苏科版七年级数学下册 10.1 二元一次方程 教案

10.1 二元一次方程的教学设计（苏科版）
【教学目标】:
1．经历分析实际问题中的数量关系的过程，设出未知数，列出方程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
2.通过观察、比较，归纳出二元一次方程的概念，并通过学生自己举例、辨别，理解概念中的“未知项的次数为1”.
3.借助表格列举实际问题的所有结果，让学生获得了二元一次方程的解的概念，并获知二元一次方程的解有无数个，能与一元一次方程的解进行区分.
4.鼓励学生自己尝试解决问题，通过小组合作等方式，提高学生解决问题的能力，培养良好的数学应用意识.
[设计意图]
二元一次方程是一个重要的数学模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上，再次从实际问题中提炼出描述有两个未知量、一个相等关系的数学模型.通过本课的学习，学生了解了二元一次方程及其解的概念，了解二元一次方程的解有无数个，为学生接下来继续研究二元一次方程组及实际应用打下了基础，拓展了学生的知识面，提高学生解决问题的能力.
【教学重点】
二元一次方程的概念及二元一次方程的解的概念．
【教学难点】
1．对二元一次方程概念中“未知项的次数为1”的理解.
2．将二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数表示.
【教学过程】
一、情境引入
学校举行篮球比赛，规则如下：赢一场得2分，输一场得1分.
甲队在此次比赛中，赢了6场，输了3场.甲队共积多少分？
你能用数学式子表达吗？——2×6+1×3=15
（2）乙队在此次比赛中共积20分，其中输了4场，乙队赢了几场？
方法1：直接列算式（20﹣4 ）÷2=8
方法2：列一元一次方程
这个问题中有1个未知量：赢的场数，1个相等关系：赢的场数×2＋4×1=20.设该队赢了x场，可列一元一次方程2x+4×1=20.
丙队在此次比赛中赛了若干场，共积20分.丙队赢了几场？输了几场？
你能仿照刚才的方法，用数学式子描述问题中的相等关系吗？
这个问题中有两个未知量：赢的场数和输的场数，
一个相等关系：赢的场数×2＋输的场数×1=20.
所以，需要设该队赢了x场，输了y场，可列方程2x+y=20.
根据所列方程，你能列出丙队输赢场数的所有可能情况吗？
赢的场数x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
输的场数y 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
你是如何得到这里的x、y的值的呢？
——①确定一个x的值，代入方程2x+y=20中算出相应的y值
②观察方程2x+y=20的特点，这里的2x、20都是偶数，所以y必须是偶数，可以取y=0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，再代入方程求出相应的x的值.
所以，这里的11组x、y的取值是满足方程2x+y=20的.
[设计意图]
从学生熟悉的直接列算式、一元一次方程入手，体会从没有未知量到有一个未知量，学习方程的必要性；再通过改变问题中的条件，让学生感受当出现2个未知量、1个相等关系时，必须要设两个未知数才能解决问题，一元一次方程已经不能满足实际的需要，可以尝试用二元一次方程解决，体现学习新知识的必要性.另外，让学生利用生活经验，采用枚举这一合情推理的方法列出x、y的所有可能值.这里不要求每个学生都能说出x、y的所有可能情况，而是通过全班学生的努力，共同完成这个问题，以便进一步认识二元一次方程，初步感受实际背景下的二元一次方程的解可以通过枚举的办法获得.
二、尝试解决
明明在一场篮球比赛中共得35分，其中罚球得10分.
你知道他投中多少个两分球？多少个三分球吗？
请仿照刚才的过程，分小组研究这个问题！（利用展台展示小组研究成果）
这个问题中有两个未知量：两分球的个数和三分球的个数，
一个相等关系：两分球的个数×2＋三分球的个数×3＋10=35.
所以，需要设进了x个两分球，进了y个三分球，可列方程2x+3y+10=35.
利用表格，列举投进两分球、三分球的所有可能情况：
两分球个数x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
三分球个数y × × 7 × × 5 × × 3 × × 1 ×
在列表的过程中，还有其他想法吗？（如何对x、y进行取值？）
——根据方程特点可知，y必须是奇数，所以可以直接取y=1， 3， 5， 7，分别代入方程求出相应的x的值.
根据所列的表格，回答下列问题：
（1）明明最多投中了______个三分球；
（2）明明除罚球外最多投中了________个球；
（3）如果明明除罚球外共投中了10个球，那么他投中______个两分球、_______个三分球.
[设计意图]
有了师生共同解决“情境问题”的经验，这个问题放手让学生小组协作尝试解决，一方面是对学生是否掌握研究问题方法的检验，另一方面也是培养学生学会思考、寻找解决问题的方法，能够灵活变通.特别是对本题中的方程2x+3y+10=35中x、y的所有可能情况的列举，更体现了学生的思维.
三、探索活动
【活动1】
观察方程和：
它们有哪些共同的特点？
——①含有两个未知数；②未知数的次数为1.
你能给它们命名吗？
——二元一次方程，引入课题《10.1 二元一次方程》
练习1.你能写出一个二元一次方程吗？（板演，其他同学判断是否正确）
练习2.下列式子是二元一次方程吗？
；；； ；
； .
你觉得什么样的方程是二元一次方程呢？对刚才得到的特征，如何改进呢？
——展示书本第95页的二元一次方程的概念
通过刚才的研究，我们知道x=0，y=20是满足方程的，像这样满足二元一次方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解，记作
[设计意图]
了解二元一次方程的概念是本课的重点，理解概念中“未知项的次数为1”是本课的难点. 为了加深学生对概念的理解，采用了学生先说，再通过判断，发现自己之前的发现存在问题，形成学生认知的冲突，激发学生对“未知项的次数”的思考，加深学生对概念的理解. 通过学生自己举例，使得对概念的认知更形象化. 在判断的过程中，引导学生理解“含有未知项的次数是1”：其中⑤是强调要有两个未知数，②⑥都是强化对“项的次数”的理解，⑤是让学生先认识这个形式，后面出现的用一个未知数的代数式表示另外一个代数式实际上是方程的变形.对于二元一次方程的解的概念的理解，主要是能区分它与一元一次方程的解的不同之处，体现是一对x、y的值，及对解的不同表示方法.
【活动2】
桔子的单价是4元/千克，苹果的单价是6元/千克.妈妈去超市买桔子和苹果，共花去50元.
你知道妈妈买了多少千克桔子？多少千克苹果？
解：设妈妈买了x千克桔子，y千克苹果，
可列4x+6y=50
你能列出妈妈买的桔子的千克数、苹果的千克数的所有可能情况吗？
——这里的x、y可以取整数，也可以去小数，有无数种可能性，所以无法列出所有可能情况
问题1、若桔子分别买0.5千克，2千克，3.2千克，相应的苹果买了多少千克？
问题2、若桔子买了x千克，苹果买了多少千克？——千克.
若设苹果买了y千克，则有，这样使计算更方便.
问题3、若苹果分别买1千克，4千克，3.2千克，相应的桔子买了多少千克？
问题4、若苹果买了y千克，桔子买了多少千克？——千克.
若设桔子买了x千克，则有，这样使计算更方便.
[设计意图]
换一个问题情境，通过不同实际背景对未知数的不同要求，让学生感受即使是实际问题未知数的所有可能情况也会有无数种可能性，单纯的枚举不能满足解题需要，需要探究新的方法——用一个未知数表示另一个未知数，不但能使计算更简便，也能方便表示一般情况.
【活动3】
对于方程2x+3y=25：
如果没有实际背景，你对它的解又有怎样的认识呢？
——这里的x、y可以取正数、0、负数，有无数个解.
[设计意图]
脱离实际背景，再研究二元一次方程的解，经历从特殊到一般的过程，.不断提升学生对纯数学问题的思考，发散学生的数学思维.
四、课堂小结
4x＋ay＝32是二元一次方程吗？
你觉得添加一个什么条件，它就是二元一次方程了呢？
解决以下问题：
已知是关于x、y的方程4x＋ay＝32的一个解.
求a的值；
你能再写出一个以 为解的二元一次方程吗？
将方程4x+3y=32写成用含y的代数式表示x的形式，并求方程的正整数解.
[设计意图]
打破传统的课堂小结的方式，以问题串的形式呈现出本节课所学内容，既让学生解决了问题，又帮助学生回顾了整节课的内容，一举两得.
五、作业布置
1、必做题：习题10.1第1、2、3、4题.
2、选做题：旅行社同时租用A、B、C三种客车安排150人旅行，A、B、C三种客车的载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须载满，A型客车最多租用2辆，请你能列举所有租车方案.
[设计意图]
根据学生的不同需要，布置书本上的必做题和选做题，更有利于进行分层教学，尊重学生的主观能动性.
【教学感悟】
根据课前活动得到引例，通过各种方法解决问题，拓展了思维.也让学生感受在解决实际问题的过程中，构建二元一次方程的必要性，与一元一次方程形成对比，最后归纳出二元一次方程及其解的概念，整个过程很流畅.
我在备这节课之初，就是按照自己平时上课的模式，将二元一次方程的概念和二元一次方程的解的概念割裂开来，觉得研究完前者，再进一步研究后者，不是太理解课本所给的问题设置的意图，后来在和专家讨论、同组老师研讨、不断试上之后，才慢慢懂得书本的安排更符合学生的认知过程，上课应该是水到渠成的自然过程，而不能是老师为了教授知识，硬生生的把知识割裂，强加给学生.
对于我来说，最困惑的就是不知道该如何解决“用一个未知数表示另一个未知数”这一环节的安排，不知道放在什么位置最恰当，总感觉自己问的问题啰嗦，而且解释不清这样变形的目的是什么，体现不了它的必要性，后来觉得只有当表格解决不了问题（无数个解或者计算复杂时），引入这个变形才是恰到好处.
4.“课堂小结”也是极容易落入俗套，又容易让学生说不出东西来的一个环节.本来放在小结中的几个问题是被我割裂开来放在过程中的位置，如：方程的概念之后，解的概念之后，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数之后，整个过程不顺畅，小结也没有亮点，后来将这三个问题整合在一起，刚好是一节课所学内容的呈现，自我感觉这样安排更合理.不足之处，对于“4x＋ay＝32是二元一次方程吗？你觉得添加一个什么条件，它就是二元一次方程了呢？”这个问题的讨论，是我在最后正式上课前加上的，可能我问的问题难度太大，学生被我问蒙了，想不到“如果已知一个解，可以确定其中常数a的值”，有些冷场.