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第一讲 不等式的基本性质
一、填空题
1．（1）若，则，是根据________．
（2）若，则，是根据________．
（3）若，则，是根据________．
（4）若，则，是根据________．
（5）若，则，是根据________．
【答案】不等式两边都加上同一个数，不等 ( http: / / www.21cnjy.com )号方向不变． 不等式两边都乘同一个正数，不等号的方向不变． 不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变． 不等式两边都乘同一个正数，不等号的方向不变． 不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变． 21·cn·jy·com
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的性质可得答案；
（2）根据不等式的性质可得答案；
（3）根据不等式的性质可得答案；
（4）根据不等式的性质可得答案；
（5）根据不等式的性质可得答案；
【详解】
解：（1）若，则，是根据不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；
（2）若，则，是根据不等式两边都乘同一个正数，不等号的方向不变；
（3）若，则，是根据不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变；
（4）若，则，是根据不等式两边都乘同一个正数，不等号的方向不变；
（5）若，则，是根据不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变，
故答案为：（1）不等式两边都加上 ( http: / / www.21cnjy.com )同一个数，不等号方向不变；（2）不等式两边都乘同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变；（4）不等式两边都乘同一个正数，不等号的方向不变；（5）不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变．21·世纪*教育网
【点睛】
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
2．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”号填空
（1）若，则_____．
（2）若，则_____．
（3）若，则_____．
（4）若，，则_____．
（5）若，则_____．
【答案】> < < > >
【分析】
（1）根据不等式的性质可得答案；
（2）根据不等式的性质可得答案；
（3）根据不等式的性质可得答案；
（4）根据不等式的性质可得答案；
（5）首先判断出x-y的符号，然后根据不等式的性质可得答案.
【详解】
解：（1）若，则>；
（2）若，则<；
（3）若，则<；
（4）若，，则>；
（5）若，，则，
∵，
∴>；
故答案为：(1) >；(2)<；(3)<；(4)>；(5)>.
【点睛】
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3．判断题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1），得（______）． （2）由，得（______）．
（3）2是不等式的解（______）． （4）由，得（______）．
（5）如果，，则（______）． （6）如果，则（______）．
（7）（______）
【答案】√ √ √ × √ × √
【分析】
（1）根据不等式的性质进行判断；
（2）根据不等式的性质进行判断；
（3）求出不等式的解集即可作出判断；
（4）根据不等式的性质进行判断；
（5）根据不等式的性质进行判断；
（6）根据不等式的性质进行判断；
（7）根据不等式的性质进行判断；
【详解】
解：（1）由，得（对）；
（2）由，得（对）；
（3）解不等式得，故2是不等式的解（对）；
（4）当时不成立，故由，得（错）；
（5）如果，，则（对）；
（6）如果，则（错）；
（7）（对）.
故答案为：（1）对；（2）对；（3）对；（4）错；（5）对；（6）错；（7）对.
【点睛】
此题考查了不等式的性质以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
4．比较下列各对代数式的值的大小．
（1）已知，则________．
（2）已知，则___．
【答案】< <
【分析】
（1）根据不等式的性质进行判断；
（2）根据不等式的性质进行判断；
【详解】
（1）先在不等式两边同时乘以，再同时减去1，不等号方向不变，应填“<”号；
（2）先在不等式两边同时减去2，再同时除以-3，不等号改变方向，应填“<”号．
故答案为：(1)<；(2)<.
【点睛】
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
5．若，，则的大小关系是________．
【答案】
【分析】
首先易得ab是正数，a，都是负数，然后利用不等式的性质求出即可.
【详解】
解：∵，，
∴ab是正数，a，都是负数，
∵，
∴，
两边都乘以负数a，得，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
6．已知正数a、b、c满足a2+c2=16，b2+c2=25，则k=a2+b2的取值范围为 ．21教育网
【答案】9＜k＜41．
【解析】
试题分析：根据已知条件先将原式化成 ( http: / / www.21cnjy.com )a2+b2的形式，最后根据化简结果即可求得k的取值范围．∵正数a、b、c满足a2+c2=16，b2+c2=25，∴c2=16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16，同理：有c2=25﹣b2得到0＜c2＜25，两式结合可得：0＜c2＜16，将a2+c2=16，b2+c2=25，两式相加：a2+b2+2c2=41，即a2+b2=41﹣2c2，又∵﹣16＜﹣c2＜0，即﹣32＜﹣2c2＜0，∴9＜41﹣2c2＜41，即9＜k＜41．21cnjy.com
考点：不等式的性质．
二、解答题
7．阅读下面解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较－2 009a＋1与－2 009b＋1的大小．
解：因为a＞b，①
所以－2 009a＞－2 009b，②
故－2 009a＋1＞－2 009b＋1. ③
问：(1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②(2)错误地运用了不等式的基本性质3 (3)－2009a＋1＜－2009b＋1.
【分析】
(1)由题意a＞b，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；
(2)对不等式性质3应用错误；
(3)根据不等式的性质3，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．
【详解】
(1)②；
(2)错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
(3)因为a＞b，
所以－2 009a＜－2 009b，
故－2 009a＋1＜－2 009b＋1.
【点睛】
此题主要考察不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键.
8．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x
（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-x>-1
（4）10-x>0 （5）-x<-2 （6）3x+5<0
【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-．
【分析】
根据不等式的基本性质：（1）不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；依次分析各小题即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变，
得5x-4x>4x+8-4x，即x>8；
（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去2，不等号的方向不变，
得x+2-2<-1-2即x<-3；
（3）根据不等式性质3，不等式两边同除以-，不等号的方向改变，
得-x÷（-）<-1÷（-）即x<；
（4）根据不等式性质1，不等式两边同减10，不等号的方向不变，
得10-x-10>0-10即-x>-10，
再根据不等式性质3，不等式两边同除以-1，不等号的方向改变，得x<10；
（5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以-5，不等号的方向改变，
得-x·（-5）>-2×（-5）即x>10；
（6）根据不等式性质1，不等式两边都减去5，不等号的方向不变
得3x+5-5<0-5即3x<-5，
再根据不等式性质2，不等式两边同除以3，不等号的方向不变，
得3x÷3<-5÷3即x<-．
【点睛】
本题主要考查了不等式的基 ( http: / / www.21cnjy.com )本性质，本题重在考查不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．
9．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
（1） （2）
【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】
（1）将x系数化为1，然后在数轴上表示解集即可；
（2）不等式的两边同时减去x，再将x系数化为1，然后在数轴上表示解集即可.
【详解】
解：（1）不等式的两边同时乘以3得，，
在数轴上表示解集如图所示：
；
（2）不等式的两边同时减去x，得，
两边同时除以-5，得，
在数轴上表示解集如图所示．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的 ( http: / / www.21cnjy.com )解法，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本解题方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
10．已知，，试比较与的大小．
【答案】见解析
【分析】
分两种情况讨论：（1）当a，b同号，（2）当a，b异号，分别根据不等式的性质求解即可.
【详解】
解：应分以下情况进行讨论：
（1）当a，b同号，即时，不等式两边同时除以，得，即；
（2）当a，b异号，即时，不等式两边同时除以，得，即．
【点睛】
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
11．将这四个数用“<”连接起来．
【答案】
【分析】
观察这四个分数的分子与分母可发现，这四个分数可以化为同分子的分数，然后根据同分子的正分数，分母大的分数比较小来比较它们的大小即可．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：，，，，
．
．
【点睛】
此题考查了不等式的性质，解答本题时是借助不等式的两边同时加上同一个数，不等式的符号方向不变来比较有理数的大小的．【出处：21教育名师】
12．设，且，若，，，试比较M、N、P的大小．
【答案】
【分析】
由a＋b＋c＝ 1可得b＋c＝ 1 a，所以，同理，，然后根据a、b、c的大小比较，，即可解决问题．【版权所有：21教育】
【详解】
解：，
，
，
同理可得，，
又，
，
，即．
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．21世纪教育网版权所有
13．（1）通过计算比较下列各组数中两个数的大小．
________；________；________；________；________，……
由以上结果可以猜想与的大小关系是________．
（2）根据以上猜想，你能判断与的大小吗？
【答案】（1）< ， < ， >，> ，>，当时，当时，；（2）
【分析】
（1）先分别计算出各数的结果，比较出大小，再总结规律即可；
（2）根据猜想可直接得出答案.
【详解】
解：（1），，，，，…，
由以上结果可以猜想：当时，；当时，；
（2），
．
【点睛】
此题属规律性题目，解答此类题目的关键是根据题中所给的条件找出规律，再根据此规律进行解答．
14．试比较a与的大小．
【答案】当或时，；当或时，
【分析】
比较a与的大小，应分，，，，几种情况讨论．
【详解】
解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，当或时，；当或时，；当时，．
【点睛】
本题考查了实数比较大小和不等式的性质，对于a的分类，要不重复，不遗漏，正确分类是解题的关键．
三、单选题
15．设“○”“△”“ ”分别表示三种不 ( http: / / www.21cnjy.com )同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“○”“△”“ ”的质量按从大到小的顺序排列为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A． ○△ B． △○
C．△○ D．△ ○
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形就可以得到两个不等关系．
【详解】
由图一可得 >△，图二可得△> ，则 >△> .
故选B.
【点睛】
本题考查了不等式的性质及等式的性质，解答本题关键是根据图形列出不等式和等式，难度一般；
16．下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
通过举反例逐项判断即可.
【详解】
解：A、当a＝0时，7a＝5a，故本选项错误；
B、当a＝0时，a＝－a，故本选项错误；
C、由a＋7＞a 4得a＞a 11，恒成立，故本选项正确；
D、当a＝0时，，故本选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，解答此题时要注意“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
17．若－a＞a，则a必为（ ）
A．负整数 B．正整数 C．负数 D．正数
【答案】C
【分析】
可利用不等式的基本性质来解不等式．
【详解】
解：∵-a＞a
∴2a＜0
∴a＜0
故选C．
18．已知a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么下列判断正确的是( )
A．1－b＞－b＞1＋a＞a B．1＋a＞a＞1－b＞－b
C．1＋a＞1－b＞a＞－b D．1－b＞1＋a＞－b＞a
【答案】D
【解析】
试题解析：∵a>0，∴|a|=a；
∵b<0，∴|b|= b；
又∵|a|<|b|<1，∴a< b<1；
∴1 b>1+a；
而1+a>1，
∴1 b>1+a> b>a.
故选D.
19．对于命题“a、b是有理数，若a＞b，则 ( http: / / www.21cnjy.com )a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a、b是有理数，若a＞b＞0，则a2＞b2；②a、b是有理数，若a＞b，且a＋b＞0，则a2＞b2；③a、b是有理数，若a＜b＜0，则a2＞b2；④a、b是有理数，若a＜b且a＋b＜0，则a2＞b2．其中，真命题的个数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
比较两个数的平方的大小，可以转化为比较这两个数的绝对值的大小，绝对值大，平方的值就一定大．
【详解】
解：①a，b是有理数，若a＞b＞0，即|a|＞|b|，则a2＞b2一定成立；
②a，b是有理数，若a＞b，且 ( http: / / www.21cnjy.com )a+b＞0，则a，b都是正数或a，b异号且|a|＞|b|，不论哪种情况都有|a|＞|b|，则a2＞b2一定成立；www-2-1-cnjy-com
③a，b是有理数，若a＜b＜0，两个负数，绝对值大的反而小，因而有|a|＞|b|，则a2＞b2一定成立；
④a，b是有理数，若a＜b且a+b＜0，则a，b同是负数，或异号，不论哪种情况都有|a|＞|b|，则a2＞b2一定成立；【来源：21cnj*y.co*m】
故真命题的个数是4个．
故选D．
考点：本题考查的是真命题
点评：解答本题的关键是是弄清什么是真命题，只要改变条件，如a2＞b2还成立的便是真命题．
20．若，则下列不等式变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据不等式运算法则做出判断即可：
【详解】
解：A、因为不等式两边同加一个数，不等式方向不变，不等式变形正确；
B、因为不等式两边同除以一个正数，不等式方向不变，不等式变形正确；
C、∵，∴不等式变形正确；
D、∵，∴不等式变形错误．
故选D．
21．若，且，则（ ）.
