2021-2022学年安徽省合肥市庐江县八年级（上）期末数学试卷（word版含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市庐江县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内）
1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（　　）
A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm
3．某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A．9.5×10﹣7 B．9.5×10﹣8 C．0.95×10﹣7 D．95×10﹣8
4．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝24°，则∠2的度数是（　　）
A．54° B．48° C．46° D．76°
5．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（　　）
A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5
6．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
7．△ABC中，AB＝4，∠B＝∠C＝15°，则△ABC的面积是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．下列计算正确的是（　　）
A．x3÷x3＝0 B．（﹣3x）2＝6x2 C．2x﹣2＝ D．（x3）2＝x6
9．△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（　　）
A．67.5° B．22.5°
C．45° D．67.5°或22.5°
10．元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（　　）
A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．化简：＝　 　．
12．因式分解：3ab2﹣6ab+3a＝　 　．
13．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，
（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝　 　°；
（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝　 　°．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．化简：（3m+n）2﹣3m（m+2n）．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．
18．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 　 　．
（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．先化简：，再从2，﹣2，3，﹣3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）在△A1B1C1中，求∠A1B1C1的度数．
六、（本题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E．
（1）求证：DO平分∠ADC．
（2）若点A的坐标是（﹣3，0），求点B的坐标．
七、（本题满分12分）
22．某社区拟用60m2建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2m2．若单独建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．
（1）求每个A、B类摊位的占地面积；
（2）已知该社区混合建A类和B类摊位，刚好全部用完60m2．写出建A、B两类摊位个数的所有方案，并说明理由．
八、（本题满分14分）
23．已知：△ABC为等边三角形，D为射线CB上一点，E为射线AC上一点，AD＝DE．
（1）如图1，当点D为线段BC的中点，点E在AC的延长线上时，求证：BD+AB＝AE；
（2）如图2，当点D为线段BC上任意一点，点E在AC的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点D在CB的延长线上，点E在线段AC上时，BD、AB、AE之间又有何数量关系？请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内）
1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
2．若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（　　）
A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm
【分析】设第三边为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出合适的x的值即可．
解：设第三边为xcm，
∵三角形的两边长分别为3cm和5cm，
∴5cm﹣3cm＜x＜5cm+3cm，即2cm＜x＜8cm，
∴5cm符合题意，
故选：C．
3．某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A．9.5×10﹣7 B．9.5×10﹣8 C．0.95×10﹣7 D．95×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000095＝9.5×10﹣7，
故选：A．
4．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝24°，则∠2的度数是（　　）
A．54° B．48° C．46° D．76°
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝24°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝54°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝54°．
故选：A．
5．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（　　）
A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5
【分析】由于x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，然后根据完全平方公式即可得到关于m的方程，解方程即可求解．
解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，
∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，
∴m＝5或﹣3．
故选：B．
6．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．根据SSS证明△AOB≌△CEF．
解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
7．△ABC中，AB＝4，∠B＝∠C＝15°，则△ABC的面积是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
解：∵AB＝4，∠B＝∠C＝15°，
∴AB＝AC＝4，
过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°，
∵AC＝4，CD是AB边上的高，
∴CD＝AC＝×4＝2，
∴S△ABC＝×4×2＝4，
故选：B．
8．下列计算正确的是（　　）
A．x3÷x3＝0 B．（﹣3x）2＝6x2 C．2x﹣2＝ D．（x3）2＝x6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
解：A、x3÷x3＝1，故此选项错误；
B、（﹣3x）2＝9x2，故此选项错误；
C、2x﹣2＝，故此选项错误；
D、（x3）2＝x6，故此选项正确．
故选：D．
9．△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（　　）
A．67.5° B．22.5°
C．45° D．67.5°或22.5°
【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．
解：①如右图所示，CD在△ABC内部，
∵AB＝AC，CD为AB上的高，
∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；
②如右图所示，CD在△ABC外部，
∵AB＝AC，CD为AB上的高，
∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝×45°＝22.5°，
∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；
故答案是22.5°或67.5°．
故选：D．
10．元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（　　）
A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较
【分析】根据加权平均数的公式分别表示出顾客甲、乙购买该商品的平均单价，再利用作差法比较大小即可．
解：∵顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
∴﹣＝＝＞0，
∴乙划算．
故选：B．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．化简：＝　　．
【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．
解：＝．
故答案为：．
12．因式分解：3ab2﹣6ab+3a＝　3a（b﹣1）2　．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．
解：原式＝3a（b2﹣2b+1）
＝3a（b﹣1）2．
故答案为：3a（b﹣1）2．
13．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　八　．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2） 180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，
