2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值教学设计

7.3.1 离散型随机变量的均值
一、内容与内容解析
1.内容:离散型随机变量的均值的概念与计算;离散型随机变量的性质应用.
2.内容解析
《离散型随机变量的均值》是高二选择性必修第三册《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时，木节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质.
取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础.离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点.
在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性.因此，基于以上目标，可以确定本节课的重点.
3.教学重点：取有限值的离散型随机变量均值的概念与计算.
二、目标与目标解析
1.目标
(1)通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义．能够计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．
(2)通过实例理解取有限值离散型随机变量均值的含义，通过对比体会随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别.
(3)体验数学的价值，增强学习数学的兴趣。学会用数学解决实际问题.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
通过实际问题，使学生体会离散型随机变量均值的概念，理解离散型随机变量均值的线性性质，会计算简单的离散型随机变量的均值，并能解决一些简单的实际问题.
(2)通过离散型随机变量均值概念的探究形式，经历构建数学概念这一过程，使学生学会概括、抽象数学问题的方法，通过简单的应用，培养学生的数学应用意识.
三、教学问题诊断解析
1.问题诊断
美国心理学家布鲁纳认为教学过程是一种提出问题、解决问题的持续不断的活动.本节课的探究问题是离散型随机变量的均值如何表示，随机变量的均值与算术平均值、样本均值的区别以及两个随机变量具有线性关系时它们的均值具有什么关系 其中均值公式中概率的介入、三种均值的区别是探究的难点.
学生在已有的旧知识的基础上及教师的引导下以问题串的形式吸引学生关注主要对象，排除不利概括的“干扰”因素，完成探究任务，是一种教学策略.
为突破这一难点，在最开始的情景导入时设计了三个问题.教师在引导学生思考三个问题中数据的区别时，学生必然关注到频率与概率的区别，去理解频率与概率的意义，这正是学生由样本均值类比到期望的难点，跨过这个难点，后面所有的问题基本上学生都能很自然地探讨出来.
教学设计既要关注预设，又要注重生成，坚持树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将培养学生的学科核心素养贯穿于整个教学活动，本文将进行“情景--问题--探究”模式的教学研究.
2.教学难点
离散型随机变量的性质与应用.
四、教学支持条件分析
为了加强离散型随机变量的均值整体感受，采取循序渐进的教学设计，教学情境围绕均值发展历程和应用过程展开，采用问题串驱动法.
一是，考虑到本节课需要呈现的教学内容较多，为节约课时，增加课堂容量起见，采用多媒体辅助手段，自制PPT课件进行授课.可借助树状图等直观化的方法帮助学生提炼升华整节课的内容.
二是，借助实物投影仪展示学生的小组合作学习成果，让学生经历化归与转化、探索与尝试、总结与提炼以及应用与深化四个阶段，加深学生对均值公式的认知，对应用过程的理解，完成本课的教学目标.
五、教学过程设计
引导语：离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.
例如,要比较不同班级某次考试成绩,通常会比较平均成绩;要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此,类似于研究一组数据的均值和方差,我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征.
1.创设情境，引入新课
【问题探究】
甲 7 8 9 10
乙 6 8 9 10
环数X 7 8 9 10
甲射中的频率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的频率 0.15 0.25 0.4 0.2
问题1:甲乙两名射箭运动员进行射击比赛，成绩如下（单位：环）：
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
问题2:甲、乙两名同学进行了100次射击，成绩如下（单位：环）：
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
问题3:甲乙两名射箭运动员以往的射击比赛，分布列如下表所示：
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
师生活动(让学生分小组合作交流，请学生进行分享.根据学生知识，问题1,2容易解决，问题3学生难以下手)
教师总结:问题1的均值我们称为算术平均值，若取值为，则其平均数为；问题2的均值称为样本均值，若取值的频率分别为，则其平均数为.
追问：同学们，问题1与问题2、问题2与问题3的数据有什么区别吗？你能类比问题1、问题2的均值计算公式去解决问题3吗？
学生经过小组合作学习、讨论，形成如下思路:
(1)问题1每个击中环数出现的次数都是1，问题2中每个击中环数出现的次数不是1并且都不相同，问题3中每个击中环数出现的次数都是不固定的.
(2)问题1中每个击中环数出现的概率都是，问题2中每个击中环数出现的频率都不相同，问题3中每个击中环数出现的概率不相同.
追问：你们都发现这三个表格区别就是一个是频率一个是概率，那么频率能否用概率代替呢？
师生活动:教师引导学生回复之前所学知识.前面我们学习过当实验次数趋于无穷时，事件发生的频率趋于一个稳定的值，这个值就是这个事件发生的概率.
