3.2 科学探究：向心力 教案-2021-2022学年高一下学期物理鲁科版（2019）必修第二册

第3章第2节 科学探究：向心力
考点一、向心力的基本知识
1、定义
做匀速圆周运动的物体所受合力方向始终指向圆心，这个合力就叫做向心力．
2、方向
始终指向圆心（也要注意方向时刻在偏转，属于变力），总是与运动方向垂直．
3、作用
向心力只改变速度方向，不改变速度大小．
4、常见向心力来源的分析
（1）用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时（绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G）
（2）用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动（线的拉力提供向心力，F向＝FT）
（3）物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止（转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff）
（4）小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动（重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合）
注意：向心力不是新力，不是性质力，所以受力分析时，不要画向心力。
5、向心力与合外力判断方法
（1）向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．
（2）对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．
（3）无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力。
6、向心力大小
做匀速圆周运动所需向心力的大小，在质量和角速度一定时，与半径成正比；在质量和半径一定时，与角速度的平方成正比；在半径和角速度一定时，与质量成正比．
7、公式
F＝mrω2；F＝m；F＝mωv＝mr =mrπ2f2（转换公式）（）
【典例详解】
例1、（多选）下列关于向心力的说法中，不正确的是（ ）
A、物体由于做圆周运动产生了一个向心力
B、做匀速圆周运动的物体的向心力就是它所受的合外力
C、做匀速圆周运动的物体的向心力为恒力
D、向心力的方向始终指向圆心，所以其方向保持不变
【答案】ACD。
例2、一圆盘可绕通过圆盘中心O点且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小块木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示，则关于木块A的受力，下列说法正确的是（ ）
A、木块A受重力、支持力和向心力
B、木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
C、木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
D、木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
【答案】B。
例3、如图所示，物块质量为m，一直随转筒一起以角速度ω绕竖直轴做匀速圆周运动，以下描述正确的是（ ）
A、物块所需向心力由圆筒对物块的摩擦力提供 B、若角速度ω增大，物块所受摩擦力增大
C、若角速度ω增大，物块所受弹力增大 D、若角速度ω减小，物块所受摩擦力减小
【答案】C。
例4、如图所示，小球m用长为L的细线悬挂在O点，在O点的正下方L/2处有一个钉子，把小球拉到水平位置释放。当摆线摆到竖直位置碰到钉子时，以下说法不正确的是（ ）
A、小球的线速度保持不变 B、小球的角速度突然增加为原来的2倍
C、细线的拉力突然变为原来的2倍 D、细线的拉力一定大于重力
【答案】C。
例5、（多选）如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A、B对A的摩擦力一定为3μmg B、B对A的摩擦力一定为3mrω2
C、转台的角速度一定满足： D、转台的角速度一定满足：
【答案】BD。
考点二、向心加速度（匀速圆周运动的瞬时加速度）
1、定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用，存在一个由向心力产生的加速度，这个加速度叫做向心加速度
2、方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心。
不论加速度a的大小是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
3、大小：a＝ω2r＝。
4、意义
描述线速度方向变化的快慢。
5、向心加速度的几种表达式
（1）；
（2）；
（3）
（4）
（5）
（6）a=ωv（推导公式）
【典例详解】
例6、如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中轮上有A、B、C三点，这三点所在处的半径rA＞rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是（ ）
A．aA＝aB＝aC　　　 B．aC＞aA＞aB C．aC＜aA＜aB D．aC＝aB＞aA
【答案】C。
例7、如图所示，半径为R的圆筒绕竖直中心轴OO/转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ。现要使A不下落，圆筒转动的角速度ω至少为 。
【答案】。
例8、某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为（ ）
A 、 B、 C、 D、
【答案】A。
例9、如图所示，长为L的细线一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，让小球在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，细线与竖直方向成θ角，求小球运动的向心加速度。
【答案】gtanθ或ω2Lsinθ。
考点三、交通工具转弯问题
类型1、火车转弯
1、明确圆周平面
火车转弯处的铁轨，虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的。因而火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即火车中心的轨迹在同一水平面内。故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面。即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
2、受力特点
向心力始终是水平的，而不是沿斜面向下。向心力是与铁轨的弹力的水平分力，而不是重力沿斜面的分力。因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．
3、速度与轨道压力的关系
