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第四讲 一元一次不等式组
一、单选题
1．x的一半与y的平方的和大于2，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
用加上，它们的和大于2，列出不等式即可．
【详解】
由题意得，
故选A．
【点睛】
本题考查列不等式，读懂描述语言中的运算顺序是解题关键．
2．如图，a，b，c分别表示苹果、梨、桃子的质量，同类水果质量相等，则下列关系正确的是
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形就可以得到一个相等关系与一个不等关系，就可以判断a，b，c的大小关系．
【详解】
解：依图得3b＜2a，
∴a＞b，
∵2c=b，
∴b＞c，
∴a＞b＞c
故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解不等式组得-3故选A
4．若a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．ac＞bc B．a+c＞b+c C． D．ab＞b2
【答案】A
【解析】
【分析】
举特例如c=0，可对A进行判断；根据不等式性质，把a＞b＞0两边都加上c得到B，都除以ab得到C，都乘以b得到D．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：当c=0，则ac＞bc不成立；
当a＞b＞0，则a+c＞b+c；＜；ab＞b2．
故选：A．
【点睛】
考查了不等式性质：①在不等式两边同 ( http: / / www.21cnjy.com )加上或减去一个数（或式子），不等号方向不改变；②在不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不改变；③在不等式两边同乘以或除以一个负数，不等号方向改变．
5．若不等式a1xa1的解集是x1，则a必满足（ ）
A．a0 B．a1 C．a1 D．a1
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知不等式的解集，利用不等式的基本性质判断即可确定出a的范围．
【详解】
解：∵不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
6．如图所示，直线经过点，两点则不等式的解集为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
观察图像，直线在直线上方且在下方时，对应x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】
由图像可知，
直线在直线上方且在下方时，
对应x的取值范围为，
所以不等式的解集为
故选C．
【点睛】
本题考查根据一次函数交点求不等式的解集，熟练掌握一次函数与不等式的关系是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式求解．
【详解】
由题意得，
解得，
故选A．
【点睛】
本题考查坐标系中象限点的符号与解不等式，熟记每一个象限中坐标的符号特征是解题的关键．
8．不等式组的解集是，那么m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可．
【详解】
解不等式①，得：
∵不等式组 的解集是
∴
故选择：A.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和不等式组的解集得出关于m的不等式是解此题的关键．
9．已知，化简等于（ ）
A． B．-2 C．2 D．
【答案】C
【分析】
先判断，，再去绝对值化简即可．
【详解】
∵
∴，，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查绝对值化简，首先判断绝对值内式子的正负是解题的关键．
10．某市打市电话的收费标准是 ( http: / / www.21cnjy.com )：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为（ ）21·世纪*教育网
A．0.6元 B．0.7元 C．0.8元 D．0.9元
【答案】B
【解析】
分析：由题意，分析可得，可根据小刚通话的方式进行，需要电话费最少．
详解：由已知通过分析可得：根据小刚通话的方式进行，需要电话费最少，
即先打3分钟，挂断后再打3分钟，再挂断打10 3 3=4分钟，
则费用为：0.2+0.2+0.2+0.1=0.7.
故选B.
