第七章 万有引力与宇宙航行培优练习（word版含答案）

第七章万有引力与宇宙航行培优练习
一、单选题
1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量计算出来的地球平均密度是（　　）
A． B． C． D．
2．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．质量大的天体线速度较大
B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小一定相等
D．两个天体的向心加速度大小一定相等
3．对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F=G，下列说法正确的是(　　)
A．公式中G是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．当有第三个物体放在m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大
D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同
4．2020年7月23日，在我国文昌航天发射场，长征五号遥四运载火箭成功将“天问一号”火星探测器送入预定轨道，预计本次探测活动，我国将实现“环绕、着陆、巡视”三大目标。如图是探测器飞向火星过程的简略图，探测器分别在P、Q两点实现变轨，在转移轨道，探测器绕火星做椭圆运动，下列说法正确的是（　　）
A．“天问一号”在绕地轨道的环绕速度不大于7.9km/s
B．“天问一号”在沿绕火轨道运行时的速度大于火星的第一宇宙速度
C．“天问号”在绕地轨道上P点的加速度大于在转移轨道上P点的加速度
D．“天问一号”在转移轨道运行的周期小于绕火轨道周期
5．下列说法中正确的是（　　）
A．由开普勒第一定律可知，所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．由可知，当r趋于零时万有引力趋于无限大
C．引力常量，是由英国物理学家卡文迪什利用扭秤实验测出的
D．由开普勒第三定律可知，所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即，其中k与行星有关
6．1844年，德国天文学家贝塞尔根据天狼星的移动路径形成的波浪图形，推断天狼星是双星系统中的一颗星。已知天狼星及其伴星都在各自轨道上互相绕转，绕转的周期约为50年，两星体之间的距离约为日地距离的20倍，引力常量为G。则（　　）
A．可估算出双星系统的平均密度
B．可估算出双星系统中任一星体的质量
C．可估算出双星系统的总质量
D．双星系统中质量大的星体离绕行中心远
7．如图所示，在某次发射卫星过程中，卫星由近地圆轨道进入椭圆轨道，图中点为地心，地球半径为，A点是近地轨道和椭圆轨道的切点，远地点离地面高度为，设卫星在近地轨道运动的周期为，下列说法正确的是（ ）
A．卫星由近地圆形轨道的A点进入椭圆轨道需要使卫星减速
B．卫星在椭圆轨道上通过A点时的速度大于通过点时的速度
C．卫星在椭圆轨道上通过A点时的加速度是通过点时加速度的6倍
D．卫星在椭圆轨道上由A点经时间T刚好能到达点
8．据报道，我国准备在2020年发射火星探测器，并于2021年登陆火星。如图所示为载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ=4R，轨道Ⅱ上经过O点的速度为v。下列说法正确的是（　　）
A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等
B．探测器在轨道Ⅱ运动时，经过O点的加速度等于
C．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度小于v
D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3：2
9．已知甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自的第一宇宙速度之比为b，则下列结论不正确的是（　　）
A．甲、乙两行星的质量之比为b2a：1
B．甲、乙两行星表面的重力加速度之比为b2：a
C．甲、乙两行星各自卫星的最小周期之比为a：b
D．甲、乙两行星各自卫星的最大角速度之比为a：b
10．理论上可以证明，天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，这个关系对于天体普遍适用。若某“黑洞”的半径约为45km，逃逸速度可近似认为是真空中光速。已知引力常量，真空中光速。根据以上数据，估算此“黑洞”质量的数量级约为（　　）
