【数学】2013贵州大学附中高考复习单元练习：圆与方程

2013贵州大学附中高考数学复习单元练习--圆与方程
I 卷
一、选择题
1．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　)
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
【答案】C
2．已知两条直线，且，则=（ ）
A． B． C． -3 D．3
【答案】C
3．已知直线，平行，则k得值是（ ）
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
【答案】C
4．已知圆C与直线 及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
5．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
【答案】B
6．由直线上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
7．直线x＋y＋＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
8．若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A． -1或 B． 1或3 C． -2或6 D． 0或4
【答案】D
9．直线l1，l2关于x轴对称，l1的斜率是－，则l2的斜率是(　　)
A． B．－
C． D．－
【答案】A
10．直线(a＋1)x－y＋1－2a＝0与直线(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0平行，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1,1
C．－1 D．0
【答案】C
11．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．－3
【答案】B
12．直线(a＋1)x－y＋1－2a＝0与直线(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0平行，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1,1
C．－1 D．0
【答案】C
II卷
二、填空题
13．过点向圆引两条切线,为切点,则三角形的外接圆面积为
【答案】
14．点P(x，y)满足：x2＋y2－4x－2y＋4≤0，则点P到直线x＋y－1＝0的最短距离是________．
【答案】－1
15．若a，b，c是直角△ABC的三边的长(c为斜边)，则圆M：x2＋y2＝4截直线l：ax＋by＋c＝0所得的弦长为________．
【答案】2
16．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
【答案】2x－y＝0
三、解答题
17． 设方程x2＋y2－2(m＋3)x－2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0.若该方程表示一个圆，求m的取值范围．
【答案】圆的方程化为[x-(m+3)]2+[y-(1-4m2)]2=1+6m-7m2，则有1+6m-7m2＞0，解得m∈．
18．已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切.
(Ⅰ) 求圆的标准方程；
(Ⅱ）设点为圆上任意一点,轴于,若动点满足
,(其中为常数),试求动点的轨迹方程；
(Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时,得到曲线，问是否存在与垂直的一条直线与曲线交于、两点,且为钝角，请说明理由.
【答案】 (Ⅰ)设圆的半径为,圆心到直线距离为，则
所以圆的方程为
(Ⅱ）设动点,,轴于,
由题意,，所以
即: ，将
代入,得
(Ⅲ）时,曲线方程为，假设存在直线与直线垂直,设直线的方程为
设直线与椭圆交点
联立得:，得
因为，解得，且
因为为钝角，所以，
解得满足
所以存在直线满足题意
19．设平面直角坐标系中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
(Ⅰ）求实数b 的取值范围；
(Ⅱ）求圆C 的方程；
(Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论
【答案】（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
(Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为.
(Ⅲ）由得.
.
从而.解之得：
所以圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)圆(x－6)2＋y2＝4的圆心Q(6,0)，半径r＝2，设过P点的直线方程为y＝kx＋2，
根据题意得<2，∴4k2＋3k<0，∴－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
将y＝kx＋2代入x2＋y2－12x＋32＝0中消去y得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0，
∵x1，x2是此方程两根，∴则x1＋x2＝－，
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－＋4，
P(0,2)，Q(6,0)，∴＝(6，－2)，
＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，
∴＝－6k·＋24，∴k＝－，
由(1)知k∈(－，0)，故没有符合题意的常数k.
21．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
【答案】(1)令x＝0，得抛物线过点(0，b)．
令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0.
由题意应有b≠0且△＝4－4b＞0.
∴b＜1且b≠0.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，∴D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.此方程有一个根为b.
∴b2＋E·b＋F＝0.而F＝b，∴E＝－b－1.
∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－by－y＋b＝0.
(3)圆C过定点，证明如下：
假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程并变形为
x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.
为了使上述方程对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有，解得或．
经验证：点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点．
22．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．
(Ⅰ)试求圆的方程．
(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程．
【答案】(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是．
(Ⅱ)设直线的方程是:．因为,所以圆心到直线的距离是,即解得:．
所以直线的方程是: ．