2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.4组合数 课件(共23张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.4组合数 课件(共23张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 778.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-27 09:23:41 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
6.2.4 组合数
一、温故知新
问题1 从集合中取出3个元素组成三元子集，共有
哪些不同的子集？
二、新知探究
组合数概念：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作。
例如，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为
组合与组合数的区别：
组合数是一个非零自然数
组合不是一个数字
问题2 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，
由排列数来求组合数呢？
二、新知探究
追问：从4个不同的元素中取出3个元素的排列数与组合数有什么关系？
分析：从这4个元素中取出3个元素的排列数是
从这4个元素中取出3个元素的组合数是
组合
排列
=4
6
=24
6
6
6
=
=
左式 从4个元素中取出3个元素的排列数
右式 第1步：从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种取法
第2步：将取出的3个元素作全排列，共有种排法
根据分步乘法计数原理，有，即
=4
一般地，求“从个不同元素中任取个元素的排列数”，可以由以下两步得到：
第1步：从个不同元素中任取个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步：将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法。
根据分步乘法计数原理，有，因此
追问（2）：由的公式，你能得到的公式吗？
连乘形式
阶乘形式
组合数公式：
规定：
三、学以致用
例1 计算：（1） （2） （3） （4）
解：根据组合数公式，可得
（1）
（2）
（3）
（4）
追问：观察（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？
，
特征：两个组合数的下标相同，上标相加等于下标
猜想
证明：
方法1：组合数的意义
方法2：组合数的计算
取出个元素的组合 留下个元素的组合
“一一对应”
所以等式成立
组合数的性质1：
（1）反映了组合数的对称性
（2）当时，可以将计算转化为计算，有助于简化运算
例2：一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：
（1）共有多少种不同的取法？
（2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？
解：（1）从8个球中取出5个，是一个组合问题，方法数为
。
（2）红球只有1个，问题转化为“从7个白球中取出4个”，也是一个组合问题，
有 种取法。
56
例2 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：
（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？
（3）方法1：问题转化为“从7个不同白球中取出5个白球”，
故有种取法。
方法2：“不取红球”的反面是必须取红球，
从“任意取出5个球”中，去掉“必须取红球”即可
有种取法
直接法
间接法
追问：你能解释 的意义吗？
分析：一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球
左式 从8个元素中任取5个，共有种取法
根据分类加法计数原理，
猜想：
右式 第1类：不含特殊元素（红球），共有种取法；
第2类：含有特殊元素（红球），共有种取法
证明：
方法1：从组合数的意义
（从含有1个特殊元素的个元素中任取个的组合）
左式 从（个元素中任取个，共有种取法
右式 第1类：不含特殊元素，共有种取法；
第2类：含有特殊元素，共有种取法
根据分类加法计数原理，
方法2：从组合数的计算（课后作业）
组合数的性质2：
（1）特征：下标相同，上标相差1的两个组合数相加，
等于上标取大，下标加1的组合数
（2）可用于合并，简化运算
如
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
（2）（分步）从2件次品中抽出1件有种抽法，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
解：（1）这是个从100个元素中取3个的组合问题，所以抽法的种数为
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
（3）方法1（直接法）：3件产品中至少1件为次品，包括有1件次品和2件次品两种情况，
根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为
方法2（间接法）：至少有1件次品的反面是没有次品，即全是合格品。“至少1件次品”就是“任取3件”减去“3件都是合格品”即
“先分类，后分步”
追问：你能总结一下解决组合问题的思路和方法吗？
1.将具体问题抽象为组合问题模型；
2.对于综合问题，一般采取“先分类，后分步”的解题策略
3.研究有关“至多”或“至少”这样的计数问题时，可以直接分类研究，或运用“间接法”计数。
利用信息技术、科学计算器等计算组合数
四、课堂小结
1.组合数公式：
2.组合数性质：
3.解决组合问题：
“先分类，后分步”
直接法、间接法
提高分析问题、解决问题的能力，
发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养