A． B． C． D．
11．宇宙飞船和空间站在同一轨道上运行，若飞船想与前面的空间站对接，则为了使飞船追上空间站，可以采取的方法是（　　）
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
12．“嫦娥四号”探测器于2018年12月8日由长征三号乙运载火箭发射升空，经过了26天飞行之后，于2019年1月3日成功着陆月球背面，通过“鹊桥”中继星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱。如图所示为“嫦娥四号”飞行轨道示意图。下列说法正确的是（　　）
A．“嫦娥四号”探测器在与火箭分离前始终处于失重状态
B．“嫦娥四号”探测器在月球附近降轨前后，速度增大
C．“嫦娥四号”探测器由地球飞向近月轨道过程中，万有引力逐渐减小
D．不通过“鹊桥”中继星，在月球背面的着陆器无法将信息直接传回地球
二、解答题
13．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地球表面的高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
（1）求卫星B的运行周期；
（2）如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、A、B在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
14．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的第一宇宙速度v；
（3）该星球的密度；
15．甲同学根据向心力公式说，如果人造地球卫星的质量不变，当轨道半径增大到2倍时，人造地球卫星需要的向心力减小为原来的；乙同学根据卫星的向心力是地球对它的引力，由公式推断，当轨道半径增大到2倍时，人造地球卫星需要的向心力减小为原来的。哪位同学的看法对？说错了的同学错在哪里？请说明理由。
16．海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。有人认为这是由于太阳对海水的引力变化以及月球对海水的引力变化所造成的。中午，太阳对海水的引力方向指向海平面上方；半夜，太阳对海水的引力方向指向海平面下方；拂晓和黄昏，太阳对海水的引力方向跟海平面平行。月球对海水的引力方向的变化也有类似情况。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。
已知太阳质量为，太阳与地球的距离为，月球质量为，月球与地球的距离为，地球质量为，地球半径取。请你估算一下：对同一片海水来说，太阳对海水的引力、月球对海水的引力，分别是海水重力的几分之一？
三、填空题
17．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的斜坡上的点沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间落到斜坡上另一点，斜面的倾角为，已知该星球半径为，引力常量为，该星球表面的重力加速度为__________；该星球的密度为_________；该星球的第一宇宙速度为_____________；人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期为__________。
18．假设地球为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为，在赤道处的大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为________。
19．我国先后发射的“风云一号”和“风云二号”气象卫星，运行轨道不同，前者采用“极地圆形轨道”，轨道平面与赤道平面垂直，通过地球两极，每12小时巡视地球一周，每天只能对同一地区进行两次观测；后者采用“地球同步轨道”，轨道平面在赤道平面内 ，能对同一地区进行连续观测。两种不同轨道的气象卫星在运行与观测时，“风云一号”卫星的轨道半径________（填“大于”、“小于”或“等于”）“风云二号”卫星的轨道半径，“风云一号”卫星运行的向心加速度______（填“大于”、“小于”或“等于”）“风云二号”卫星运行的向心加速度。
20．宇航员到达一个半径为R、没有大气的星球上，捡起一个小石子将其沿水平方向以速度v0抛出，得出石子运动的频闪照片的一部分如图所示。已知背景方格最小格子的边长为L，频闪周期为T，完成下面的问题。
(1)石子抛出的初速度_______；
(2)该星球表面附近的重力加速度______；