点睛：考查有理数的加法，难度不大，关键是要找出怎么打电话才能使电话费最少.注意第10分钟不要另外再打一次电话.21*cnjy*com
二、填空题
11．不等式5(x－1)＜3x＋1的解集是________．
【答案】x＜3
【解析】
【分析】
先去括号，再移项，合并同类项，化系数为1即可．
【详解】
解：去括号得，5x-5＜3x+1，
移项得，5x-3x＜1+5，
合并同类项得，2x＜6，
系数化为1得，x＜3．
故答案为x＜3．【出处：21教育名师】
【点睛】
本题考查了解不等式的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，但注意，在变换过程中，两边乘一个负数时，符号方向的改变.【版权所有：21教育】
12．满足不等式组的整数解为________．
【答案】-2，-1，0，1
【分析】
先解不等式组，再找出解集中的整数解．
【详解】
解不等式组，得
∴整数解为-2，-1，0，1
故答案为：-2，-1，0，1．
【点睛】
本题考查求不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
13．k满足________时，方程的解是正数．
【答案】
【分析】
先解方程，再根据解是正数，列出不等式求解．
【详解】
解方程，
得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查根据一元一次方程解的情况求参数取值范围，熟练掌握解一元一次方程得到关于k的不等式是解题的关键．
14．根据如图所示的部分函数图像，可得不等式的解集为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
观察图象，直线在上方时对应x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】
由图象可得，
当直线在上方时，x的取值范围为，
则不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查根据一次函数交点求不等式的解集，熟练掌握一次函数与不等式的关系是解题的关键．
15．不等式组有解，m的取值范围是________
【答案】m＜8
【解析】
解：由题意得：m＜8．故答案为：m＜8．
16．已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则的值为_____．
【答案】﹣2
【详解】
不等式组
由①得，x≥a+b，
由②得，x＜，
∴，
解得，
∴=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题考查了不等式组的解法，先分别解 ( http: / / www.21cnjy.com )两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
17．对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d=_______．
【答案】3或-3
【分析】
首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可．
【详解】
解：根据题意得：1＜4-bd＜3，
则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3，
∵b、d是整数，
∴bd是整数．
∴bd=2，21·cn·jy·com
则或或或，
则b+d=3或-3．
故答案是：3或-3．
【点睛】
本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键．
18．在关于的方程组，中，已知，那么将从大到小排起来应该是________．
【答案】
【分析】
用第一个不等式减第二个不等式，结合，可判断同理用第二个不等式减第三个不等式，可判断，即可得出答案．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：，
.
，
.
.
.
【点睛】
本题考查方程组与不等式，采用加减消元得出不等式是解题的关键．
19．若不等式组的整数解仅为1，2，3，4，则最小整数b和最大整数a的值分别为________．
【答案】32，9
【分析】
先解不等式组，再根据整数解的情况得到a和b的取值范围，即可得出答案．
【详解】
解不等式组得：，
∵整数解仅为1，2，3，4，
∴，
解得，
∴最小整数b的值是32，最大整数a的值是9
故答案为：32，9．
【点睛】
本题考查根据不等式组解集的情况求参数，熟练掌握解不等式组，根据解集的情况得出参数的不等式是解题的关键．21世纪教育网版权所有
20．某车间经过技术改造每天生产的汽车配 ( http: / / www.21cnjy.com )件比原来多10个，因而8天生产的配件超过200个，第二次技术改造后，每天又比第一次技术改造后多做配件27个，这样只做了4天，所做配件个数就超过了第一次改造后8天所做配件的个数．则这个车间原来每天生产配件________个．21cnjy.com
【答案】16
【分析】
设原来每天生产配件x个，分别用x表示出第一次技术改造后与第二次技术改造后每天做的数量，再根据数量关系列出不等式组求解．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：设原来每天生产配件x个，
根据题意，得，
解得.
是整数，x的值为16.
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了不等式组的应用，理解题意，根据数量关系建立不等式组是解题的关键．
三、解答题
21．解不等式（组）：
（1）
（2）．
【答案】（1）x≥；（2）﹣1＜x≤2.
【解析】
试题分析：
（1）按解一元一次不等式的一般步骤解答即可；
（2）按照解一元不等式组的一般步骤解答即可.
试题解析：
（1）去分母得：3﹣（x﹣1）≤2x+3+3x，
去括号得：3﹣x+1≤5x+3，
移项得：﹣x﹣5x≤3﹣3﹣1，
合并同类项得：﹣6x≤﹣1，
系数化为1得：.
（2） 解不等式得：x≤2，
解不等式得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤2 .
