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北师版八年级下册数学2.1 不等关系教学设计
课题 2.1 不等关系 单元 第二单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义.2.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力.3.培养学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人见解,从交流中受益.
重点 不等式概念的总结.
难点 从现实情境中建立不等关系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 各种烟花给节日增添了喜庆的气氛，但你是否想过，烟花引火线的安全长度会与某种“不等关系”有关吗？也许，你对手机通话费以及打折购物等消费方案的选择并不陌生，但你知道它们同样会涉及一些“不等关系”吗？其实，与相等关系相比，不等关系更为普遍.你能举出生活中不等关系的例子吗？比如：研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于8小时；数学考试中合格的分数要不低于72分……举例说说吧！ 学生思考回答问题。 使学生认识到现实生活中存在大量的不等关系,明确学习不等式的必要性,同时激发学生的学习兴趣.
讲授新课 如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆.（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？教师讲解： “不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“≤ ”表示.分析：（1）因为绳长l cm为正方形的周长，所以正方形的边长为_______，得其面积为_______，要使正方形的面积不大于25 cm2，就是____________.（2） 如果要使圆的面积不小于 100 cm 2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？教师讲解：“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“ ≥”表示分析：（2）因为圆的周长为lcm，所以圆的半径为_______，要使圆的面积不小于100 cm2，就是_____________.（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？ l =12呢？分析：（3）当l =8时，正方形的面积为_______，圆的面积为_______≈ _____（cm2），此时_______的面积大.当l =12时，正方形的面积为_______，圆的面积为_______≈ _______ （cm2），此时_______的面积大.【思考】改变 l 的取值再试一试，由此你能得到什么猜想？分析：（4）我们可以猜想，用长度均为 l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和一个圆，无论 l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即__________________.因为分子都是_______，分母_______＜_______，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有_______＞_______.【做一做】（1）铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为a cm, b cm, c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.根据题意可得： a+b+c≤160.（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6m，在一定生长期内每年增加约3cm.设经过x年后这棵树的树围超过30cm，请你列出x满足的关系式.根据题意可得： 6+3x＞30.观察由上述问题得到的关系式：a+b+c≤160，6+3x>30，它们有什么共同特点？一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式.【例】①3>0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y-7；⑤m-2.5>3.其中不等式有 ( C )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个判断一个式子是否为不等式,关键是看这个式子中是否含有不等号，如:“<”“≤”“>”“≥”或“≠”.不等号：不等号><≥≤≠读作大于小于大于等于小于等于不等于常见表示不等关系的词语：大于、比…大、超过；小于、比…小、低于；不大于、不超过、至多；不小于、不低于、至少等.不等关系：【例】用适当的符号表示下列关系：（1）a是非负数；（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长；（3）x与17的和比它的5倍小；（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍.答案：a≥0c≥a，c≥bx+17＜5xx2+y2≥2xy【总结归纳】1. 列不等式就是用不等式表示代数式之间的不等关系．2. 列不等式的一般步骤：(1)分析题意，找出问题中的各种量；(2)弄清各种量之间的数量关系；(3)用代数式表示各种量；(4)用适当的不等号将具有不等关系的量连接起来． 学生试着用式子表示不等关系。学生思考回答问题。学生根据所学知识回答问题。学生做例题，小组之间讨论。学生在教师的引导下总结归纳。学生做练习。学生在教师的引导下总结归纳。 通过运用不等式表示不等关系,加深对不等式的理解,会用不等式表示实际问题中的不等关系.通过问题直接建立不等关系,体会同类量之间最常见的是比大小问题,并发展学生的归纳猜想能力.在解决这一串问题的过程中,让学生体会不等式与方程、函数一样,也是刻画事物变化规律的重要模型,并初步感知最优化思想.通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
课堂练习 1．下列数学表达式：①－2＜0； ②4x＋2y＞0；③x＝1； ④x2－xy；⑤x≠3； ⑥x－1＜y＋2.其中不等式有( B )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．下列各项中，蕴含不等关系的是( D )A．老师的年龄是你的年龄的2倍B．小军和小红一样高C．小明比爸爸小26岁D．x2是非负数3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( C )A．a＞b B．a＞－b C．－a＞b D．－a＜b4.学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是( A )A．两种客车总的载客量不少于500人B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人D．两种客车总的载客量恰好等于500人5.某班同学去春游，花了250元租了一辆客车，参加春游的同学若每人交8元，则不够付租车费，若每人交9元，则还有剩余，设x表示春游同学的人数，用不等式表示出上述问题中包含的不等关系．解：根据“若每人交8元，则不够付租车费”，可得8x＜250；根据“若每人交9元，则还有剩余”，可得9x＞250，则问题中包含的不等关系为8x＜250和9x＞250.6.【2021·杭州】若a＞b，则( C )A．a－1≥b B．b＋1≥aC．a＋1＞b－1 D．a－1＞b＋17.【中考·凉山州】设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( A )A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c 对本节知识进行巩固练习,及时反馈,使学生会运用适当的不等号表示不等关系. 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.不等式的概念用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子2.怎样列不等式①理解题意；②找出数量关系；③列出关系式. 引导学生回顾已学知识，通过一系列问题进行总结评估。
板书 课题：2.1 不等关系一、不等式的概念二、列不等式
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2.1 不等关系
北师版 八年级下册
新知导入
各种烟花给节日增添了喜庆的气氛，但你是否想过，烟花引火线的安全长度会与某种“不等关系”有关吗？
也许，你对手机通话费以及打折购物等消费方案的选择并不陌生，但你知道它们同样会涉及一些“不等关系”吗？
其实，与相等关系相比，不等关系更为普遍.