(3)该星球的第一宇宙速度______。
参考答案
1．A
【详解】
根据在地球表面万有引力等于重力有
解得
则
故选A。
2．C
【详解】
A．根据牛顿第二定律，有
其中
r1＋r2＝L
故
，
故
故质量大的天体线速度较小，故A错误；
B．双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；
CD．两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D错误；
故选C。
3．A
【详解】
A．公式中G是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，故A正确；
B．当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力表达式不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，故B错误；
C．物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和两物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，故C错误；
D．物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，是同种性质的力，且始终等大反向共线，故D错误；
故选A。
4．A
【详解】
A．根据卫星绕中心天体做匀速圆周运动，有，可得环绕天体的线速度为
可知轨道半径越大，线速度越小，而7.9km/s为近地卫星的线速度，轨道半径最小，故“天问一号”在绕地轨道的环绕速度不大于7.9km/s，故A正确；
B．火星的第一宇宙速度是火星的近火卫星的线速度，轨道半径最小，线速度最大，故“天问一号”在沿绕火轨道运行时的速度小于等于火星的第一宇宙速度，故B错误；
C．圆轨道和转移轨道上的同一点都是万有引力产生加速度，故“天问一号”在绕地轨道上P点的加速度等于在转移轨道上P点的加速度，故C错误；
D．转移轨道探测器绕火星做椭圆运动，可知其半长轴大于绕火轨道的半径，由可知“天问一号”在转移轨道运行的周期大于绕火轨道的周期，故D错误；
故选A。
5．C
【详解】
A．由开普勒第一定律可知，所有行星各自绕太阳运行的轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，所以各行星不在同一椭圆轨道上，故A错误；
B．万有引力定律的研究对象是质点当物体间距离趋于零时物体不能被视为质点，万有引力定律不再适用，故B错误；
C．引力常量，是由卡文迪什在实验室中利用扭秤实验测出的，故C正确；
D．由开普勒第三定律可知，所有绕同一中心天体运行的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即，其中k与中心天体有关，与行星无关，故D错误。
故选C。
6．C
【详解】
根据
可得
可知质量大的星体离绕行中心较近，但和的大小不知道，无法求解双星系统中任一星体的质量，且双星的体积未知，则无法求出双星系统的平均密度，故ABD错误，C正确。
故选C。
7．B
【详解】
A．卫星在A点只受万有引力作用，在圆轨道万有引力等于向心力，卫星做匀速圆周运动；在椭圆轨道，万有引力小于所需的向心力，卫星做离心运动；又有向心力
所以卫星在椭圆轨道上通过A点时的速度大于卫星在圆轨道上通过A点时的速度，故卫星由近地圆形轨道的A点进入椭圆轨道需要使卫星加速，A错误；
B．卫星在椭圆轨道上通过A点时的速度大于通过点时的速度，B正确；
C．卫星在椭圆轨道上只受万有引力作用，又有
所以加速度
所以
通过A点时的加速度是通过点时加速度的49倍，C错误；
D．由开普勒第三定律可知椭圆轨道（半长轴为）和圆轨道（半径为）围绕的中心天体都是地球，故相等，那么在椭圆轨道上的周期与在圆轨道上的周期的关系为
卫星在椭圆轨道上由A点经
的时间刚好能到达B点，D错误。
故选B。
8．B
【详解】
A．根据开普勒第二定律，在同一轨道上探测器与火星中心的连线在相等时间内扫过的相等的面积，在两个不同的轨道上，不具备上述关系，即在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积不相等，故A错误；
B．轨道Ⅱ是圆轨道，半径为3R，经过O点的速度为v，根据圆周运动的规律可知，探测器经过O点的加速度
故B正确；
C．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点减速变轨到轨道Ⅱ，则经过O点的速度大于v，故C错误；
D．轨道Ⅲ的半长轴为2R，根据开普勒第三定律可知
解得