22．求使不等式和同时成立的自然数x的值．
【答案】4，5，6，7，8，9，10，11
【分析】
将两个不等式组成不等式组，解出不等式组，然后再写出解集中的自然数．
【详解】
解：由题意，可列不等式组为，
解不等式组可得，
∴x取自然数为4，5，6，7，8，9，10，11．
【点睛】
本题考查求不等式组的自然数解，正确理解两个不等式同时成立，将它们组成不等式组是解题的关键．
23．已知关于x、y的方程组的解满足，若m是负整数，求的值．
【答案】0
【分析】
将两个方程相加，可得，然后根据题意建立不等式组，求出m的值，再代入求值．
【详解】
解：将方程组中两个方程相加得：
，则，
∵
，
.
是负整数，
.
原式.
【点睛】
本题考查方程组与不等式组，将两个方程相加得出的表达式是解题的关键．
24．已知不等式-1<6的负整数解是关于x的方程2x-3=ax的解,试求出不等式组的解集.
【答案】【解析】
试题分析：求出不等式得负整数解，求出的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可．
试题解析：解不等式得
其负整数解是
把x= 1代入2x 3=ax得： 2 3= a，
解得：a=5，
所以原不等式组为
由①得：
由②得：
原不等式组的解集为:
25．小明在做课外题时，遇到这样一道题：“若，求x的取值范围．”小明思考之后做了如下解答：解：由，得，或，或（无解）即．请你仿照小明的做法解不等式：．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】或.
【分析】
根据“同号得正”可得，分子分母都大于0或小于0，列出不等式组求解．
【详解】
解：∵
∴或，
或.
【点睛】
本题考查列不等式组求解，根据“同号得正”建立不等式组是解题的关键．
26．在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理 ( http: / / www.21cnjy.com )是改善学习的重要方法善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，对相关知识进行了归纳整理．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）例如他在同一个平面直角坐标系中画出了一次函数和的图像如图（a）所示，并做了归纳：
（Ⅰ）一次函数与方程的关系：
（ⅰ）一次函数的解析式就是一个二元一次方程．
（ⅱ）点B的横坐标是方程①的解．
（ⅲ）点C的坐标中的x，y的值是方程组②的解．
（Ⅱ）一次函数与不等式的关系：
（ⅰ）函数的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式③的解集．
（ⅱ）函数的函数值小于0时，自变量x的取值范围就是不等式④的解集．
请根据图（1）和以上方框 ( http: / / www.21cnjy.com )中的内容，在下面数字序号后写出相应的结论：①________；②________；③________；④________；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）若已知一次函数和的图像，如图（2）所示，且它们的交点C的坐标为，那么不等式的解集是________．21教育名师原创作品
【答案】（1）①，②，③，④；（2）
【解析】
【分析】
（1）①点B是直线与x轴的交点，即y=0，即可得出方程；②将两条直线解析式联立方程组即可；③y＞0，即；④函数的函数值小于0，即；21*cnjy*com
（2）观察图象，当直线在直线上方时（含交点），对应的x取值范围即为不等式的解集．
【详解】
（1）①∵点B是直线与x轴的交点，即y=0
∴点B的横坐标是方程的解
②点C的坐标中的x，y的值是方程组的解
③函数的函数值y大于0时，即
∴自变量x的取值范围就是不等式的解集
④函数的函数值小于0，即，
∴自变量x的取值范围就是不等式的解集
故答案为：，，，；
（2）观察图象，当直线在直线上方时（含交点），
对应的x取值范围是
∴不等式的解集是．
【点睛】
本题考查了一次函数与方程，不等式的关系，熟练掌握一次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
27．某电脑经销商计划购进一批 ( http: / / www.21cnjy.com )电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商购进这两种商品共50台 ( http: / / www.21cnjy.com )，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）利润最大为4400元．
【分析】
（1）设每台电脑机箱的进 ( http: / / www.21cnjy.com )价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据“若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元”即可列方程组求解；
（2）设购进电脑机箱z台，根据“可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，所获利润不少于4100元”即可列不等式组求解.
