第三讲 用图象表示变量间的关系(基础讲解)（含解析）

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第三讲 用图象表示变量间的关系
【学习目标】
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，其特点是非常直观．
2、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量．21·cn·jy·com
【知识总结】
一、用图象分析变量之间的关系
图象是刻画变量之间关系的又一 ( http: / / www.21cnjy.com )重要方式，其特点是非常直观．用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量．
[说明] (1)利用图象法来表示两个变量 ( http: / / www.21cnjy.com )之间的关系具有较好的直观性，因而人们常用它来反映两个变量的关系，并用它来指导生活、生产中的实际问题；21教育网
(2)由图象的概念可知，在利用图象解决问题时，分清水平方向的数轴和竖直方向的数轴各表示的是什么量尤为重要，所以在做题时，一定要注意这一点．www-2-1-cnjy-com
二、变量之间关系的表达方式与特点
表达方式 特点
表格 多个变量可以同时出现在一张表格中
关系式 准确地反映了因变量与自变量的数值关系
图象 形象地给出了因变量随自变量的变化趋势
　　[明确] 表示变量之 ( http: / / www.21cnjy.com )间关系的三种方法，各有各的优与劣，列表直观又明了，但不是很全面；关系式简洁又明了，反映了两个变量间的内在联系，但是分析时常需要计算；图象也很直观，但是取值多近似．其中关系式是基础，表格是画图象的关键．各种方法都要掌握，做到有备无患2-1-c-n-j-y
三、速度图象的意义
1．速度、时间图象各部分所代表的意义如图3－3－51所示．
图3－3－51
①代表物体从0开始加速运动②代表物体匀速运动③代表物体减速运动到停止．
2．路程、时间图象各部分所代表的意义如图3－3－52所示．
图3－3－52
①代表物体匀速运动．②代表物体停止．③代表物体反向运动直到回到原地．
[说明] 对比图3－3－52和图3－3－53进行记忆，有助于分析图象的实质．
3．价格、时间图象各部分代表的意义如图3－3－53所示．
图3－3－53
①代表价格从0开始逐渐增大．②代表价格不变．③代表价格逐渐变小．
四、理解图象信息
[明确] (1)怎样看图：在速度与时间 ( http: / / www.21cnjy.com )关系的图象中，从左往右若图象上升，表明速度在增大；若图象下降，表明速度在减小；若图象与横轴平行，表明速度保持不变，匀速．21cnjy.com
(2)图象所表示的变量间的关系直观形象，而且图象包含着丰富的信息资源，请同学们仔细观察，不断加工提炼，并利用这些信息解决问题. 21*cnjy*com
【典型例题】
【类型】一、利用图象表示变量间的关系
例1　如图3－3－6所示的图象记录了某地区1月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题：【来源：21cnj*y.co*m】
图3－3－6
(1)20时的温度是多少？
(2)温度是0 ℃的时刻是什么时刻？最暖和的时刻是什么时刻？
(3)温度在－3 ℃以下的持续时间为多少？
解： (1)20时的温度是－1 ℃.
(2)温度是0 ℃的时刻是12时和18时；最暖和的时刻是14时．
(3)温度在－3 ℃以下的持续时间为8个小时．
[归纳总结] (1)借助图象可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值．
(2)利用图象判断因变量的变化趋势．
(3)利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，可以得到表示两个变量之间关系的表格．
【类型】二、通过图象获得与分析信息
例2　某港受潮汐的影响，近日每天24时港 ( http: / / www.21cnjy.com )内的水深变化大体如图3－3－7所示．一艘货轮于上午7时在该港口码头开始卸货，计划当天卸完后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5 m(吃水深度即船底离开水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m时，才能进出该港．2·1·c·n·j·y
图3－3－7
根据题目中所给的条件，回答下列问题：
(1)要使该船能在当天卸完货，并安全出港，则出港时水深不能少于________ m；
(2)卸货时间最多只能用________ h.
[答案] (1)6　(2)8
[解析] 吃水深度为2.5 m，并 ( http: / / www.21cnjy.com )且只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m时，才能进出该港，所以出港时水深不能少于2.5＋3.5＝6(m)．从图象上看，水深不低于6 m的时间为6至15时，共9小时．从上午7时开始卸货，故最多只能用8小时．21·世纪*教育网
[归纳总结] 要从图象中获取信息，我们必须结 ( http: / / www.21cnjy.com )合具体情境理解图象上的点所表示的意义．理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；二要看该点所在的水平方向、竖直方向的位置，这样才能得到该点的正确意义．【版权所有：21教育】
【类型】三、用图象表示路程与时间之间的关系
例3甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(时)之间的函数关系的图象如图3－3－54所示，根据图中提供的信息，有下列说法：(1)他们都行驶了18千米；(2)甲在途中停留了0.5小时；(3)乙比甲晚出发了0.5小时；(4)相遇后，甲的速度小于乙的速度；(5)甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象描述的说法有(　　)21世纪教育网版权所有
图3－3－54
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
[解析] C 由图象我们可知：甲、乙两同学 ( http: / / www.21cnjy.com )从A地出发都行驶了18千米；甲在途中停留了0.5小时；乙比甲晚出发了0.5小时而又提前0.5小时到达离出发地18千米处；相遇后，甲的速度小于乙的速度，所以(1)(2)(3)(4)的说法都是符合图象描述的，故应选C.www.21-cn-jy.com
[归纳总结] 利用图象观察自变量的变化，应掌握几个要点：
(1)如果图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大；
(2)如果图象自左向右是下降的，则说明因变量随着自变量的增大而减小；
(3)如果图象自左向右是与x轴平行的，则说明因变量随着自变量的增大而保持不变．
【类型】四、根据图象解决生活中的问题
例2 如图3－3－55，表示小明骑自行车离家的距离与时间的关系，他9时离开家，15时回到家，请根据图象回答下列问题：21教育名师原创作品
图3－3－55
(1)小明到达离家最远的地方是什么时间？ ( http: / / www.21cnjy.com )离家多远？(2)他何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00，他骑了多少千米？(5)他可能在哪段时间休息，并吃午餐？(6)返回时的平均速度是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
[解析] 图象中，横轴表示时间，纵 ( http: / / www.21cnjy.com )轴表示距离，图象中的“点”是时间与距离的对应值，从这些特殊点出发可读取所需信息，线段与横轴平行表示小明在休息．【出处：21教育名师】
解： (1)由图象知小明到达离家最远的地方是12：00～13：00，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息半个小时．(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00到12：00，他骑了 ( http: / / www.21cnjy.com )13千米．(5)他可能在12：00～13：00休息，并吃午餐．(6)返回时的路程为30千米，时间为2小时，故返回时的平均速度为15千米/时． [总结] 用图象分析实际问题中变量之间的关系或者用图象大致表示实际问题中变量之间的关系，关键是图文对照，准确理解横轴、纵轴的意义，并注意以下几点：(1)变化过程中，随着自变量的增大，因变量是如何变化的；(2)图象上一些关键点的含义要与实际相符，如自变量为0时，图象上的点对应的因变量是什么，而实际情况又如何；因变量为0时，图象上的点对应的自变量是什么，而实际情况又如何；图象上因变量达到最大(或最小)值时的情况与实际相符．
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