第一讲 不等式的基本性质(基础训练)(原卷版+解析版)

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第一讲 不等式的基本性质
一、单选题
1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2
2．下列推理正确的是( )
A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1 B．因为a＜b，所以a－1＜b－2
C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d
3．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是( )
A．a+t>a B．a+t4．把不等式－3x＞－6变形为x＜2的依据是不等式的( )
A．基本性质1 B．基本性质2 C．基本性质3 D．以上都不是
5．若－＜－，则a一定满足的条件是( )
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
6．设“○”、“□”、“△”分别表示三种 ( http: / / www.21cnjy.com )不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为( )21教育网
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A．○□△ B．○△□ C．□○△ D．△□○
7．a，b，c在数轴上的对应 ( http: / / www.21cnjy.com )点的位置如图所示，下列式子：①b＋c＞0；②a＋b＞a＋c；③bc＞ac；④ab＞ac.其中正确的有( )21cnjy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．2a与3a的大小关系（ ）
A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定
9．若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
10．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（　　）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
11．在平面直角坐标系中，点A在第三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
13．用“＞”“＝”或“＜”填空：
(1) 若a＞b，且a＜0，则a2________ab；
(2) 若a＋5＜b＋5，则－a_________－b.
14．已知a>b，选择适当的不等号填空：
(1)－________－；
(2)1－5a__________1－5b；
(3)ax2_________bx2；
(4)a(－c2－1)_________b(－c2－1)．
15．若7x＋2＜7y＋2，则 ( http: / / www.21cnjy.com )x_______y，它经历了两步，第一步是将不等式7x＋2＜7y＋2的两边_______________，第二步是将不等式的两边_______________．21世纪教育网版权所有
16．当x____________时，代数式2x－3的值是正数．
三、解答题
17．将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)2x＞3x－4；
(2)5x－1＜14；
(3)－x＜－3；
(4) x＜x＋1.
18．指出下列各式成立的条件．
(1)由a>b，得ac≤bc；
(2)由(a－3)x>a－3，得x>1；
(3)由a(m－2)b.
19．已知x>0，试比较10x2－3x＋2与8x2－3x＋2的大小
20．已知x>y，试比较(m－1)x与(m－1)y的大小
21．小明从一商店买了3个相同的玻璃杯，平均每个a元，又从另一个商店买了2个相同的玻璃杯，平均每个b元，后来他以每个元的价格把玻璃杯全部都卖给了乙，结果赔了钱，你能用不等式的知识说明原因吗？21·cn·jy·com
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第一讲 不等式的基本性质
一、单选题
1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2
【答案】D
【解析】
试题分析：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；
D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；
故选D．
【考点】不等式的性质．
2．下列推理正确的是( )
A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1 B．因为a＜b，所以a－1＜b－2
C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质逐项分析即可.
【详解】
A. 因为由a＜b，变为a＋2＜b＋1，两边不是加的同一个数，故不正确；
B. 因为由a＜b，变为a－1＜b－2，两边不是减的同一个数，故不正确；
C. 因为由a＞b，所以a＋c＞b＋c ，符合不等式的性质1，故正确；
D. 因为由a＞b，变为a＋c＞b－d，两边不是同时加上或减去同一个数，故不正确；
故选C.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质：①把不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．21教育网
3．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是( )
A．a+t>a B．a+t【答案】A
【解析】
试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.
t＞0，
∴a＋t＞a，
故选A.
考点：本题考查的是不等式的基本性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.21cnjy.com
4．把不等式－3x＞－6变形为x＜2的依据是不等式的( )
A．基本性质1 B．基本性质2 C．基本性质3 D．以上都不是
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，结合变形的方法求解即可.
【详解】
∵把不等式－3x＞－6的两边都除以-2可变形为x＜2，
∴变形的依据是不等式的基本性质3.