教师总结:如果问题2中这两位同学进行无数次实验后，样本均值中的频率就分别趋于一个固定值，即概率.因此，此时均值就改写为，我们就把这个均值称为随机变量的均值.
[设计意图]以学生熟悉的生活问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，以问题串为主线，以师生互动为基本活动方式，采用小碎步，层层递进，逐步深入的方法，最终得出“离散型随机变量取值的平均值就是离散型随机变量的所有取值与其相应概率乘积之和”的结论.这样，既可使学生感受数学与生活的联系，又可激发学生的学习兴趣和热情.同时更是考虑到“离散型随机变量的均值”这一知识的最近发展区就是样本平均值与概率，有利于学生进行知识的正向迁移，也为下一步学生通过概括、抽象得出科学定义做好了铺垫.
2.概括抽象，构建概念
追问:一般地，什么叫离散型随机变量的均值？
（先由学生尝试定义，教师修正）
概念生成:一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示:
则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量的平均水平.
教师总结:这个均值公式是在有分布列前提下得到的，因此应该注意到
且.
[设计意图]这样设计可以使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.
[教师总结]根据上面三个问题，我们就可以知道，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量取每个值时概率不同导致期望不同于初中所学的算术平均值.对于确定的随机现象，随机变量的均值是确定的常数，不依赖于样本的抽取.而样本平均值是一个随机的数值，它随着样本抽取的不同而变化.因此我们也可以得出随机变量的均值与样本平均值的区别与联系：
区别:随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化.
联系:对于简单随机样本，随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值，因此我们常用样本的平均值去估计总体的均值.
[设计意图]对所学内容进行总结意在使学生弄清离散型随机变量的均值与样本平均值之间的区别与联系，有利于加深对离散型随机变量均值的理解和认识.
3.典例分析，应用示范
例1:在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少呢？
1 0
0.8 0.2
解：
答：他罚球1次的得分的均值是0.8.
[设计意图]例1的设计是为了巩固并加深学生对离散型随机变量均值概念的理解，同时也是为了对解答简单应用题做好示范，以规范学生的解题过程.
变式1:如果将题目中概率0.8改成，那么他罚球1次得分的均值是多少呢？
1 0
例题推广:一般地，如果随机变量服从两点分布，那么
若服从两点分布，则.
[设计意图]教师引导学生归纳两点分布的公式：如果随机变量服从两点分布，.通过引申，进行总结归纳，引导学生得出结论两点分布的期望，实现知识内化。
变式2:在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分的均值是多少呢？
解:
0 1 2
0.04 0.32 0.64
所以的分布列如图所示：
所以
答:他罚球2次的得分的均值是1.6.
教师总结:
求离散型随机变量的均值的步骤:
确定取值:根据随机变量的意义，写出全部可能的取值;
求概率:求出取每个值得概率；
写分布列:写出的分布列（有时也可省略）；
求均值:由均值的定义公式求出.
[设计思路]引导学生确定的可能取值，计算各个取值的概率，写出的分布列，根据定义公式计算出的均值.通过讲解这道题，规范格式.让学生归纳总结求离散型随机变量的均值的步骤，进行变式延伸，体验学习的快乐.
例2:抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值.
解:的分布列为
因此
[设计意图]学以致用，不断强化离散型随机变量的均值的方法归纳以及应用.
变式:将所得点数的2倍加1作为得分分数，即，求的数学期望.
[设计意图]的期望与的期望有什么样的关系吗？可引导学生根据均值的意义，先猜出结果再通过计算证明.学生思考、计算、讨论、总结，这是培养学生直观想象素养的重要途径.
通过此活动，学生可以得出的期望与的期望有一定的线性关系，的期望等于的期望的2倍加1，即.
追问:若随机变量，则与满足什么样的关系呢？
师生活动:若，其中为常数，为随机变量.
(1)写出随机变量的分布列；(2)求的均值.
解:(1)由题意，知也是随机变量，则
所以，的分布列为:
即
[设计意图]从具体事例出发，通过观察、思考、类比，从特殊例子中归纳猜想，得出离散型随机变量均值的线性性质的一般规律，意在使学生的思维遵循学生认识问题的一般规律，也为培养学生善于观察思考，发现新问题、新知识，养成勇于探索思维习惯和科学精神.
总结提升:
离散型随机变量的均值的性质:
若是两个随机变量，且，则有.
当时，即随机变量与常数之和的均值等于的均值与这个常数的和.
当时，，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.
离散型随机变量均值的运算性质:
(1)
(2)
(3)
例3:猜歌名游戏是根据跟去的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示:
歌曲
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
规则如下:按照的顺利猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
解:分别用表示猜对歌曲歌名的事件，则相互独立.
