7.3.1 离散型随机变量的均值课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册(共21张PPT)

(共21张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值；（重点）
2.理解离散型随机变量的均值的性质.；
3.掌握两点分布的均值；
4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关问题.（难点）
核心素养：数据分析、逻辑推理、数学运算
离散型随机变量的分布列确定了与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，我们通常会比较平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”，我们通常会考察这个班数学成绩的方差。
本节课我们一起来认识离散型随机变量的均值。
新课引入：
问题1： 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：
如何比较他们射箭水平的高低呢？
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数为
当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
概念新授
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量的平均水平.
例1：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为
P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以
E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)
=1×0.8+0×0.2 =0.8
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：
X 1 0
P p 1-p
np
概念新授
解：
例2：抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.
X=k）= , k=1,2,3,4,5,6.
X的分布列为
X）=
(1)确定取值：理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求概率：求出X取每个值时的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)求均值：利用定义公式求出均值
求离散型随机变量X的均值的步骤：
观察:
掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.
随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数（样本均值）绘制统计图，如图（1）和（2）所示，观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
(1)n=60
(2)n=300
事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复实验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来小.
因此我们常用样本均值去估计随机变量的均值.
这12组试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，
且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
问题探究
已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示，那么E(X+b)和E(aX)（都是实数）分别与E(X)有什么联系呢？
探究:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
X+b x1+b x2+b … xi+b … xn+b
P p1 p2 … pi … pn
aX ax1 ax2 … axi … axn
P p1 p2 … pi … pn
证明：若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.
因为 P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，
所以，Y的分布列为
···
···
···
···
···
···
E(aX+b)=
问题2：离散型随机变量均值的性质
所以
aE(X)+b
例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列如下表所示：
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列如下表所示：
X 0 1000 4000 6000
P 0.2 0.48 0.128 0.192
=4000)=
按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大.
猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序 E(X)/元
ABC 2336 BCA 2112
ACB 2144 CAB 1904
BAC 2256 CBA 1872
例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
工地的领导该如何决策呢
典例解析
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元,
因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.
采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.
于是,E(X1)=3800,
E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,
E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2能使总损失减到最小,
不过,因为洪水发生的随机性,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水
概率P 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 X1 3800 3800 3800
方案2 X2 62000 2000 2000
方案3 X3 60000 10000 0
课堂小结
1. 期望的概念
E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
2. 期望的意义
离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.
3. 期望的计算公式
E(aX+b)=aE(X)+b
4.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤
(1)确定取值：理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求概率：求出X取每个值时的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)求均值：利用定义公式求出均值
5.特殊随机变量的均值(两点分布的期望)：E(X)=p.
课后作业
完成书本
P66-67练习1、2、3题
P71习题7.3的2、3、4、6题