第三章不等式 章末测评-2021-2022学年高一下学期数学北师大版必修5（Word含答案解析）

第三章 章末测评
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式组的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜－1}
B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＞1}
2．若集合A＝，B＝{x|y＝log2[(2－x)(1＋x)]}，则A∩B＝(　　)
A．[－2，2) B．(－1，1)
C．(－1，1] D．(－1，2)
3．已知M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M，N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M4．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在平面直角坐标系内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(　　)
5．不等式≥1的解集为(　　)
A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1]∪
C．(－∞，－1]∪
D．∪[2，＋∞)
6．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－，)，则a＋b的值是(　　)
A．10 B．－10 C．－14 D．14
7．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4 C． D．2
8．若一元二次方程x2＋(a－1)x＋1－a2＝0有两个正实数根，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，1)
B．∪[1，＋∞)
C．
D．
9．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．2
10．已知z＝2x＋y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则实数a的值是(　　)
A．　　B．　　C． 　　D．
11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5 km处　　　　 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
12．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是(　　)
A．[3，8] B．[3，6]
C．[6，7] D．[4，5]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为______时，日获利不少于1 300元．
14．已知a，b，x，y∈(0，＋∞)，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系为____．
15．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.
16．(2020·全国Ⅱ卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是________．
三、解答题(共70分)
17．(10分)已知实数x，y满足
(1)z＝的取值范围；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．
18．(12分)某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x万元，满足m＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用x(万元)的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19．(12分)正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
20．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
每吨甲产品 每吨乙产品 每天资源额
煤/t 8 4 320
电力/kW·h 3 4 150
劳动力/个 4 8 280
若生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元，问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该厂获得最大利润？
21．(12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a＜0.
22．(12分)在平面直角坐标系上，设不等式组(n∈N＋)表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为an.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)若bn＋1＝2bn＋an，b1＝－13.
求证：数列{bn＋6n＋9}是等比数列，并求出数列{bn}的通项公式．
答案解析
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式组的解集为(　　)
A．{x|－2＜x＜－1}
B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＞1}
【解析】选C.原不等式组可化为
，解得0＜x＜1.
2．若集合A＝，B＝{x|y＝log2[(2－x)(1＋x)]}，则A∩B＝(　　)
A．[－2，2) B．(－1，1)
C．(－1，1] D．(－1，2)
【解析】选B.不等式≤0，等价于(x＋2)(x－1)≤0且x－1≠0，解得－2≤x<1，即A＝.
函数y＝log2的定义域为(2－x)(1＋x)>0，解得－13．已知M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M，N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M【解析】选A.因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.
4．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在平面直角坐标系内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(　　)
【解析】选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于或
即不等式表示的区域是同时在两直线的上方或同时在两直线的下方，只有C项符合．
5．不等式≥1的解集为(　　)
A．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1]∪
C．(－∞，－1]∪
D．∪[2，＋∞)
【解析】选D.由题得－1≥0，
所以≥0，所以≥0，
所以
所以－1≤x<或x≥2.即该不等式的解集为∪[2，＋∞).
6．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－，)，则a＋b的值是(　　)
A．10 B．－10 C．－14 D．14
【解析】选C.因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，所以方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和.所以所以a＋b＝－14.
7．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4 C． D．2
【解析】选B.约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取最小值时，最优解为(2，1).
所以2a＋b＝2，则b＝2－2a，
所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20＝52＋4，即当a＝，b＝时，a2＋b2有最小值4.
8．若一元二次方程x2＋(a－1)x＋1－a2＝0有两个正实数根，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，1)
B．∪[1，＋∞)
C．
D．
【解析】选C.因为方程有两个正实数根，不妨设为x1，x2，
所以有
即所以－1＜a≤－.
9．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．2
【解析】选C.由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得lg 2x＋3y＝lg 2，所以x＋3y＝1，＋＝(＋)(x＋3y)＝2＋＋≥4.
当且仅当即时，等号成立．
故＋的最小值是4.
10．已知z＝2x＋y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则实数a的值是(　　)
A．　　B．　　C． 　　D．
【解析】选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(图略)及直线2x＋y＝0，平移该直线，当相应直线分别经过该平面区域内的点(a，a)与(1，1)时，相应直线在y轴上的截距达到最小与最大，此时z＝2x＋y取得最小值与最大值，于是有2×1＋1＝4(2a＋a)，a＝.
11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5 km处　　　　 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
【解析】选A.设车站到仓库距离为x km(x＞0)，土地费用为y1万元，运输费用为y2万元，由题意得y1＝，y2＝k2x，
因为x＝10时，y1＝2，y2＝8，
所以k1＝20，k2＝，所以费用之和为y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．
12．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是(　　)
A．[3，8] B．[3，6]
C．[6，7] D．[4，5]
【解析】(方法一)
选A.作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．
在可行域内平移直线2x－3y＝0，当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3，1)时，目标函数有最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.所以z∈[3，8].