（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝　121　°；
（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝　118　°．
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣121°＝69°，所以∠MAN＝∠C＝69°，即可求出AMN+∠ANM．
（2）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，利用三角形内角和定理即可．
解：（1）∵∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣121°＝69°，
∴∠MAN＝∠C＝69°，
∴AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣69°＝121°，
故答案为121．
（2）如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，
连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．
作DA延长线AH，
∵∠DAB＝121°，
∴∠HAA′＝59°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM
＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″
＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．
故答案为：118．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
【分析】化简零指数幂，负整数指数幂，然后再计算．
解：原式＝1﹣4
＝﹣3．
16．化简：（3m+n）2﹣3m（m+2n）．
【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
解：原式＝（9m2+6mn+n2）﹣（3m2+6mn）
＝9m2+6mn+n2﹣3m2﹣6mn
＝6m2+n2．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．
【分析】证明△AEC≌△BED（ASA），可得AC＝BD．
【解答】证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴AC＝BD．
18．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．
（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．
【分析】（1）分别计算图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案；
（2）逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案．
解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） （1﹣）（1+）
＝×××× ××
＝．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．先化简：，再从2，﹣2，3，﹣3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出a的值，继而代入计算即可．
解：原式＝÷（﹣）
＝
＝﹣，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，a+3≠0，
∴a≠2，a≠±3，
∴当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）在△A1B1C1中，求∠A1B1C1的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点A1，B1，C1的位置写出坐标即可；
（3）利用网格特征解决问题即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）点A1，（4，4），B1（1，1），C1（3，1）；
（3）∠A1B1C1＝45°．
六、（本题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E．
（1）求证：DO平分∠ADC．
（2）若点A的坐标是（﹣3，0），求点B的坐标．
【分析】（1）先由DA⊥x轴、CB⊥x轴得到DA∥CB∥y轴，进而得到∠ADO＝∠ODE、∠EOC＝∠OCB，再由∠COD＝90°得到∠DOE+∠EOC＝90°和∠ODE+∠DCO＝90°，然后得到∠EOD＝∠EDO，从而得到∠ADO＝∠EDO，即可得证DO平分∠ADC；
（2）过点O作OF⊥CD于点F，然后由角平分线的性质定理得到OA＝OF、OF＝OB，再由点A（﹣3，0）求得点B的坐标．
【解答】（1）证明：∵CO平分∠BCD，
∴∠DCO＝∠BCO，
∵CB⊥x轴，DA⊥x轴，
∴DA∥CB∥y轴，
∴∠BCO＝∠EOC，∠ADO＝∠EOD，
∴∠EOC＝∠DCO，
∵∠COD＝90°，
∴∠DCO+∠ODC＝90°，∠EOC+∠EOD＝90°，
∴∠EOD＝∠EDO，
∴∠EDO＝∠ADO，
∴DO平分∠ADC．
（2）解：过点O作OF⊥CD于点F，则∠OFD＝∠OFC＝90°，
∵DO平分∠ADC，CO平分∠DCB，OA⊥AD，OB⊥CB，
∴OA＝OF，OF＝OB，
∴OA＝OB，
∵A（﹣3，0），
∴OB＝OA＝3，
∴B（3，0）．
七、（本题满分12分）
22．某社区拟用60m2建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2m2．若单独建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．
（1）求每个A、B类摊位的占地面积；
（2）已知该社区混合建A类和B类摊位，刚好全部用完60m2．写出建A、B两类摊位个数的所有方案，并说明理由．
【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为xm2，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）m2，由题意：社区拟用60m2建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，若单独建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可；
（2）设建造a个A类摊位，b个B类摊位，由题意：该社区混合建A类和B类摊位，刚好全部用完60m2．列出二元一次方程，求其正整数解即可．
解：（1）设每个B类摊位的占地面积为xm2，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）m2，
依题意得：＝×，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝5．
答：每个A类摊位的占地面积为5m2，每个B类摊位的占地面积为3m2．
（2）有3个方案，理由如下：
设建造a个A类摊位，b个B类摊位，
由题意得：5a+3b＝60，
则a＝12﹣b，
∵a、b为正整数，
∴或或，
∴共有3个方案：
①A类摊位9个，B类摊位5个；
②A类摊位6个，B类摊位10个；
③A类摊位3个，B类摊位15个．
八、（本题满分14分）
23．已知：△ABC为等边三角形，D为射线CB上一点，E为射线AC上一点，AD＝DE．
（1）如图1，当点D为线段BC的中点，点E在AC的延长线上时，求证：BD+AB＝AE；
（2）如图2，当点D为线段BC上任意一点，点E在AC的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点D在CB的延长线上，点E在线段AC上时，BD、AB、AE之间又有何数量关系？请说明理由．
【分析】（1）如图1，利用△ABC是等边三角形得出角，边关系，利用AD＝DE，得出△CDE是等腰三角形，得出CD＝CE，由线段关系可得出BD+AB＝AE；
（2）如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH＝CE，得出AE＝AB+BD；
（3）如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，EF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB＝BD+AE．
【解答】证明：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠CAD＝30°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE，
∴AE＝AC+CE＝AB+CD＝AB+BD；
（2）成立，理由如下：
如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，
∵BH＝BD，∠B＝60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠BHD＝60°，BD＝DH，
∵AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠CAD，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，
∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，
∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，
在△AHD和△DCE，
，
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH＝CE，
∴BD＝CE，
∴AE＝AC+CE＝AB+BD；
（3）AB＝BD+AE，理由如下：
如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，EF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DEF，
在△AFD和△EFD中，
，
∴△AFD≌△EFD（SSS），
∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠DFB，
∴DB＝BF，
∵AB＝AF+FB，
∴AB＝BD+AE．