火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则，如图所示，则，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角（，h为内外轨高度差，L为内外轨间距，v0为转弯处的规定速度）。
（1）若火车行驶速度，此时，内外轨道对火车均无挤压作用；
（2）若火车行驶速度，外轨对轮缘有侧压力；
（3）若火车行驶速度，内轨对轮缘有侧压力。
4、注意：规定速度的唯一性
火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．
【典例详解】
例10、（多选）铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面对水平面倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于，则（ ）
A、内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B、外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C、这时铁轨对火车的支持力等于 D、这时铁轨对火车的支持力小于
【答案】AD。
例11、（多选）铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是（ ）
A、v一定时，r越小则要求h越大 B、v一定时，r越大则要求h越大
C、r一定时，v越小则要求h越大 D、r一定时，v越大则要求h越大
【答案】AD。
类型2、汽车转弯
（1）在水平公路上行驶的汽车,转弯时汽车做圆周运动所需的向心力为，这是由车轮与路面间的静摩擦力f提供的，即。因为静摩擦力f最大不能超过最大静摩擦力。故要求车子转弯时，车速不能太大且转弯半径不能太小。
当最大静摩擦力提供向心力时，对应的是临界情况
此时，r一定时，。如果速度大于，静摩擦力提供不了运动所需要的向心力，就会发生相对滑动，被甩出去。
（2）在高速公路的拐弯处，一般设计成外侧路面比内侧路面高。这和火车转弯一样，弯道规定速度。
【典例详解】
例12、（多选）公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处(　　)
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
【答案】AC。
例13、在高速公路的拐弯处，路面建造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于(　　)
A、sin θ＝ B、tan θ＝ C、sin 2θ＝ D、cos θ＝
【答案】B。
例14、（多选）上海磁悬浮线路的最大转弯处半径达到8000m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1300m。一个质量50kg的乘客坐在以360km/h的不变速率随车驶过半径2500m弯道，下列说法正确的是（ ）
A、乘客受到的向心力大小约为200N
B、乘客受到来自车厢的力大小约为200N
C、乘客受到来自车厢的力大小约为539N
D、弯道半径设计特别长可以使乘客在转弯时更舒适
【答案】AD。
考点四、汽车过桥问题
1、汽车过凸形桥
汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示．
由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m。
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即FN′＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。
①当0≤v<时，0②当v＝时，FN＝0，速度再大时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
2、汽车过凹形桥。
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m。由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力FN′＝G＋m，大于汽车的重力。
【典例详解】
例15、一辆卡车在丘陵地带匀速率行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中容易爆胎，爆胎可能性最大的地段应是（ ）。
A、a处 B、b处 C、c处 D、d处
【答案】D。
例16、一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力
【答案】（1）28900N；（2）17800N；（3）30m/s。
考点五、竖直平面内圆周运动的两种临界问题
1、轻绳模型（光滑轨道内侧）
（1）最高点（）
如图所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点，合外力充当向心力。即，当T=0时，，（临界）。如果速度小于，，小球会下落。
（2）最低点（物体要冲上最高点的条件）
（机械能守恒、拉力不做功）
当，
（3）最低点和最高点绳子的拉力之差恒定，等于6mg。
最高点： 最低点：
（机械能守恒） 所以：
【典例详解】
例17、如图所示，质量为0.1kg的木桶内盛水0.4kg，用50cm的绳子系住桶，使它在竖直平面内做圆周运动。如果通过最高点和最低点时的速度大小分别为9m/s和10m/s，求木桶在最高点和最低点对绳的拉力和水对桶底的压力。（g取10N/kg）
【答案】最高点对绳的拉力为76N；最低点对桶的压力为84N。
例18、如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围（小球在轨道连接处无机械能损失）。
【答案】2.5R≤h≤5R。
2、轻杆模型（光滑细管内、光滑环上运动）
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
（1）最高点（杆可以提供支持力来平衡重力，所以向心力可以为0，即速度可以为0。）
①，仅有重力提供向心力。
②，物体受到向上的支持力。（v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg）
③，物体受到向下的拉力或压力。
（2）最低点
（机械能守恒、弹力不做功）
当，。
（3）最低点和最高点的弹力之差恒定，为6mg。
最高点： 最低点：
（机械能守恒） 所以：
【典例详解】
例19、质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示。已知小球以速度v通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg，则小球以速度v/2通过圆管的最高点时（ ）
A、小球对圆管内、外壁均无压力 B、小球对圆管外壁的压力等于mg/2
C、小球对圆管内壁的压力等于mg D、小球对圆管内壁的压力等于mg/2
【答案】D。
例20、如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。
【答案】3R。