五、课后作业
1.计算（1） （2） （3） (4)3-2
2.求证：（1） （2）
3.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验。
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
再会！
6.2.4 组合数
一、温故知新
问题1 从集合中取出3个元素组成三元子集，共有
哪些不同的子集？
二、新知探究
组合数概念：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作。
例如，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为
组合与组合数的区别：
组合数是一个非零自然数
组合不是一个数字
问题2 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，
由排列数来求组合数呢？
二、新知探究
追问：从4个不同的元素中取出3个元素的排列数与组合数有什么关系？
分析：从这4个元素中取出3个元素的排列数是
从这4个元素中取出3个元素的组合数是
组合
排列
=4
6
=24
6
6
6
=
=
左式 从4个元素中取出3个元素的排列数
右式 第1步：从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种取法
第2步：将取出的3个元素作全排列，共有种排法
根据分步乘法计数原理，有，即
=4
一般地，求“从个不同元素中任取个元素的排列数”，可以由以下两步得到：
第1步：从个不同元素中任取个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步：将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法。
根据分步乘法计数原理，有，因此
追问（2）：由的公式，你能得到的公式吗？
连乘形式
阶乘形式
组合数公式：
规定：
三、学以致用
例1 计算：（1） （2） （3） （4）
解：根据组合数公式，可得
（1）
（2）
（3）
（4）
追问：观察（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？
，
特征：两个组合数的下标相同，上标相加等于下标
猜想
证明：
方法1：组合数的意义
方法2：组合数的计算
取出个元素的组合 留下个元素的组合
“一一对应”
所以等式成立
组合数的性质1：
（1）反映了组合数的对称性
（2）当时，可以将计算转化为计算，有助于简化运算
例2：一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：
（1）共有多少种不同的取法？
（2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？
解：（1）从8个球中取出5个，是一个组合问题，方法数为
。
（2）红球只有1个，问题转化为“从7个白球中取出4个”，也是一个组合问题，
有 种取法。
56
例2 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：
（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？
（3）方法1：问题转化为“从7个不同白球中取出5个白球”，
故有种取法。
方法2：“不取红球”的反面是必须取红球，
从“任意取出5个球”中，去掉“必须取红球”即可
有种取法
直接法
间接法
追问：你能解释 的意义吗？
分析：一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球
左式 从8个元素中任取5个，共有种取法
根据分类加法计数原理，
猜想：
右式 第1类：不含特殊元素（红球），共有种取法；
第2类：含有特殊元素（红球），共有种取法
证明：
方法1：从组合数的意义
（从含有1个特殊元素的个元素中任取个的组合）
左式 从（个元素中任取个，共有种取法
右式 第1类：不含特殊元素，共有种取法；
第2类：含有特殊元素，共有种取法
根据分类加法计数原理，
方法2：从组合数的计算（课后作业）
组合数的性质2：
（1）特征：下标相同，上标相差1的两个组合数相加，
等于上标取大，下标加1的组合数
（2）可用于合并，简化运算
如
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
（2）（分步）从2件次品中抽出1件有种抽法，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
解：（1）这是个从100个元素中取3个的组合问题，所以抽法的种数为
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
（3）方法1（直接法）：3件产品中至少1件为次品，包括有1件次品和2件次品两种情况，
根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为
方法2（间接法）：至少有1件次品的反面是没有次品，即全是合格品。“至少1件次品”就是“任取3件”减去“3件都是合格品”即
“先分类，后分步”
追问：你能总结一下解决组合问题的思路和方法吗？
1.将具体问题抽象为组合问题模型；
2.对于综合问题，一般采取“先分类，后分步”的解题策略
3.研究有关“至多”或“至少”这样的计数问题时，可以直接分类研究，或运用“间接法”计数。
利用信息技术、科学计算器等计算组合数
四、课堂小结
1.组合数公式：
2.组合数性质：
3.解决组合问题：
“先分类，后分步”
直接法、间接法
提高分析问题、解决问题的能力，
发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养
五、课后作业
1.计算（1） （2） （3） (4)3-2
2.求证：（1） （2）
3.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验。
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
再会！