2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第6章特殊平行四边形单元达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，P点为矩形ABCD两对角线的交点，将P点分别以AD、BC为对称轴画出对称点Q、R，形成六边形QABRCD．若AB＝2，AD＝4，则六边形QABRCD的周长为何？（　　）
A．12 B．4+2 C．4+4 D．4+4
2．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE DE＝4，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，P为菱形ABCD内一动点，连接PA，PB，PD，∠APD＝∠BAD＝60°，AB＝2，则PB+PD的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
6．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（　　）
A．或2+ B．或2﹣ C．2± D．或
7．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
8．如图，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，则正方形EFGH的边长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（　　）
A．1 B．2 C． D．4
10．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为（　　）
A． B． C．2 D．
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．如图所示，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO等于15°，∠DOE＝　 　°．
12．如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝，AB＝4，则EF＝　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点M、N分别在边AB、CD上，且AM＝2，DN＝4，点P、Q分别为BC、AD上的动点，连接PM、PN、PQ，则PM+PN+PQ的最小值为　 　．
14．如图，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，分别以CD，DE为边在Rt△CDE外部作正方形ABCD和正方形DEFG，若S△ADG＝，S正方形ABCD＝6，则S正方形DEFG＝　 　．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一动点P，作PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP＝，则BN的长为　 　．
16．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，且△AEF为正三角形，则△AEF的面积为　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB的中点，F是BC边上一动点，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B′处，矩形内有一动点P，连接PB′、PC、PD，则PB′+PC+PD的最小值为　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF平分∠DAB．
20．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时， AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
21．如图，在矩形ABCD中，P是AD上一动点，O为BD的中点，连接PO并延长，交BC于点Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形
（2）若AD＝6cm，AB＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与点D重合），设点P运动时间为ts，请用含t的代数式表示PD的长，并求出当t为何值时，四边形PBQD是菱形．并求出此时菱形的周长．
22．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
23．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
24．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
25．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由．
26．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：如图，连接PQ交AD于点E，
根据题意可知：
QP和AD互相垂直平分，
∴AE＝DE＝2，PE＝QE＝1，AQ＝DQ，
∴AQ＝＝，
∴AQ＝DQ＝，
同理可得，BR＝CR＝，
则六边形QABRCD的周长为4AQ+2AB＝4+4．
故选：D．
2．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
方法一：∴a+b＝4，
∵CE DE＝4，
CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，
∴S正方形ABCD＝8．
方法二：方程组a+b＝4，ab＝4的解为：a＝b＝2．
此时DE、CB的长就是正方形OMEN的边长，
即正方形OMEN就是正方形OCED．
所以DC＝OE＝2，
所以面积为8．故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠FAB＝45°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠AFC＝135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝，AB＝1，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∵AB＝BO，
∴BF＝BO，∴②正确；
∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，
∴∠CAH＝15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO＝90°，
∵∠EOC＝60°，
∴∠ECO＝30°，
∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，
∴AC＝CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，