(方法二)选A.设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，则(λ＋μ)x＋(λ－μ)y＝2x－3y，
所以解得
所以z＝－(x＋y)＋(x－y).
因为－1≤x＋y≤4，所以－2≤－(x＋y)≤.①
因为2≤x－y≤3，所以5≤(x－y)≤.②
①＋②得，3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
所以z的取值范围是[3，8].
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为______时，日获利不少于1 300元．
【解析】由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，化简得x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.因此，该厂日产量为20件至45件时，日获利不少于1 300元．
答案：20件至45件
14．已知a，b，x，y∈(0，＋∞)，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系为____．
【解析】因为1＝＋≥2＝，所以ab≥4.因为8＝x2＋y2≥2xy，所以xy≤4.所以ab≥4≥xy.
答案：ab≥xy
15．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.
【解析】因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.
因为a2＋b2＋c2＝1，所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，所以3a2≤2，所以a2≤，所以－≤a≤.所以amax＝.
答案：
16．(2020·全国Ⅱ卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是________．
【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示：
平移直线y＝－x，当直线经过点A时，直线y＝－x＋z在纵轴上的截距最大，此时点A的坐标是方程组的解，
解得：
因此z＝x＋2y的最大值为2＋2×3＝8.
答案：8
三、解答题(共70分)
17．(10分)已知实数x，y满足
(1)z＝的取值范围；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．
【解析】作出可行域如图所示，并求出各点的坐标为A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)，Q(－1，－).
(1)将z＝变形为z＝2×，由斜率公式可知表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的两倍，
因此kQ A＝＝，kQB＝＝，故z的范围为.
(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，
过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，M(0，5)，直线AC：x－y＋2＝0，
故由点到直线距离公式可得|MN|＝＝，
所以z的最小值是|MN|2＝.
18．(12分)某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x万元，满足m＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用x(万元)的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解析】(1)由题意知，当x＝0时，m＝1，
所以1＝3－k，k＝2，m＝3－，
每件产品的销售价格为1.5×元．
所以2020年的利润y＝1.5×·m－8－16m－x＝－－x＋28(x≥0).
(2)由(1)知，y＝－－x＋28＝－－(x＋1)＋29 ＝－＋29≤
－2＋29＝21，
当且仅当＝(x＋1)，即x＝3时取等号，该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．
19．(12分)正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
【解析】(1)由1＝＋≥2得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
20．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
每吨甲产品 每吨乙产品 每天资源额
煤/t 8 4 320
电力/kW·h 3 4 150
劳动力/个 4 8 280
若生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元，问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该厂获得最大利润？
【解析】设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x吨，y吨，获得利润z万元，
依题意可得约束条件
作出可行域，如图阴影部分所示．
利润目标函数z＝5x＋8y.
由几何意义知，当直线y＝－x＋z经过可行域上的点M时，z＝5x＋8y取最大值．
解方程组得
即M(10，30).所以每天生产甲种产品10吨，乙种产品30吨时，该厂获得最大利润．
21．(12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a＜0.
【解析】(1)因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋1≥0，恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0＜a≤1.
综上，a的取值范围为[0，1].
(2)由x2－x－a2＋a＜0得，(x－a)[x－(1－a)]＜0.
因为0≤a≤1，所以①当1－a＞a，
即0≤a＜时，a＜x＜1－a；
②当1－a＝a，即a＝时，＜0，不等式无解；
③当1－a＜a，即＜a≤1时1－a＜x＜a.
综上所述，当0≤a＜时，解集为(a，1－a)；
当a＝时，解集为；当＜a≤1时，解集为(1－a，a).
22．(12分)在平面直角坐标系上，设不等式组(n∈N＋)表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为an.
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)若bn＋1＝2bn＋an，b1＝－13.
求证：数列{bn＋6n＋9}是等比数列，并求出数列{bn}的通项公式．
【解析】(1)根据题意，由x＞0，y≥0，－2n(x－3)≥y≥0得0＜x≤3，
所以平面区域为Dn内的整点为点(3，0)与在直线x＝1和x＝2上的整点，
所以直线y＝－2n(x－3)与直线x＝1和x＝2交点纵坐标分别为y1＝4n和y2＝2n，
所以Dn内在直线x＝1和x＝2上的整点个数分别为4n＋1和2n＋1，所以an＝4n＋1＋2n＋1＋1＝6n＋3.
(2)由bn＋1＝2bn＋an，得bn＋1＝2bn＋6n＋3，
所以bn＋1＋6(n＋1)＋9＝2(bn＋6n＋9)，
因为b1＋6＋9＝2，
所以{bn＋6n＋9}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以bn＋6n＋9＝2n，所以bn＝2n－6n－9.