第一讲 用表格表示的变量间关系(基础讲解)（含解析）

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第一讲 用表格表示的变量间关系
【学习目标】
1、理解函数中变量的概念
2、能借助表格表示两个变量之间的关系
【知识总结】
一、变量的概念
在一个变化过程中，我们把数值发生变化的量称为__变量__，数值始终不变的量称为常量．
在一个变化过程中，其中一个变量在取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，那么，通常前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量．21世纪教育网版权所有
[注意] 自变量是在一定范围内主动发生变化的变量；因变量是随着自变量的变化而发生变化的变量．
二、借助表格表示两个变量之间的关系
把自变量的一系列值和因变量的对应值列成一个表来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．21教育网
用表格表示两个变量，一般第一栏表示自变量，第 ( http: / / www.21cnjy.com )二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量的变化存在一定的规律，或增加或减少或呈现规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测．
【典型例题】
【类型】一、变量、自变量、因变量的概念
例1　要通过驾照考试，学开车的人就必须熟悉交通规则，也要知道当路况不良时，使车子停止前进所需的大约距离．21cnjy.com
速度(千米/时) 48 64 80 96
停止距离(米) 45 72 105 144
(1)上表反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)说一说这两个变量之间的关系．
[解析] 根据自变量、因变量的定义，停止距离是随速度的变化而变化的，从而判断速度为自变量，停止距离为因变量．2·1·c·n·j·y
解： (1)上表反映的是速度与停止距离之间的关系；速度是自变量，停止距离是因变量．
(2)随着速度的增大，停止距离逐渐增大．
[归纳总结] 自变量和因变量的联系和区别见下表：
自变量 因变量
区别 先发生变化或自主发生变化的量 后发生变化或随着自变量的变化而发生变化的量
联系 1.两者都是某一变化过程中的变量2．两者因研究的侧重点或先后顺序不同而可以相互转化
【类型】二、用表格表示变量之间的关系
例2　某同学用弹簧做试验，在弹簧上挂不同质量的物体时弹簧的长度就会发生变化，但所挂物体的质量不能超过1000克，试验数据如下：【来源：21·世纪·教育·网】
物体质量(克) 100 200 300 400
弹簧长度(厘米) 11 12 13 14
(1)此题中哪个是自变量？哪个是因变量？它们之间有什么关系？
(2)你能否预测所挂重物质量为800克时，弹簧总长度是多少吗？弹簧总长度为15厘米时，所挂重物的质量是多少？21·世纪*教育网
(3)不挂重物，弹簧的长度是多少？在弹性限度内弹簧的最大长度是多少？
[解析] 由题意及表格可知，弹簧长度随所挂 ( http: / / www.21cnjy.com )物体的质量的增加而伸长，而由表中数据看到所挂的物体每增加100克，弹簧就伸长1厘米，因此问题迎刃而解．2-1-c-n-j-y
解： (1)自变量是物体质量，因变量是弹簧长度，其中，弹簧长度随物体质量的增加而伸长．
(2)由表中数据可知，重物每增加100 ( http: / / www.21cnjy.com )克，弹簧就伸长1厘米，故挂800克的重物时，弹簧长为18厘米；当弹簧总长度为15厘米时，所挂重物的质量是500克．21*cnjy*com
(3)由(2)知，不挂重物，弹簧的长度是10厘米；在弹性限度内，弹簧的最大长度是20厘米．
[归纳总结] 用表格法表示两个变量之间的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系时，能准确地指出几组自变量与因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从这部分数据中观察变量的变化趋势并估计未在表格中出现的数据的大小，因此需要对表格中的数据进行分析．【来源：21cnj*y.co*m】
【类型】三、价格变化规律
例1 某商店出售商品时，在进价的基础上又加了一定的利润，其数量x与售价y的关系如下表所示：
数量x(千克) 1 2 3 4 …
售价y(元) 8+0.4 16+0.8 24+1.2 32+1.6 …
请根据表中所提供的信息，写出售价y与数量x之间的关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
析解:从表格可发现,当x ( http: / / www.21cnjy.com )=1时,y=8+0.4;当x=2时,y=16+0.8=2(8+0.4);当x=3时,y=24+1.2=3(8+0.4),…,所以y与x之间的关系式为y=(8+0.4)x=8.4x.21·cn·jy·com
当x=2.5时,y=8.4×2.5=21(元).
即2.5千克的售价是21元.
【类型】四、树苗生长规律
例2 一种树苗的高度用h表示，测得的有关数据如下表（树苗原高80cm）：
年数x（年） 树高h（cm）
1 80+5
2 80+10
3 80+15
4 80+20
… …
写出年数x与树高h的关系式，并计算生长5年的树苗的高度.
析解：观察表格可知，树苗高度一 ( http: / / www.21cnjy.com )栏中由两部分组成，“+”号前是树的原来高度不变，“+”后面的部分与a的关系是年数的5倍，所以树的高度h与年数x的关系式为h=80+5x.www.21-cn-jy.com
当x=5时，则h=80+5×5=80+25=105（cm）.
即5年后的高度是105cm.
【类型】五、音速传播规律
例3 声音在空气中传播的速度v(米/秒)(简称音速)和气温t(℃)有关,音速随着气温的变化如下表:
气温t(℃) 0 5 10 15 …
音速v(米/秒) 331 334 337 340 …
试写出音速v与气温t之间的关系式,根据关系式,估计25时的音速是多少
析解:从表格可以看出,当t=0时,音速v ( http: / / www.21cnjy.com )=331,当t=5时,v=334=331+3;当t=10时,v=337=331+6=331+2×3;当t=15时,v=340=331+9=331+3×3,…,www-2-1-cnjy-com
所以v与t的关系为v=331+.
当t=25时,v=331+×25=331+15=346(米/秒).
即当温度是25℃时,音速是346米/秒.
【类型】六、温度变化规律
例4 下表中记录了一次试验中的时间和温度的数据.
时间t（分） 0 5 10 15 20 25
温度T（℃） 10 25 40 55 70 85
（1）写出温度T与时间t的关系式；
（2）什么时间的温度是34℃.
析解：（1）从表中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升3，所以可得关系式为T=10+3t.
（2）当T=34℃时，有34=10+3t，解得t=8，
即8分钟的温度是34℃.
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