直角三角形，
∴在Rt△CDB中，CD=== ，
在Rt△CAD中，AD===，
（2）△ABC为直角三角形.理由：∵AD=，BD=，∴AB=AD+BD=+=5，
∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形.
【点睛】
本题考查勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，利用公式即可解出.
22．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.
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【答案】△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE
【分析】
由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2=BE2，即可证明AB⊥EA．
【详解】
如图，连接BE.因为AE2 ( http: / / www.21cnjy.com )=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2，所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE.
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【点睛】
本题考查在网格中运用勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
23．方格纸中小正方形的顶点叫格点.点A和点B是格点，位置如图.
（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；
（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有 个.
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【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析；（3）4．
【分析】
（1）A所在的水平线与B所在的竖直线的交点就是满足条件的点；
（2）根据勾股定理可求得AB=5，则到A的距离是5的点就是所求；
（3）到A点的距离是5的格点有2个，同理到B距离是5的格点有2个，据此即可求解．
【详解】
（1）（2）如图所示：
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（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．
【点睛】
考点：1．勾股定理的逆定理；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理．
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