∴DC＝OC＝OD，
∵CE⊥BD，
∴DE＝EO＝DO＝BD，
即BE＝3ED，∴④正确；
所以其中正确结论有②③④，3个．故选：C．
4．解：如图，连接BD．在菱形ABCD中，
AB＝AD．
∵∠BAD＝60°．
∴△ABD是等边三角形，
∴DA＝DB，∠ABD＝60°．
∵∠APD＝∠BAD＝60°．
∴动点P一定在△ABD的外接圆⊙O的劣弧BD上，
∴∠BPD＝∠APD+∠APB＝∠APD+∠ADB＝120°．
在AP上取AE＝BP，连接DE．
∵AE＝BP，∠DAE＝∠DBP，DA＝DB，
∴△AED≌△BPD（SAS），
∴DE＝DP，∠AED＝∠BPD＝120°，
∴∠DEP＝60°，
∴△PDE为等边三角形，
∴PE＝PD，
∴AP＝AE+EP＝BP+PD．
当AP为⊙O的直径时，BP+PD的值最大，
此时∠ABP＝90°，∠PAB＝30°．
∵AB＝2，
∴PB+PD的最大值为．故选：B．
5．解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°，
所以∠BEP＝90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE＝，
在△BEP中，PB＝，PE＝，由勾股定理得：BE＝，
∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP，
∴∠AEP＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF＝，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
连接BD，则S△BPD＝PD×BE＝，
所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+，
所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4+所以④是正确的；
综上可知，正确的有①③④，
故选：C．
6．解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．
由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，
∵y＝，
∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，
∴OA 2＝1.5，
∴OA＝，
∴AM＝1+＝．
如图2中，当点A在正方形外部时，
由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，
∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，
解得AN＝，
∴AM＝2+，
综上所述，满足条件的AM的值为或2+，
故选：A．
7．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
故选：B．
8．解：由图可得，S△AEH+S△BFE+S△CGF+S△DHG＝S△HJE+S△EKF+S△FLG+S△GIH，
设S△AEH+S△BFE+S△CGF+S△DHG＝S△HJE+S△EKF+S△FLG+S△GIH＝x，
则S正方形EFGH＝S正方形ABCD﹣x＝S正方形IJKL+x，
即196﹣x＝4+x，
解得x＝96，
∴S正方形EFGH＝196﹣96＝100，
∴正方形EFGH的边长为10，
故选：C．
9．解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF＝EF＝1，
∴△EFC的面积为＝＝2，
故选：B．
10．解：延长AD至H，延长FM与AH交于H点，
则在△AMH和△EMF中，
，
∴△AMH≌△EMF，即FM＝MH，AH＝EF，
∴DH＝AH﹣AD＝EF﹣AD＝1，
∵DF＝CF﹣CD＝3﹣2＝1，
在直角△DFH中，FH为斜边，
解直角△DFH得：FH＝，
又∵FM＝MH，
∴FM＝，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分）
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE＝∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
又∵∠EDO＝15°，
∴∠ADO＝60°；
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，
∴AD＝AO＝DO，
∴AO＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∵∠OAE＝90°﹣∠OAD＝30°，
∴∠AOE＝∠AEO＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DOE＝60°+75°＝135°，
故答案为：135．
12．解：连接DF，
∵EF为矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线，AO＝，
∴BD＝2DO＝2AO＝，BF＝DF，∠DOF＝90°，
∴DO＝，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴BD2＝BC2+CD2，
即，
解得BC＝6，
∵DF2＝CF2+CD2，
∴DF2＝（6﹣DF）2+42，
解得DF＝，
∵EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，∠EOD＝∠BOF＝∠DOF＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴OE＝OF＝EF，
在Rt△DOF中，DF2＝OF2+OD2，
∴OF2+（）2＝（）2，
解得OF＝，
∴EF＝．
故答案为．
13．解：如图所示，过点M作MF⊥OC于F，过点A作AH⊥OC于H，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交OC于P，连接NN′交OC于E，此时PM+PN的值最小．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝8，AO∥CD，
∴∠OOC＝∠NCE＝60°，
∵AH⊥OC，
∴AH＝4，
∵AM＝2，
∴OM＝6，
∵MF⊥OC，
∴∠MFO＝90°，∠FMO＝30°，
∴OF＝OM＝3，MF＝OF＝3，
∴M（3，3），
∵DN＝CN＝4，NE⊥x轴，
∴∠NEC＝90°，∠CNE＝30°，
∴CE＝CN＝2，NE＝CE＝2，
∴N（10，2），N′（10，﹣2），
∴PM+PN＝PM+PN′＝MN′＝＝2，
根据垂线段最短，当PQ⊥AD时，PQ的值最小，最小值＝AH＝4，
∴PM+PM+PQ是最小值为2+4．
故答案为2+4．
14．解：如图所示，过G作GH⊥AD，交AD的延长线于H，则∠H＝90°，
又∵∠DCE＝90°，
∴∠H＝∠DCE，
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠ADC＝∠CDH＝∠EDG＝90°，DG＝DE，
∴∠GDH＝∠EDC，