则在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是，故D错误。
故选B。
9．D
【详解】
B．由
可得第一宇宙速度为
则行星表面的重力加速度为
由于甲、乙两行星的半径之比为a、各自的第一宇宙速度之比为b，故甲乙两行星的表面重力加速度之比为b2：a，B正确；
A．由
得
则由半径之比为a、重力加速度之比为b2：a，可得甲乙两行星的质量之比为b2a：1，故A正确；
C．由
得
可知轨道半径越小，周期越小，故最小周期
结合甲乙两行星的质量之比为b2a：1、半径之比为a，可得最小周期之比为a：b，故C正确；
D．根据
可知轨道半径越小，角速度最大，由于最小周期之比为a：b，则最大角速度之比为b：a，故D错误。
本题选不正确的，故选D。
10．A
【详解】
由题意可知黑洞的第一宇宙速度
根据
联立可得
故A正确，BCD错误。
故选A。
11．B
【详解】
A．由于宇宙飞船做圆周运动的向心力是由地球对它的万有引力提供，由牛顿第二定律有
得
想追上同轨道上的空间站，直接加速会导致飞船轨道半径增大，由上式知飞船在个新轨道上运行时速度比空间站的速度小，无法对接，故选项A错误。
BCD．飞船若先减速，它的轨道半径减小，但速度增大了，故在低轨道上飞船可接近或超过空间站，如图所示。
当飞船运动到合适的位置后再加速，则其轨道半径增大，同时速度减小，当刚好运动到空间站所在轨道处时停止加速，则飞船的速度刚好等于空间站的速度，可完成对接；若飞船先加速到一个较高轨道，其速度小于空间站速度，此时空间站比飞船运动快，当二者相对运动一周后，使飞船减速，轨道半径减小又使飞船速度增大，仍可追上空间站，但这种方法易造成飞船与空间站碰撞，不是最好办法，且空间站追飞船不合题意。综上所述，选项B正确，CD错误。
故选B。
12．D
【详解】
A．发射过程中，加速上升，处于超重状态，故A错误；
B．“嫦娥四号”探测器在月球附近降轨时，需点火减速，故B错误；
C．“嫦娥四号”探测器飞向近月轨道过程中，当地球对它的引力与月球对它的引力相等，万有引力等于0，所以整个过程中万有引力先减小后增大，故C错误；
D．因月球绕地球公转与自转的周期相同，人类在地球上看到的月球只有一面始终面对地球，月球背面发出的信息，不借助卫星，信息将无法直接传回地球，故D正确。
故选D。
13．（1）；（2）
【详解】
(1)由万有引力定律和牛顿第二定律可得
质量为m0的物体在地球表面受到的重力等于万有引力
联立解得
(2)同步卫星的角速度为ω0，设至少经过时间t，它们再一次相距最近，即B比A多转一圈，满足
(ωB－ω0)t＝2π
由(1)的结论可得
联立解得
14．（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）根据平抛运动知识可得
解得
（2）根据万有引力提供向心力，则有
解得第一宇宙速度
（3）根据万有引力等于重力，则有
解得
又
联立解得
15．见详解
【详解】
乙同学的看法是对的。
甲同学的看法是错的，根据万有引力提供向心力有
所以
当r增大2倍时，v减小为原来的。故甲同学根据
判断的看法错误。
16．，
【详解】
在地球表面上，根据
解得
设海水的质量为m，太阳对海水的万有引力为
月球对海水的万有引力为
则太阳对海水的万有引力与海水重力之比为
月球对海水的万有引力与海水重力之比为
17．
【分析】
由题可知本题考查万有引力定律的应用以及平抛运动的规律。
【详解】
设该星球表面的重力加速度为，根据平抛运动规律，水平方向有
竖直方向有
平抛位移与水平方向的夹角的正切值
解得
在星球表面有
解得
该星球的密度
根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力，则有
可得
该星球的第一宇宙速度
绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即
18．
【详解】
以M表示地球质量，m表示物体质量，根据万有引力与重力的关系，有在两极处有
①
在赤道处有
②
联立①②式，解得
19．小于 大于
【详解】
由题意可知“风云一号”的周期小于“风云二号”的运动周期，根据公式
可得
所以周期越大，轨道半径越大，所以“风云一号”卫星的轨道半径小于“风云二号”卫星的轨道半径；
万有引力充当向心力，根据公式
解得
所以轨道半径越大，向心加速度越小，所以“风云一号”卫星的向心加速度大于“风云二号”卫星的向心加速度。
20．
【详解】
(1)由图可知，相邻两点之间的水平距离为5L，则由平抛运动的公式得
则
(2)由图可知，相邻两点之间竖直距离的差值为2L，则根据
得
(3)在星球表面的物体的重力等于所受万有引力，即
则
绕该星球运行的天体的向心力由所受万有引力提供，为
当
则该星球的第一宇宙速度为