所以
0 1000 3000 6000
0.2 0.32 0.288 0.192
的分布列如下表:
的均值为
思考:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大呢？
如果按的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少呢？
解:分别用表示猜对歌曲歌名的事件，则相互独立.
所以
0 1000 3000 6000
0.2 0.48 0.128 0.192
的分布列如下表:
的均值为
按由易到难的顺利来猜歌，获得的公益基金的均值最大.
猜歌顺序 猜歌顺序
ABC 2336 BCA 2112
ACB 2144 CAB 1904
BAC 2256 CBA 1872
对于例3，决策的原则是选择期望值大的猜歌顺序，这称为期望值原则.猜对的概率大表示比较容易猜，猜对的概率小表示比较难猜.
例4:根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下三种方案:
方案1:运走设备，搬运费为3800元.
方案2:建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水.
方案3:不采取措施，希望不发生洪水.
工地的领导该如何决策呢？
分析:决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好，根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如下表所示:
天气状况
大洪水 小洪水 没有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案.
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，.
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元，因此，
采用方案3，于是，
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.
值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
教师总结:例4也是利用期望值决策的问题.随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复地就同样的问题进行决策，期望值原则就是一个合理的决策原则.例如，保险公司面对众多的客户，每份保单需要理赔的期望值对制定合理的保险费率具有重要的参考意义.但如果是一次性决策的话，可以采用期望值原则决策，也可以采用其它的决策原则.
[设计意图]采用师生共同归纳小结的方式，通过总结，反思深化学生对基础概念、基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力.除了注重知识，还注重引导学生对解题思路和方法的总结，可切实提高学生分析问题、解决问题的能力，并让学生养成良好的数学学习方法和习惯.
提炼升华 归纳总结
师生活动：本节课我们主要学了什么内容呢？可以怎样归纳呢？
[设计意图]梳理本节课的研究内容，学生学会归纳总结，提炼整节课的精华，培养学生的归纳总结能力，激励学生主动培养自己的优秀品质.同时采用多媒体辅助手段，借助树状图等直观化的方法帮助学生提炼升华整节课的内容.
板书设计
7.3.1 离散型随机变量的均值一个定义：两个注意：样本平均值与随机变量均值的区别与联系三个性质：四个步骤:求离散型随机变量的均值的步骤:(1)确定取值(2)求概率(3)写分布列(4)求均值 例1:解：100.80.2答:他罚球1次的得分的均值是0.8.变式1:若服从两点分布，则.变式2:解: 所以的分布列如图所示：0120.040.320.64所以答:他罚球2次的得分的均值是1.6.
0 1
七、目标检测设计
1.已知的分布列如右图所示:
设，则的值为(　　)
A.　　 B.4 C.－1 D.1
2.已知随机变量的分布列为
(1)求；(2)若，求．
变式:本例条件不变，若，且，求的值．
已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为(　　)
A.　 B. C. D.
[设计意图]巩固均值的线性性质，强化分布列的定义，期望的定义.
4.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记为该毕业生得到面试的公司个数，若， ；若，则随机变量的期望 .
5.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
(1)若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；
②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
[设计意图]均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．通过练习题，让学生强化离散型随机变量均值求解的步骤，不断深化对均值知识的理解.
强化学生对概念的应用，起到培养学生自学能力的作用.
[课后拓展]在人口密集的广场上，有一小贩拿着一只布袋，站在一边高声叫喊：“快过来！快过来！送钱咯”.原来布袋内装除颜色外完全相同的4个红球和4个绿球，每次让顾客”免费”从中摸出4个球，输赢的规则是:
所摸球的颜色 顾客的利益
4个全红 得50元
3红1绿 得20元
2红2绿 失30元
1红3绿 得20元
4个全绿 得30元
若你摸出了2红2绿则失30元，而对于其他四种情况，你均能赢钱，乍一看，此规则似乎对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次，然而.顾客大多数都免不了以失败告终，而且试的次数越多，输的也就越多.
假如5种情况是等可能的，则赢的机会为，输的机会仅为，平均每摸5次有4次都应该赢，但游戏的妙处就在于这5种情况的发生不是等可能的，经过计算可知.这5种情况出现的概率如表：
所摸球的颜色 出现的概率
4个全红
3红1绿
2红2绿
1红3绿
4个全绿
从表中可以看出，要想摸出“4个全红”或“4个全绿”的概率仅为，而摸到2红2绿的概率为，即有超过一半的机会失30元，请你计算这种游戏中顾客每摸一次球的平均收益.
[设计意图]生活中蕴含数学知识，数学知识又能解决生活中的问题.例题与生活密切联系，让学生感受数学在生活中的应用.数学来源于生活，又为生活服务.在数学教学过程中，我们可以引导学生将数学应用意识延伸到我们的日常生活中.