【详解】
解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台，
根据题意得：，
解得：24≤m≤26，
因为m要为整数，所以m可以取24、25、26，
从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台，
②电脑箱：25台，液晶显示器：25台；
③电脑箱：26台，液晶显示器：24台．
∴方案一的利润：24×10+26×160=4400，
方案二的利润：25×10+25×160=4250，
方案三的利润：26×10+24×160=4100，
∴方案一的利润最大为4400元．
答：该经销商有3种进货方案：①进24 ( http: / / www.21cnjy.com )台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4400元．21教育网
【点睛】
考点：方案问题，方案问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握.
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第四讲 一元一次不等式组
一、单选题
1．x的一半与y的平方的和大于2，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，a，b，c分别表示苹果、梨、桃子的质量，同类水果质量相等，则下列关系正确的是
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．ac＞bc B．a+c＞b+c C． D．ab＞b2
5．若不等式a1xa1的解集是x1，则a必满足（ ）
A．a0 B．a1 C．a1 D．a1
6．如图所示，直线经过点，两点则不等式的解集为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式组的解集是，那么m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
9．已知，化简等于（ ）
A． B．-2 C．2 D．
10．某市打市电话的收费标准是：每次 ( http: / / www.21cnjy.com )3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为（ ）21世纪教育网版权所有
A．0.6元 B．0.7元 C．0.8元 D．0.9元
二、填空题
11．不等式5(x－1)＜3x＋1的解集是________．
12．满足不等式组的整数解为________．
13．k满足________时，方程的解是正数．
14．根据如图所示的部分函数图像，可得不等式的解集为________．
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15．不等式组有解，m的取值范围是________
16．已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则的值为_____．
17．对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d=_______．
18．在关于的方程组，中，已知，那么将从大到小排起来应该是________．
19．若不等式组的整数解仅为1，2，3，4，则最小整数b和最大整数a的值分别为________．
20．某车间经过技术改造 ( http: / / www.21cnjy.com )每天生产的汽车配件比原来多10个，因而8天生产的配件超过200个，第二次技术改造后，每天又比第一次技术改造后多做配件27个，这样只做了4天，所做配件个数就超过了第一次改造后8天所做配件的个数．则这个车间原来每天生产配件________个．21cnjy.com
三、解答题
21．解不等式（组）：
（1）
（2）．
22．求使不等式和同时成立的自然数x的值．
23．已知关于x、y的方程组的解满足，若m是负整数，求的值．
24．已知不等式-1<6的负整数解是关于x的方程2x-3=ax的解,试求出不等式组的解集.
25．小明在做课外题时，遇到这样一道题：“若，求x的取值范围．”小明思考之后做了如下解答：解：由，得，或，或（无解）即．请你仿照小明的做法解不等式：．21教育网
26．在数学学习中，及时对知识 ( http: / / www.21cnjy.com )进行归纳和整理是改善学习的重要方法善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，对相关知识进行了归纳整理．www.21-cn-jy.com
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（1）例如他在同一个平面直角坐标系中画出了一次函数和的图像如图（a）所示，并做了归纳：
（Ⅰ）一次函数与方程的关系：
（ⅰ）一次函数的解析式就是一个二元一次方程．
（ⅱ）点B的横坐标是方程①的解．
（ⅲ）点C的坐标中的x，y的值是方程组②的解．
（Ⅱ）一次函数与不等式的关系：
（ⅰ）函数的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式③的解集．
（ⅱ）函数的函数值小于0时，自变量x的取值范围就是不等式④的解集．
请根据图（1）和以上方框中的内容，在下面数 ( http: / / www.21cnjy.com )字序号后写出相应的结论：①________；②________；③________；④________；21·cn·jy·com
（2）若已知一次函数和的图像，如图（2）所示，且它们的交点C的坐标为，那么不等式的解集是________．2·1·c·n·j·y
27．某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液 ( http: / / www.21cnjy.com )晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商购进这两种商品共50台， ( http: / / www.21cnjy.com )而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
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