A．有最小值 B．有最大值1
C．有最大值2 D．有最小值
【答案】C
【详解】
由已知条件，根据不等式的性质求得b≤＜0和a≥；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当≤a＜0时，≥；21教育名师原创作品
所以A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；
B、当≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；
C、有最大值2；故本选项正确；
D、无最小值；故本选项错误．
故选C．
考点：不等式的性质．
22．If ，then the following inequality must be hold（ ）（英语小词典：following：下面的；inequality：等式）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题从正面很难作答，故可利用特殊值法进行解答，设，，分别代入四个选项当中即可．
【详解】
解：设，，
A.∵，，∴，该选项错误；
B.∵，，∴，该选项错误；
C.∵，，∴，该选项错误；
D.∵，，∴，该选项正确，
故选：D.
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，在解答此类问题时利用取特殊值法求解可以简化计算．
23．已知a，b，c，d都是正实数，且，给出下列4个不等式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）21*cnjy*com
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】D
【分析】
由，a、b、c、d都是正实数，根据不等式的性质不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后两边都加上ac得到ac＋ad＜ac＋bc，即a（c＋d）＜c（a＋b），然后两边都除以（c＋d）（a＋b）得到，可得①错误，②正确；同理可得，则③正确，④错误．
【详解】
解：∵，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴ac＋ad＜ac＋bc，即a（c＋d）＜c（a＋b），
∴，即①错误，②正确；
∵ad＜bc，
∴bd＋ad＜bd＋bc，即d（a＋b）＜b（c＋d），
∴，所以③正确，④错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质：不等式两边 ( http: / / www.21cnjy.com )都加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
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第一讲 不等式的基本性质
一、填空题
1．（1）若，则，是根据________．
（2）若，则，是根据________．
（3）若，则，是根据________．
（4）若，则，是根据________．
（5）若，则，是根据________．
2．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”号填空
（1）若，则_____．
（2）若，则_____．
（3）若，则_____．
（4）若，，则_____．
（5）若，则_____．
3．判断题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1），得（______）． （2）由，得（______）．
（3）2是不等式的解（______）． （4）由，得（______）．
（5）如果，，则（______）． （6）如果，则（______）．
（7）（______）
4．比较下列各对代数式的值的大小．
（1）已知，则________．
（2）已知，则___．
5．若，，则的大小关系是________．
6．已知正数a、b、c满足a2+c2=16，b2+c2=25，则k=a2+b2的取值范围为 ．21cnjy.com
二、解答题
7．阅读下面解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较－2 009a＋1与－2 009b＋1的大小．
解：因为a＞b，①
所以－2 009a＞－2 009b，②
故－2 009a＋1＞－2 009b＋1. ③
问：(1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
8．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-x>-1
（4）10-x>0 （5）-x<-2 （6）3x+5<0
9．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
（1） （2）
10．已知，，试比较与的大小．
11．将这四个数用“<”连接起来．
12．设，且，若，，，试比较M、N、P的大小．
13．（1）通过计算比较下列各组数中两个数的大小．
________；________；________；________；________，……
由以上结果可以猜想与的大小关系是________．
（2）根据以上猜想，你能判断与的大小吗？
14．试比较a与的大小．
三、单选题
15．设“○”“△”“ ”分别表 ( http: / / www.21cnjy.com )示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“○”“△”“ ”的质量按从大到小的顺序排列为( )21·cn·jy·com
A． ○△ B． △○
C．△○ D．△ ○
16．下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
17．若－a＞a，则a必为（ ）
A．负整数 B．正整数 C．负数 D．正数
18．已知a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么下列判断正确的是( )
A．1－b＞－b＞1＋a＞a B．1＋a＞a＞1－b＞－b
C．1＋a＞1－b＞a＞－b D．1－b＞1＋a＞－b＞a
19．对于命题“a、b是有理数，若a＞b，则 ( http: / / www.21cnjy.com )a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a、b是有理数，若a＞b＞0，则a2＞b2；②a、b是有理数，若a＞b，且a＋b＞0，则a2＞b2；③a、b是有理数，若a＜b＜0，则a2＞b2；④a、b是有理数，若a＜b且a＋b＜0，则a2＞b2．其中，真命题的个数是（ ）21教育网
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．若，则下列不等式变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
21．若，且，则（ ）.
A．有最小值 B．有最大值1
C．有最大值2 D．有最小值
22．If ，then the following inequality must be hold（ ）（英语小词典：following：下面的；inequality：等式）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
23．已知a，b，c，d都是正实数，且，给出下列4个不等式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
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