2021-2022学年鲁教版七年级下册数学第10章 三角形的有关证明单元测试卷（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教五四新版七年级下册数学《第10章 三角形的有关证明》单元测试卷
一．选择题
1．在下列各组图形中，是全等的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的是（　　）
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的角相等
C．全等三角形的周长相等
D．全等三角形的面积相等
3．如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD＝DC，且∠BAD＝120°，则∠AMB＝（　　）
A．30° B．25° C．22.5° D．20°
4．下列说法正确的是（　　）
A．全等三角形是指形状相同的三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等
D．所有等边三角形是全等三角形
5．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　）
A．12 B．7 C．2 D．14
6．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠DAC，添加一个条件后不能保证△BAC≌△DCA的是（　　）
A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．AD＝BC
7．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．③④
8．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　）
A．90° B．105° C．120° D．135°
9．等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是（　　）
A．35° B．40° C．70° D．110°
10．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF的度数为（　　）
A．45°∠A B．90∠A C．90°﹣∠A D．180°﹣∠A
二．填空题
12．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝　 　度．
13．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则△OMN的周长＝　 　．
14．如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，BC∥EF，要判定△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，你添加的条件是　 　．
15．等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角的度数是 　 　．
16．△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则此三角形的腰长是　 　．
17．在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝　 　时，△ABC是等腰三角形．
18．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝　 　°．
19．如图，点F，A，D，C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AD＝3，CF＝10，则AC等于 　 　．
20．在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为　 　．
21．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为　 　．
三．解答题
22．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．
（1）求∠DCA的度数；
（2）若∠A＝20°，求∠DFA的度数．
23．如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC＝BD．
24．如图所示，已知△ABC中AB＝AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过D作DG⊥EF于G．
求证：EG＝EF．
25．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．
如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′
（1）其中，符合要求的条件是　 　．（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
26．如图，已知AB＝AC，BD＝CE，请说明△ABE≌△ACD．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由全等形的概念可以判断：C中图形完全相同，符合全等形的要求，而A、B、D中图形很明显不相同，A中大小不一致，B，D中形状不同．
故选：C．
2．解：A、全等三角形的对应边相等，正确，故本选项错误；
B、应为全等三角形的对应角相等，故本选项正确；
C、全等三角形的周长相等，正确，故本选项错误；
D、全等三角形的面积相等，正确，故本选项错误．
故选：B．
3．解：∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
即2∠CBM+∠BAD+2∠C＝180°，且∠BAD＝120°
∴∠CBM+∠C＝30°，
∴∠AMB＝∠CBM+∠C＝30°，
故选：A．
4．解：A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；
B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；
C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，则C正确．
D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．
故选：C．
5．解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，CB＝CE，
∵CE＝5，AC＝7，
∴CB＝5，DC＝7，
∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．
故选：A．
6．解：∵∠ACB＝∠DAC，AC＝CA，
∴当添加AB∥CD时，∠BAC＝∠DCA，则可根据“ASA”判断△BAC≌△DCA；
当添加∠B＝∠D时，则可根据“AAS”判断△BAC≌△DCA；
当添加AD＝BC时，则可根据“SAS”判断△BAC≌△DCA．
故选：C．
7．解：由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠C＝∠CDB＝72°，
∴△CDB是等腰三角形，
∴①正确，
又∵∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝36°，
∴线段BD是△ACB的角平分线，
∵三角形的角平分线是线段，
∴②错误，
由AD＝BD，AB＝AC知，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC，
∴③正确，
∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，
∴④错误，
∴正确的为：①③．
故选：B．
8．解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，
∴∠1+∠3＝90°，
又∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．
9．解：∵等腰三角形的一个内角是110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故选：A．
10．解：如图所示：
由勾股定理得：AB＝＝，
①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；
若AC＝BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有5个．
故选：D．
11．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BD＝CF，BE＝CD
∴△BDE≌△CFD，
∴∠BDE＝∠CFD，
∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°．
∴∠A+2∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝90°﹣∠A．
故选：B．
二．填空题
12．解：如图，根据网格结构可知，
在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△EDA（SSS），
∴∠1＝∠DAE，
∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°，
又∵AD＝DF，AD⊥DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
13．解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠DBO，
又OM∥AB，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴OM＝BM，
同理ON＝CM，
∵BC＝10cm，
则△OMN的周长c＝OM+MN+ON＝BM+MN+NC＝BC＝10cm．
故答案为10cm．
14．解：添加的条件：EF＝BC，
∵BC∥EF，
∴∠EFD＝∠BCA，
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝FD，
在△EFD和△BCA中，
∴△EFD≌△BCA（SAS）．
故选：EF＝BC．
15．解：分两种情况讨论：
①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；
②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2＝100°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
故答案为：40°或100°．
16．解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
若AB+AD的长为12，则2x+x＝12，解得x＝4cm，
则x+y＝9，即4+y＝9，解得y＝5cm；
若AB+AD的长为9，则2x+x＝9，解得x＝3cm，
则x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm；
所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．
故答案为：8cm或6cm．
17．解：（1）当∠A是底角，①AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°；
②AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝40°；
（2）当∠A是顶角时，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°．
故答案为：40°或70°或100°．
18．解：如图所示：
由图可知△ABF与△CED全等，
∴∠BAF＝∠ECD，
∴∠2﹣∠1＝90°，
故答案为：90．
19．解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝FD，
即CD+AD＝AF+AD，
∴AF＝DC，
∵AD＝3，CF＝10，
∴DC＝（CF﹣AD）＝（10﹣3）＝3.5，
∴AC＝AD+DC＝3+3.5＝6.5．
故答案为：6.5．
20．解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠2，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AE＝DE，∠AED＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故答案为：135°
21．解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，
∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，
故答案为：（1）（2）（3）
三．解答题
22．（1）证明：∵△ABC≌△DEC，
∴CB＝CE，∠DCE＝∠ACB，
∴∠CEB＝∠B＝65°，
在△BEC中，∠CEB+∠B+∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCA＝∠ECB＝50°；
（2）解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠D＝∠A＝20°，
在△DFC中，
∠DFA＝∠DCA+∠D＝50°+20°＝70°．
23．证明：∵△AOD≌△BOC，
∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD﹣∠COD＝∠BOC﹣∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD．
24．证明：连接DE、DF，如右图所示，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△EBD和△DCF中，
，
∴△EBD≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∵DG⊥EF，
∴DG是等腰△DEF的中线，
∴EG＝EF．
25．解：（1）符合要求的条件是①②④，
故答案为：①②④；
（2）选④，
证明：连接AC、A′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∵∠BCD＝∠B′C′D′，
∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，
∴∠ACD＝∠A′C′D′，
在△ACD和△A′C′D中，
，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，
即∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，
AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
26．解：∵AB＝AC，BD＝CE，
∴AD＝AE．
又∵∠A＝∠A，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
27．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
又∵∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴BE⊥AC．