福建省莆田市2021-2022学年哲理中学九年级上学期第二次月考数学试卷(PDF解析版)

2021-2022学年哲理中学九上第二次月考数学试卷及试题解析 6．已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，如果 x1＜x2，那么 y1与 y2的大小关系正确
一．选择题（40分） 的是（ ）
1．反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过点 A（﹣2，3），则此图象一定经过下列哪个点（ ） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法判断
7．已知圆锥的母线长为 3，底面圆半径为 1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．下列几何体中，其主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）
8．如图，在 6×6的网格图中，⊙O经过格点 A、B、D，点 C在格点上，连接 AC交⊙O于点 E，连接 BD、DE，
则 sin∠BDE的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数 y＝ ，下列结论正确的是（ ）
A．y随 x的增大而减小
B．图象的两支分别在第二、四象限
C．图象与 y＝3x的图象有两个交点 A． B． C． D．2
D．A（﹣1，3）在函数的图象上 9．如图，半径为 2的⊙O与正五边形 ABCDE的边 AB，DE分别相切于点 B，D，则劣弧 BD的长为（ ）
4．如图，AB是⊙O的直径，点 C，D为⊙O上的点．若∠CAB＝20°，则∠D的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，点 A（0，2）、B（a，a+2）、C（b，0）（a＞0，b＞0），若 AB＝4 且∠ACB最
A．70° B．100° C．110° D．140°
大时，b的值为（ ）
5．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识﹣﹣杠杆原
A．2+2 B．﹣2+2 C．2+4 D．﹣2+4
理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 1200N和 0.5m，则这一杠杆的动
二．填空题（24分）
力 F和动力臂 l之间的函数图象大致是（ ）
11．若函数 y＝xn﹣1是关于 x的反比例函数，则 n的值为 ．
12．如图所示是某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是 ．
A． B． C． D．
第 1页（共 12页）
13．在一个不透明的袋子里装有红球 6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出 三．解答题（86分）
红球的频率稳定在 0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是 个． 17．解方程：x2+2x-3＝0（8分）
14．如图，PA、PB 切⊙O于点 A、B，PA＝6，CD 切⊙O于点 E，交 PA、PB 于 C、D两点，则△PCD的周长 18．如图，将△ABC 以点 C为旋转中心，顺时针旋转 180°，得到△DEC，过点 A作 AF∥BE，交 DE的延长线
是 ． 于点 F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？（8分）
15．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边
三角形 ABC，再分别以点 A，B，C为圆心，线段 AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱
洛三角形的周长为 2π，则其面积是 ． 19．已知反比例函数的图象经过点 A（﹣6，2）．（8分）
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点 B（﹣4，3），C（﹣2，﹣6）是否在这个函数的图象上？
16．如图，函数 y＝ （k为常数，k＞0）的图象与过原点的 O的直线相交于 A，B两点，点M是第一象限内双
曲线上的动点（点M在点 A的左侧），直线 AM分别交 x轴，y轴于 C，D两点，连接 BM分别交 x轴，y轴于
20．“至诚宾馆”客房都有 80个房间供游客居住，旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲，
点 E，F．现有以下四个结论：
具体数据如下表：（8分）
①△ODM与△OCA的面积相等；
每个房间的定价 x（元） 150 200 250 300
②若 BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；
每天入住的房间数 y（间） 80 60 48 40
③若M点的横坐标为 1，△OAM为等边三角形，则 k＝2+ ；
（1）请你认真分析表中数据，写出能表示其变化规律的函数表达式；
④若MF＝ MB，则MD＝2MA．
（2）对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，
其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）
市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励 50元，求每天入住的房间数为 50时宾馆每天的纯利润．
第 2页（共 12页）
21．如图，已知 PA，PB分别与⊙O相切于点 A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点，AE为⊙O的直径．（8分）
24．已知如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB是⊙O直径，点 C是 AB 中点且 AB=13，点 E是⊙O一点，连
（Ⅰ）求∠ACB的大小；
接 AE,DE,且 DA=DE,连接 AD交 BC于点 F。（12分）
（Ⅱ）AE与 BC相交于点 D．若 AB＝AD，求∠EAC的大小．
（1）求证：∠ABD=∠DAE;
（2）如图 2，若 G是 ADE的内心，连接 DG交 AE于点 H.
40
①求证：D、O、G三点共线；②若 DG=8,HG= 13 ,求 AF.
22．已知：矩形 ABCD，AB＝8，BC＝12．（10分）
（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过 B、C两点，且与 AD相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径． 图 1 图 2
25．抛物线 y＝x2+bx+c 与 x轴交于点 A（x1，0），B（x2，0），且 x1≠x2．（14分）
（1）当 c+b＝1，若 x1＝2，求 y＝x2+bx+c的最小值．
（2）若 x1＝2x2，且 b＞3，比较 c与 的大小，并说明理由；
23．小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由 10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确．其给 （3）若 AB 的中点坐标为 ，且 ，设此抛物线顶点为 P，交 y 轴于点 D，延长 PD
分标准为：答对一题得 2 分，答错一题扣 1 分，不答得 0分，若 10道题全部答对则额外奖励 5分．小明对其中 交 x轴于 E，点 O为坐标原点，令△DEO的面积为 S，求 的取值范围．
的 8道题有绝对把握答对，剩下 2道题完全不知道该选哪个选项．（10分）
（1）对于剩下的 2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率；
（2）从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下 2道题更合算？
第 3页（共 12页）
2021-2022学年哲理中学九上第二次月考数学试卷 故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
参考答案与试题解析
4．【分析】求出∠B＝70°，再根据圆内接四边形的性质求出∠ADC即可．
一．选择题
【解答】解：∵AB是直径，
1．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
∴∠ACB＝90°，
【解答】解：∵反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过点 A（﹣2，3），
∵∠CAB＝20°，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
A．﹣3×2＝6≠﹣6，图象不经过点（3，2）；
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
B．﹣3×（﹣2）＝6≠﹣6，图象不经过点（﹣3，﹣2）；
∴∠ADC＝110°，
C．﹣3×2＝﹣6，图象经过点（﹣3，2）；
故选：C．
D．﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，图象不经过点（﹣2，﹣3）；
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
∴C选项符合题意，
型．
故选：C．
5．【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据 A点的坐标求出 k值．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和
2．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
0.5m，
【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；
∴动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），不符合题意；
则 F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
C．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个三角形，不符合题意；
故选：A．
D．球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
故选：D．
6．【分析】分 x1，x2同号和异号两种情况讨论．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案． 【解答】解：∵反比例函数 y＝﹣ 中 k＝﹣3，
【解答】解：A、反比例函数 y＝ ，当 x＞0时，y随着 x的增大而减小，故此选项错误； ∴图象在二、四象限，在每个象限 y随 x的增大而增大，
当 x1，x2同号，即 0＜x1＜x2或 x1＜x2＜0，y1＜y2，
B、反比例函数 y＝ ，图象在第一、三象限，故此选项错误；
当 x1，x2异号时，即 x2＞0＞x1，y1＞y2；
C、反比例函数 y＝ ，图象在第一、三象限，直线 y＝3x经过第一、三象限，反比例函数 y＝ 图象与 y＝3x的 故选：D．
图象有两个交点，故此选项正确； 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
D、反比例函数 y＝ ，图象经过点（﹣1，﹣3）和（1，3）不经过（﹣1，3），故此选项错误； 7．【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即
第 4页（共 12页）
可求解． ∵AB、DE与⊙O相切，
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π， ∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
设圆心角的度数是 n度， ∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
则 ＝2π， ∴劣弧 BD的长为 ＝ π，
解得：n＝120． 故选：A．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关
键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．【分析】连接 OD与 AC相交与点 F，在 Rt△AOF中可求出 AF的长，根据圆周角定理可知∠BDE＝∠A，即
求∠A的正弦值，即可得出答案．
【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题
【解答】解：连接 OD与 AC相交与点 F，
的关键．
在 Rt△AOF中，OF＝1，AO＝2，
10．【分析】根据点 B（a，a+2）可知点 B在 y＝x+2这条直线上，AB＝4 ，A（0，2），可得 B（4，6），
∴AF＝ ，
当△ABC的外接圆与 x轴相切时，∠ACB有最大值．可以取点 G为 AB中点，得 G（2，4），
∵∠BDE＝∠A，
过点 G且垂直于 AB的直线为：y＝﹣x+6，进而根据勾股定理即可求解．
∴sin∠BDE＝sin∠OAF＝ ＝ ＝ ， 【解答】解：∵B（a，a+2）
故选：B． ∴点 B在 y＝x+2这条直线上，
又 AB＝4 ，A（0，2），
∴B（4，6），
如图，
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
9．【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可求出
∠BOD的度数，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：连接 OB，OD，
∵五边形 ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣ ＝108°． 当△ABC的外接圆与 x轴相切时，∠ACB有最大值．
第 5页（共 12页）
取点 G为 AB中点， 答：袋子中黄球的个数可能是 14个．
∴G（2，4）， 故答案为：14．
过点 G且垂直于 AB的直线为：y＝﹣x+6， 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求
设圆心 F（m，﹣m+6）， 情况数与总情况数之比．
∵FC＝FB， 14．【分析】由 PA，PB切⊙O于 A、B两点，CD切⊙O于点 E，根据切线长定理可得：PB＝PA＝6，CA＝CE，
∴（﹣m+6）2＝（m﹣4）2+（﹣m+6﹣6）2 DB＝DE，继而可得△PCD的周长＝PA+PB．
解得 m＝2 ﹣2． 【解答】解：∵PA，PB切⊙O于 A、B两点，CD切⊙O于点 E，
故选：B． ∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，
【点评】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是根据题意借助图形理解． ∴△PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝12．
二．填空题 故答案为：12．
11．【分析】根据反比例函数的定义得出 n﹣1＝﹣1，再求出 n即可． 【点评】此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
【解答】解：∵函数 y＝xn﹣1是关于 x的反比例函数， 这一点的连线，平分两条切线的夹角．
∴n﹣1＝﹣1， 15．【分析】根据莱洛三角形的周长为 2π，先算出半径 AB的长度，然后整个莱洛三角形的面积为等边三角形与
解得：n＝0， 三个拱形的面积之和，利用割补法求出拱形的面积，则问题可解．
故答案为：0． 【解答】解：易知弧 AB的圆心角为 ，半径为 AB，故弧长 AB为 AB× ，
【点评】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如 y＝ （k 为常
故莱洛三角形的周长 2π＝ ，所以 AB＝2，
数，k≠0）的函数，叫反比例函数．
故阴影部分面积为 S 扇形ABC﹣S△ABC＝ × ﹣ ＝ ，
12．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱， 故莱洛三角形的面积为 ＝ ．
故答案为：圆柱． 故答案为：
【点评】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为圆就是圆
柱．
13．【分析】设袋子中黄球的个数可能有 x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设袋子中黄球的个数可能有 x个，根据题意得：
＝0.3， 【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等，属于中档题．
解得：x＝14， 16．【分析】①设点 A（m， ），M（n， ），构建一次函数求出 C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即
经检验 x＝14是原方程的解， 可判断．
第 6页（共 12页）
②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立． ∵m＞0，k＞0，
∴m＝k，
③设 M（1，k），由△OAM 为等边三角形，推出 OA＝OM＝AM，可得 1+k2＝m2+ ，推出 m＝k，根据 OM
∵OM＝AM，
＝AM，构建方程求出 k即可判断． ∴（1﹣m）2+ ＝1+k2，
④如图，作MK∥OD交 OA于 K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
∴k2﹣4k+1＝0，
【解答】解：①设点 A（m， ），M（n， ），
∴k＝2 ，
则直线 AC的解析式为 y＝﹣ x+ + ， ∵m＞1，
∴k＝2+ ，故③正确，
∴C（m+n，0），D（0， ），
如图，作MK∥OD交 OA于 K．
∴S△ODM＝ n× ＝ ，S△OCA＝ （m+n）× ＝ ， ∵OF∥MK，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确； ∴ ＝ ＝ ，
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，
∴ ＝ ，
∴O是 AB的中点，
∵OA＝OB，
∵BM⊥AM，
∴OM＝OA， ∴ ＝ ，
∴k＝mn， ∴ ＝ ，
∴A（m，n），M（n，m），
∵KM∥OD，
∴AM＝ （m﹣n），OM＝ ，
∴ ＝ ＝2，
∴AM不一定等于 OM，
∴DM＝2AM，故④正确．
∴∠BAM不一定是 60°，
故答案为①③④．
∴∠MBA不一定是 30°．故②错误，
∵M点的横坐标为 1，
∴可以假设M（1，k），
∵△OAM为等边三角形，
∴OA＝OM＝AM，
1+k2＝m2+ ，
第 7页（共 12页）
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的 例函数的解析式并了解其性质，难度不大．
关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的 20．【分析】（1）根据题意可得每天入住的房间数＝12000÷每个房间的定价；
压轴题． （2）首先求出每天入住的房间数为 50时每个房间的定价，再根据题意宾馆需对每个房间每天支出 20元的各种
三．解答题 费用，及市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励 50元，即可求出每天入住的房间数为 50时宾馆每
17．【分析】利用十字相乘法求出解即可． 天的纯利润．
【解答】解：（x+3）（x-1）=0 【解答】解：（1）由题意得：
解得：x1＝1；x2＝-3 y＝ ；
【点评】此题考查了十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
18．【分析】根据旋转的性质，可得△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质，可得∠B＝∠DEC，根据平行线
（2）y＝50时，x＝ ＝240，
的性质，可得∠F＝∠DEC，根据等量代换，可得答案．
（240﹣20+50）×50＝13500．
【解答】解：∠B与∠F相等，理由如下：
答：每天入住的房间数为 50时宾馆每天的纯利润为 13500元．
∵将△ABC以点 C为旋转中心，顺时针旋转 180°，得到△DEC，
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据题意列出函数解析式，进而解决问题．
∴∠B＝∠DEC，
21．【分析】（Ⅰ）连接 OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于 360°计
∵AF∥BE，
算；
∴∠F＝∠DEC，
（Ⅱ）连接 CE，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
∴∠B＝∠F．
【解答】解：（Ⅰ）连接 OA、OB，
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，属于基础题型．
∵PA，PB是⊙O的切线，
19．【分析】（1）设反比例函数解析式为 y＝ ，由于反比例函数的图象经过点 A（﹣6，2），因此 k＝﹣6×2
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
＝﹣12；
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
（2）根据图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k进行分析
由圆周角定理得，∠ACB＝ ∠AOB＝50°；
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为 y＝ ，
（Ⅱ）连接 CE，
∵反比例函数的图象经过点 A（﹣6，2），
∵AE为⊙O的直径，
∴k＝﹣6×2＝﹣12，
∴∠ACE＝90°，
∴表达式为： ； ∵∠ACB＝50°，
（2）∵﹣4×3＝﹣12，﹣2×（﹣6）＝12， ∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
∴B点在反比例函数的图象上，C点不在反比例函数的图象上． ∴∠BAE＝∠BCE＝40°，
【点评】考查了待定系数法确定反比例函数的解析式及反比例函数的性质的知识，解题的关键是正确的求得反比 ∵AB＝AD，
第 8页（共 12页）
∴∠ABD＝∠ADB＝70°， （2）连接 OB，由（1）知：∠EMC＝90°，ON⊥BE，BM＝ BC＝6，
∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A＝∠ABM＝90°，
∴∠EMB＝∠A＝∠ABM＝90°，
∴四边形 ABME是矩形，
∴EM＝AB＝8，
设半径为 R，则 OB＝OE＝R，OM＝8﹣R，