故选C.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质：① ( http: / / www.21cnjy.com )把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．21·cn·jy·com
5．若－＜－，则a一定满足的条件是( )
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
【答案】A
【解析】
将原不等式两边都乘以﹣6，得：3a＞2a，
移项、合并，得：a＞0，
故选A．
6．设“○”、“□”、“△ ( http: / / www.21cnjy.com )”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为( )21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．○□△ B．○△□ C．□○△ D．△□○
【答案】D
【解析】
由图1可知1个○的质量大于1个□的质量，由图2可知1个□的质量等于2个△的质量，因此1个□质量大于1个△质量．故选D【来源：21·世纪·教育·网】
7．a，b，c在数轴上的对应点的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，下列式子：①b＋c＞0；②a＋b＞a＋c；③bc＞ac；④ab＞ac.其中正确的有( )21*cnjy*com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据数轴上右边的数总大于左边的数，原点右边表示正数，左边表示负数，结合有理数运算法则进行判断即可求解．21*cnjy*com
【详解】
解：依题意得-2＜c＜-1＜0＜b＜1＜2＜a
①b+c＜0，故说法错误；
②a+b＞a+c，故说法正确；
③bc＞ac，故说法正确；
④a-b＞0，故说法正确；
∴正确的是②③④，共3个．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了利用数轴比较两个负数的大小，绝对值大的反而小．
8．2a与3a的大小关系（ ）
A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定
【答案】D
【分析】
题目中没有明确a的正负，故要分情况讨论．
【详解】
当a<0时，2a>3a；
当a=0时，2a=3a；
当a>0时，2a<3a，
故选D．
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．2-1-c-n-j-y
9．若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【答案】C
【解析】
试题分析：根据不等式x+5＞0，求得x＞﹣5，然后可知：
A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；
故选C．
考点：不等式的性质
10．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（　　）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
【答案】D
【解析】
试题分析：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选D．
考点：不等式的性质．
点睛：根据不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，来判断各选项．【来源：21cnj*y.co*m】
11．在平面直角坐标系中，点A在第三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得-2m+1＜0，求不等式的解即可．
【详解】
解：∵点在第三象限，
∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即-2m+1＜0，解得m＞．
故选A．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
12．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．
详解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜，
又∵x＜1，
∴x2、x、的大小顺序是：x2＜x＜．
故选A．
点睛：本题主要考查了不等式，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或．
二、填空题
13．用“＞”“＝”或“＜”填空：
(1) 若a＞b，且a＜0，则a2________ab；
(2) 若a＋5＜b＋5，则－a_________－b.
【答案】＜ ＞
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的性质3求解即可
（2）先根据不等式的性质1，再根据性质3求解即可.
【详解】
(1) ∵a＞b，且a＜0，∴a2>ab；
(2) ∵a＋5＜b＋5，∴a＜b，∴－a>－b.
故答案为：(1)＜ ， (2)＞.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质：①把不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
14．已知a>b，选择适当的不等号填空：
(1)－________－；
(2)1－5a__________1－5b；
(3)ax2_________bx2；
(4)a(－c2－1)_________b(－c2－1)．
【答案】＜ ＜ ≥ ＜
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的性质3两边都除以-3解答即可；
（2）先用不等式的性质3两边都乘以-5，，再用不等式的性质1两边都加1解答；
（3）先判断x2的取值范围，再根据不等式的性质解答；
（4）先判断－c2－1的取值范围，再根据不等式的性质解答.
【详解】
(1) ∵ a>b，∴－<－；
(2) ∵ a>b，∴－5a<－5b, ∴1－5a<1－5b；
(3) ∵ a>b，x2≥0，∴ax2≥bx2；
(4) ∵c2≥0，∴-c2≤0，∴－c2－1<0；∵ a>b，∴a(－c2－1)故答案为： (1)＜ ；(2) ＜；(3) ≥ ；(4) ＜.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的 ( http: / / www.21cnjy.com )两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
15．若7x＋2＜7y＋2，则x_______y，它经历了两步，第一步是将不等式7x＋2＜7y＋2的两边_______________，第二步是将不等式的两边_______________．
【答案】＜ 都减去2 都除以7
【解析】
【分析】
先根据不等式的性质1两边都减去2，再根据不等式的性质2两边都除以7.
【详解】
若7x＋2＜7y＋2，则x故答案为：＜ ；都减去2 ；都除以7.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质：① ( http: / / www.21cnjy.com )把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
16．当x____________时，代数式2x－3的值是正数．
【答案】＞
【分析】
先由题意列出不等式，再根据不等式的基本性质即可得到结果．
【详解】
由题意得2x－3＞0，解得x＞.
