第二讲 一元一次不等式(基础讲解)（含解析）

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第二讲 一元一次不等式
【学习目标】
1．理解一元一次不等式的概念；
2.会解一元一次不等式．
【知识总结】
一、一元一次不等式
左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式.
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．21世纪教育网版权所有
注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．
二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.21cnjy.com
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．21·cn·jy·com
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【典型例题】
【类型】一、一元一次不等式的概念
例1． 在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】一元一次不等式的定义：含有一个未知 ( http: / / www.21cnjy.com )数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．
解：-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；
是整式，不是一元一次不等式；
x=3是方程，不是一元一次不等式；
x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；
x≠5是一元一次不等式；
x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
∴是一元一次不等式的有1个
故选：A．
【点拨】
本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．
【训练】若是关于的一元一次不等式，则_______．
【答案】0
【分析】根据一元一次不等式的定义可得，求解即可．
解：根据题意得，
解得；，
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的定义，正确把握定义是解题关键．
【类型】二、求一元一次不等式的解集
例2．若代数式的值小于，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列不等式求解即可．
解：由题意得：<，
解得x<6，
故选：C．
【点拨】此题考查解不等式，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
【训练】若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为________．
【答案】．
【分析】
直接把两个方程相加，得到，然后结合，即可求出a的取值范围．
解：，
直接把两个方程相加，得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握运算法则，正确得到．
【类型】三、求一元一次不等式的整数解
例3．不等式的非负整数解共有__个．
【答案】4
【分析】不等式去分母，合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
解：，
，
，
解得：，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．
故答案为：4．
【点拨】此题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【训练】不等式≤的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．
解：3（x-1）≤5-x
3x-3≤5 ( http: / / www.21cnjy.com )-x，
则4x≤8，
解得：x≤2，
故不等式3（x-1）≤5-x的正整数解有：1，2共2个．
故选：B．21教育网
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式是解题的关键．
【类型】四、在数轴上表示不等式的解集
例4、解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【分析】
根据一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1，即可得到的范围，再把所得的的范围在数轴上表示出来即可．www.21-cn-jy.com
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得．
在数轴上表示此不等式的解集如图：
【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，解题关键是明确不等式的性质，两边同时除以一个负数不等号的方向要改变，在数轴上表示不等式的解集时“”，“”向右画，“”，“”向左画，“”，“”用实心点，“”，“”用空心圆．2·1·c·n·j·y
【训练】解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见解析
【分析】利用不等式的性质解一元一次不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
解：，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
化系数为1，得： ，
∴不等式的解集为，
不等式的解集在数轴上表示为：
【点拨】本题考查解一元一次不等式、在数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，会在数轴上表示不等式的解集是解答的关键，特别注意不等号的方向和端点的空（实）心．
【类型】五、求一元一次不等式解集的最值
例5．已知关于x、y的方程组的解满足．
（1）求的取值范围；
（2）已知，且，求的最大值．
【答案】（1）;（2）-7
【分析】
（1）先利用加减消元法解二元一次方程组,用a表示的x、y,根据方程组的解满足不等式可得关于a的不等式,解不等式即可．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）根据,得,即可用a表示, ,由（1）问a的范围,利用等式的基本性质求出5a-12的范围,即可求出z的范围．21·世纪*教育网
解：（1）由题,
由有得．
（2）由题,则,
由有．
所以的最大值为．
【点拨】本题考查二元一次方程组,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不等式组的解法．
【训练】关于x、y的方程组的解满足x﹣2y≥1，求满足条件的k的最大整数值．
【答案】满足条件的k的最大整数值为2．
【解析】
【分析】
将两方程相减得出x,y的值，再把x,y的值代入x﹣2y≥1，即可解答
【详解】
解关于x，y的方程组 ，得 ，
把它代入x﹣2y≥1得，3﹣k﹣2（3k﹣6）≥1，
解得k≤2，
所以满足条件的k的最大整数值为2．
【点拨】此题考查二元一次方程组的解和解一元一次不等式，解题关键在于求出x,y的值再代入。
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