∴△DGH≌△DEC（AAS），
∴GH＝CE，
∵S正方形ABCD＝6，
∴CD＝，
∵S△ADG＝，
∴AD×GH＝，
又∵AD＝CD，
∴CD×CE＝，即×CE＝，
∴CE＝2，
∴Rt△CDE中，DE＝＝＝，
∴S正方形DEFG＝DE2＝10，故答案为：10．
15．解：延长NP交AB于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，AB∥CD，∠BAC＝45°，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP＝∠HPA＝45°，
∴AH＝PH，
设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，
在Rt△PBH中，PB2＝PH2+BH2，
∴，
解得x＝1或2，
当x＝1时，BH＝CN＝2，在Rt△BCN中，；
当x＝2时，BH＝CN＝1，在Rt△BCN中，．
故答案为或．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△CEF中，FE2＝CF2+CE2，
∴AB2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x＝2±，而x＜1，
∴x＝2﹣，
即BE的长为＝2﹣，
∴CE＝CF＝﹣1．
∴△AEF的面积＝1×1﹣2××1×（2﹣）﹣（﹣1）2＝2﹣3，
故答案为：2﹣3．
17．解：将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC'.
由题意，AE＝EB＝EB′，
∴点B′在上运动，
由作图可知，△PDP′，△DCC′都是等边三角形，
∴DP＝PP′，
∵CP＝P′C′，
∴PB′+PD+PC＝PB′+PP′+P′C′，
∵EB′+PB′+PP′+P′C′≥EC'，
∴PB′+PP′+P′C′≥12+4﹣4，
∴PB′+PP′+P′C′≥8+4，
∴PB′+PC+PD的最小值为8+4，
故答案为：8+4．
18．解：①：∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠C＝90°
∴MN2＝MC2+NC2
当MN＝MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2，
∴MC＝NC，
∴BM＝DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS）
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
，
∴△EAN≌△MAN（SAS）
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．故③正确；
④如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得△ABF，
∴∠MAF＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠MAF，
在△MAN和△MAF中，
，
∴△MAN≌△MAF（SAS），
∴∠AMN＝∠AMB，
故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝10，
∴AD＝BC＝DF＝10，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
20．解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO＝OC，EO＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝OD＝6cm，
∴EO＝6﹣t，OF＝2t，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AB＝＝3；
∴当AB为3时， AECF是菱形；
（3）∵四边形AECF是菱形，
∴BO⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∴BE＝DF，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2，
∴BE＝DF＝2，
∴EF＝8，
∴菱形AECF的面积＝AC EF＝6×8＝24．
21．解：（1）∵证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
∵O为BD中点，
∴OB＝OD，
在△PDO和△QBO中，
，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP＝OQ．
又∵OB＝OD，
∴四边形PBQD是平行四边形；
（2）依题意得，AP＝tcm，则PD＝（6﹣t） cm．
当四边形PBQD是菱形时，有PB＝PD＝（6﹣t） cm．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
在Rt△ABP中，AP2+AB2＝BP2，AB＝4cm，
∴t2+42＝（6﹣t）2
解得，
所以运动的时间为时，四边形PBQD是菱形．
∴此时菱形的周长为（cm）．
22．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°；
（3）解：AP＝CE；理由如下：
在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PC，
∴∠DAP＝∠AEP，
∴∠DCP＝∠AEP
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE．
23．解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
（2）OE＝OF成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF＝90°，
∠E+∠OBE＝90°，
又∵∠MBF＝∠OBE，
∴∠F＝∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
25．（1）证明：∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠DAB＝∠GAE＝90°，
∴∠GAD＝∠EAB，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠AMB+∠ABM＝90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA＝∠EBA，
∵∠HMD＝∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH＝∠AMB+∠ABM＝90°，
∴∠DHM＝180°﹣（∠HDM+∠DMH）＝180°﹣90°＝90°，
∴EB⊥GD．
26．解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；
（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．