新知导入
你能举出生活中不等关系的例子吗？
举例说说吧！
比如：研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于8小时；
数学考试中合格的分数要不低于72分……
新知讲解
如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“≤ ”表示.
新知讲解
如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
分析：（1）因为绳长l cm为正方形的周长，所以正方形的边长为
_______，得其面积为_______，要使正方形的面积不大于25 cm2，就是____________.
新知讲解
如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
（2）如果要使圆的面积不小于 100 cm 2 ，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“ ≥”表示
新知讲解
如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
分析：（2）因为圆的周长为lcm，所以圆的半径为_______，要使圆
的面积不小于100 cm2，就是_____________.
新知讲解
（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？ l =12呢？
分析：（3）当l =8时，正方形的面积为_______，圆的面积为_______≈ _____（cm2），此时_______的面积大.
当l =12时，正方形的面积为_______，圆的面积为_______≈ _______ （cm2），此时_______的面积大.
4
5.1
圆
9
11.5
圆
新知讲解
【思考】改变 l 的取值再试一试，由此你能得到什么猜想？
分析：（4）我们可以猜想，用长度均为 l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和一个圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，
即__________________.
因为分子都是_______，分母_______＜_______，根据分数的大小比较，
分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有
_______＞_______.
l2
4π
16
新知讲解
（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为a cm, b cm, c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.
根据题意可得： a+b+c≤160.
【做一做】
新知讲解
（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6cm，以后10年内每年增加约3cm.
设经过x年后这棵树的树围超过30cm，请你列出x满足的关系式.
根据题意可得： 6+3x＞30.
【做一做】
新知讲解
观察由上述问题得到的关系式： ，a+b+c≤160，6+3x>30，
它们有什么共同特点？
一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式.
结论
新知讲解
【例】①3>0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y-7；⑤m-2.5>3.
其中不等式有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
判断一个式子是否为不等式,关键是看这个式子中是否含有不等号，如:“<”“≤”“>”“≥”或“≠”.
新知讲解
不等号：
常见表示不等关系的词语：大于、比…大、超过；小于、比…小、低于；不大于、不超过、至多；不小于、不低于、至少等.
不等号
≥
＞
＜
≤
读作
大于
小于
小于等于
大于等于
≠
不等于
新知讲解
关键词语
不等号
不等关系：
①大于
②比…大
③多于
①小于
②比…小
③少于
①不大于
②不超过
③至多
①不小于
②不低于
③至少
第一类——明显的不等关系
≥
＞
＜
≤
新知讲解
文字语言
符号语言
a是正数
a是负数
a是非负数
a是非正数
a≤0
a＞0
a＜0
a≥0
第二类——隐含的不等关系
不等关系：
新知讲解
【例】用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非负数；
（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长；
（3）x与17的和比它的5倍小；
（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍.
a≥0
c≥a，c≥b
x+17＜5x
x2+y2≥2xy
新知讲解
1. 列不等式就是用不等式表示代数式之间的不等关系．
2. 列不等式的一般步骤：
(1)分析题意，找出问题中的各种量；
(2)弄清各种量之间的数量关系；
(3)用代数式表示各种量；
(4)用适当的不等号将具有不等关系的量连接起来．
【总结归纳】
课堂练习
1．下列数学表达式：
①－2＜0； ②4x＋2y＞0；
③x＝1； ④x2－xy；
⑤x≠3； ⑥x－1＜y＋2.
其中不等式有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
B
课堂练习
2．下列各项中，蕴含不等关系的是( )
A．老师的年龄是你的年龄的2倍
B．小军和小红一样高
C．小明比爸爸小26岁
D．x2是非负数
D
课堂练习
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
( )
A．a＞b
B．a＞－b
C．－a＞b
D．－a＜b
C
课堂练习
4.学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是( )
A．两种客车总的载客量不少于500人
B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人
D．两种客车总的载客量恰好等于500人
A
拓展提高
5.某班同学去春游，花了250元租了一辆客车，参加春游的同学若每人交8元，则不够付租车费，若每人交9元，则还有剩余，设x表示春游同学的人数，用不等式表示出上述问题中包含的不等关系．
解：根据“若每人交8元，则不够付租车费”，可得8x＜250；
根据“若每人交9元，则还有剩余”，可得9x＞250，则问题中包含的不等关系为8x＜250和9x＞250.
中考链接
6.【2021·杭州】若a＞b，则( )
A．a－1≥b
B．b＋1≥a
C．a＋1＞b－1
D．a－1＞b＋1
C
中考链接
7.【中考·凉山州】设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )
A．c＜b＜a
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
A
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.不等式的概念
用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子
2.怎样列不等式
①理解题意；
②找出数量关系；
③列出关系式.
板书设计
课题：2.1 不等关系
教师板演区
学生展示区
一、不等式的概念
二、列不等式
作业布置
课本 P38 练习题
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