8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册(共18张PPT)

(共18张PPT)
8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计
为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型，表达式 刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计.
由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系,因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.
问题1
从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？
思路1：先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线．
图 8.2-2
儿子身高/cm
父亲身高/cm
190
185
180
175
170
165
160
问题1
从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？
思路2：可以在散点图中选两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线．
图 8.2-3
儿子身高/cm
父亲身高/cm
190
185
180
175
170
165
160
问题1
从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？
图 8.2-4
儿子身高/cm
父亲身高/cm
190
185
180
175
170
165
160
思路3：在散点图中多取几对点，确定出几条直线，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数作为所求直线的斜率和截距．
图 8.2-5
儿子身高/cm
父亲身高/cm
190
185
180
175
170
165
160
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn)．
设 表示点 到直线 的距离，表示点 到直线
的竖直距离， 表示直线 的倾斜角，则 ，所以思路1可以用中的距离可以用竖直距离替换.
图 8.2-5
儿子身高/cm
父亲身高/cm
190
185
180
175
170
165
160
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn)．
由 ，得 .显然 越小，表示点
与点 的“距离”越小，即样本数据点离直线
的竖直距离越小.因此可以用这n个竖直距离之和 来刻画各样本观测数据与直线 的“整体接近程度”.
问题2
如何求a，b的值，使 最小？
记
注意到
所以
当 取最小值时， 取最小值0，即 .
此时
上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为
综上，当a,b的取值为
时， Q达到最小.
我们将 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法，求得的 ， 叫做b，a的最小二乘估计．
易得:（1）经验回归直线必过样本中心 ;
（2） 与相关系数r符号相同.
问题3
如何理解经验回归直线？
图 8.2-6
儿子身高/cm
父亲身高/cm
190
185
180
175
170
165
160
1)当x=176时， ,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？
2)根据模型，父亲身高为多少时，儿子的平均身高与父亲的一样？
1)当x=185时，
1)当x=170时，
问题3
如何理解经验回归直线？
图 8.2-6
儿子身高/cm
父亲身高/cm
190
185
180
175
170
165
160
3)斜率0.839有什么含义？
对于响应变量Y，通过观测得到的数据为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减去预测值称为残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
问题4
如何判断模型刻画数据的效果？
图 8.2-7
父亲身高/cm
160 165 170 175 180 185
5
4
3
2
1
0
－1
－2
－3
－4
－5
残差/cm
问题5
观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？
课堂小结
1.经验回归方程 ，其中
2.残差分析
课后作业： 教科书第113页练习第2、3题.
再会！