考点：本题考查的是不等式的基本性质
【点睛】
解答本题的关键是熟练掌握不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变.
三、解答题
17．将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)2x＞3x－4；
(2)5x－1＜14；
(3)－x＜－3；
(4) x＜x＋1.
【答案】(1) x＜4；(2) x＜3； (3) x＞27；(4) x＞－6.
【解析】
【分析】
（1）先根据不等式的性质1两边都减去3x，合并同类项后，再根据不等式的性质3两边都除以-1；
（2）先根据不等式的性质1两边都加1，合并同类项后，再根据不等式的性质2两边都除以5；
（3）先根据不等式的性质3两边都乘以-9即可；
（4）先根据不等式的性质1两边都减去x，合并同类项后，再根据不等式的性质2两边都除以6.
【详解】
(1) ∵2x＞3x－4，
∴2x-3x>-4,
∴-x>-4,
∴x<4;
(2) ∵5x－1＜14，
∴5x<14+1,
∴5x<15,
∴x<3；
(3)－x＜－3，
∴－x×（-9）>－3×（-9）
∴x>27；
(4) ∵ x＜x＋1，
∴x-x<1，
∴-x<1，
∴x>-6.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质：①把不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．21世纪教育网版权所有
18．指出下列各式成立的条件．
(1)由a>b，得ac≤bc；
(2)由(a－3)x>a－3，得x>1；
(3)由a(m－2)b.
【答案】(1)c≤0； (2)a>3； (3)m<2.
【解析】
试题分析：根据不等式的性质，又不等式的不等号的变化判断即可.
试题解析：（1）由a＞b，得ac≤bc，
根据不等式的性质3，可知c≤0；
(2)由(a－3)x＞a－3，得x＞1，
根据不等式的基本性质2，可得a-3＞0，即a＞3；
(3)由a＜b，得(m－2)a＞(m－2)b，
根据不等式的性质3，可知m-2＜0，解得m＜2.
19．已知x>0，试比较10x2－3x＋2与8x2－3x＋2的大小
【答案】10x2－3x＋2>8x2－3x＋2.
【解析】
【分析】
先把两个式子相减，并去括号合并同类项，然后由x>0，结合不等式的性质判断差的正负即可.
【详解】
解：(10x2－3x＋2)－(8x2－3x＋2)＝2x2，
∵x>0，∴2x2>0，
∴10x2－3x＋2>8x2－3x＋2.
【点睛】
本题考查了不等式的性质和利用作差法比 ( http: / / www.21cnjy.com )较两个代数式的大小.作差法比较大小的方法是:如果a-b>0，那么a>b；如果a-b=0,那么a=b；如果a-b<0,那么ab，b>c，那么a>b>c.2·1·c·n·j·y
20．已知x>y，试比较(m－1)x与(m－1)y的大小
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分三种情况①m－1>0，②m－1＝0，③m－1<0，根据不等式的性质解答即可.
【详解】
解：当m－1>0，即m>1 ( http: / / www.21cnjy.com )时，(m－1)x>(m－1)y；当m－1＝0，即m＝1时，(m－1)x＝(m－1)y；当m－1<0，即m<1时，(m－1)x<(m－1)y.【出处：21教育名师】
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质及分类讨论的数学思想，分三种情况解答是解答本题的关键．
21．小明从一商店买了3个相同的玻璃杯，平均每个a元，又从另一个商店买了2个相同的玻璃杯，平均每个b元，后来他以每个元的价格把玻璃杯全部都卖给了乙，结果赔了钱，你能用不等式的知识说明原因吗？www.21-cn-jy.com
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先理解题意知道赔钱是什么意思，进而利用题中数量关系列出不等式3a+2b>5，根据不等式的基本性质变形即可得到赔钱的原因.【版权所有：21教育】
【详解】
解：因为赔了钱，所以×5＜3a＋2b，
∴5a＋5b＜6a＋4b，
∴－a＋b＜0，即b＜a，
∴赔钱的原因是b＜a.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质的应用，根据题意列出不等式并能根据不等式的基本性质变形是解答本题的关键.
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