在 Rt△BOM 中，根据勾股定理，得
BM2+OM2＝OB2，
∴（8﹣R）2+62＝R2，
解得 R＝ ．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，矩形的性质，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解 23．【分析】（1）由只有一个选项是正确的，所以有三个选项是错误的，则用“对，错，错，错”来列表求概率
题的关键． 即可；
22．【分析】（1）作 BC的垂直平分线交 AD于点 E，连接 BE，作 BE的垂直平分线交 EM 于点 O即可； （2）分别按①两题都不答：②一题不答，题随杋选择；③两题都采用随机选择三种情况求出概率，最后比较即
（2）结合（1）根据矩形的性质可以证明四边形 ABME是矩形，可得 EM＝AB＝8，设半径为 R，则 OB＝OE＝ 可．
R，OM＝8﹣R，根据勾股定理可得 R的长． 【解答】解：（1）因为每小题有四个选项，且只有一个选项是正确的，
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求； 所以有三个选项是错误的，
不妨用“对，错，错，错”来表示．因此可列表：
由表格可知，共有 16种等可能的结果，
其中两题都答错的有 9种结果，
第 9页（共 12页）
所以两小题都答错的概率为 ； ∴∠ABD=∠DAE
(2)①∵G是 ADE的内心
（2）小明有 3种可能的解答方式分别为：
∴DG平分∠ADE
①两题都不答；
∵DA=DE
②一题不答，一题随机选择；
∴DG垂直 AE
③两题都采用随机选择．
∵O为 ADE的外接圆圆心
①当两题都不答时，预期得分为 0+16＝16分；
∴DO垂直 AE
②当一题不答，一题随机选择时，
∴D、O、G三点共线
∵P（对）＝ ，P（错）＝ ，
②过 G作 GM垂直 AD于M,过 O作 ON垂直 AD于 N,
∴预期得分为：2× ﹣1× +0+16＝15 分； ∴NO∥MG
③当两题都采用随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能， ∵AB=13
所得的分数分别为 9分，1分，﹣2分， ∴DO=6.5
相应的概率分别为： ∵G是 ADE的内心
P 2 ＝ ， ∴AG平分∠DAE（答对 题）
∵GM垂直 AD,GH垂直 AE
P（答对 1 题）＝ ，
40
P ∴MG=GH=（两题都答错）＝ ， 13
∴预期得分为： ∵NO∥MG
9× +1× ﹣2× +16 15 ∴ NO DO＝ ．
MG DG
∵15 ＜15 ＜16， 13
∴ NO 240
∴小明采用都不答的解答方式更合算． 8
13
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率，解决本题的关键是掌握列表法或树状图法．
∴NO=2.5
在 Rt DNO中，ND= DO2 NO2 6
24.【解答】证明：（1）∵劣弧 AD=劣弧 AD
∵DO=AO
∴∠ABD=∠AED
∴AD=2ND=12
∵DA=DE
2
∴∠AED=∠DAE 在 Rt ABD中，BD= AB AD2 5
第 10页（共 12页）
过 F作 FM垂直 AB于M
（3）由 A，B坐标和抛物线顶点（﹣ ， ）可得 b与 c的等量关系，由 c的取值范围可得 的取值范围，
∵劣弧 AC=劣弧 BC
∴AC=BC=5 用含 c代数式表示 ，通过 取值范围求解．
∵AB为直径
【解答】解：（1）∵c+b＝1，
∴∠ACB=90°
∴c＝1﹣b，
∴∠B=45°
将（2，0）代入 y＝x2+bx+c 得 0＝4+2b+c，
设 FM=MB=x，则 AM=13-x
∴0＝4+2b+1﹣b，
∵∠DAB=∠DAB,∠ADB=∠AMF=90°
解得 b＝﹣5．
∴ AMF ∽ ADB
∴y＝x2﹣5x+6＝（x﹣ ）2﹣ ．
AM MF

AD DB ∴当 x＝ 时，y的最小值为﹣ ．
∴
13 x x

12 5 （2）∵x1＝2x2，且 x1≠x2，
∴y＝x2+bx+c经过点（2x2，0），（x2，0），
65 156
∴FM= ,AM=
17 17 ∴ ，
2 2 169
∴在 Rt AFM 中，AF= AM FM
17 ∴x2＝﹣ ，c＝ ，
∵c﹣（ ）＝ ﹣ b+2＝ （b﹣3）2，且 b＞3，
∴c＞ ．
（3）∵抛物线 y＝x2+bx+c的顶点 P为（﹣ ， ），
抛物线 x轴交于点 A（x1，0），B（x2，0），AB的中点坐标为 ，
∴﹣ ＝﹣c2﹣c﹣ ，
25．【分析】（1）通过 c+b＝1，求出 c＝1﹣b，将（2，0）代入解析式求得 b＝﹣5，进而求出解析式通过配方
2 2
求解． ∴b＝2c +2c+1＝2（c+ ） + ＞0，
（2）由抛物线经过（2x2，0），（x2，0）可用含 b代数式表示 c与 x2，再由 c﹣（ ）＝ ﹣ b+2＝ ∵﹣2≤c≤﹣ ，
（b﹣3）2且 b＞3求解． ∴﹣3≤ ≤﹣ ，
第 11页（共 12页）
设直线 PD的解析式为 y＝kx+m，
把 x＝0代入 y＝x2+bx+c可得点 D坐标为（0，c），
由点 P（﹣ ， ），D（0，c）在直线上可得直线 PD解析式为 y＝ x+c，
∴S＝ OE OD＝ | | |﹣c|＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝（ ）2+1，
∴抛物线 ＝（ ）2+1的对称轴为直线 ＝﹣1，开口向上，
当﹣3≤ ≤﹣ 时， ＝﹣1时， 取最小值为 1，
当 ＝﹣3时， 取最大值为 5，
∴1≤ ≤5．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握配方法求二次函数最值．
第 12页（共 12页）