2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.4角平分线同步解答题专题训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步解答题专题训练（附答案）
1．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
2．把两个同样大小的含30度的三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点．证明：
（1）MC的长度等于点M到AB的距离；
（2）求∠AMB的度数．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
4．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，求△ABC的面积？
5．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
6．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
8．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的数量关系，并说明理由．
9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求DE的长；
（2）求AB的长．
11．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，求△BCE的面积．
12．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，求∠PCA的大小．
13．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
14．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC．
求证：AD平分∠BAC．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．
（1）求线段CD的长；
（2）求△ADE的面积．
16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
17．如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD是∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，AD和BE相交于点F．
（1）连接DE，求∠CDE的度数；
（2）求证：AF＝2DB．
18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，
①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．
②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
19．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD＝AC．
20．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
参考答案
1．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，
∴×8×DE+×8×DF＝28，
∴8DE＝28．
∴DE＝3.5．
2．（1）证明：过点M做MN⊥AB，
由题意可得：∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴MC＝MN（角平分线上的点到角的两边距离相等），
则MC的长度就等于点M到AB的距离．
（2）解：由题意知：∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴∠AMB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
3．（1）证明：
过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴＝∠DEB+∠ABC，
∴∠DEB＝（∠CDA﹣∠ABC）＝∠BAD＝30°．
4．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝1，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝1，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×1
＝×20×1＝10，
5．证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，
∵BE平分∠ABC，点P在BE上，
∴PD＝PM，
同理，PM＝PN，
∴PD＝PN，
∴点P在∠A的平分线上．
6．证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠BAC的平分线AD上，
∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，
∴PM＝PN，
∴PQ＝PN，
∴点P在∠C的平分线．
7．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB×DE+AC×DF
∴S△ABC＝（AB+AC）×DE，
即×（16+12）×DE＝28，
∴DE＝2（cm）．
8．解：AE与FG之间的数量关系是相等．
理由：∵CF平分∠ACB，FA⊥AC，FG⊥BC
∴FG＝FA
∵∠AFC+∠ACF＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，且∠ACF＝∠ECD
∴∠AFC＝∠DEC
∵∠AEF＝∠DEC
∴∠AFC＝∠AEF
∴AE＝FA
∴AE＝FG．
9．（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC．
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝27°．
10．解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵CD＝3，
∴DE＝3；
（2）∵BC＝8，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝5，
∵△ADB的面积为S△ADB＝DB AC＝×5×6＝15，
∴S△ADB＝AB DE＝×AB×3＝15，
∴AB＝10．
11．解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5．
12．解：∵PA⊥ON，PB⊥OM
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
在RT△AOP和RT△BOP中
OP＝OP，PA＝PB
∴RT△AOP≌△BOP（HL）
∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝25°
∴∠PCA＝∠AOP+∠OPC＝25°+30°＝55°．
13．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴BP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
14．解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF＝CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD＝∠EAD，所以AD平分∠BAC．
15．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴DH＝DC＝x，
则AD＝3﹣x．
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴，即CD＝；
（2），
∵BD＝2DE，
∴，
∴．
16．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
17．（1）解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴DE为直角△BCE的斜边上的中线，
∴DC＝DE，
∴∠C＝∠DEC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠CDE＝∠BAC＝45°；
（2）证明：∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴AE＝BE，
∵∠EAF+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBE，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF＝BC，
而BD＝CD，
∴AF＝2BD．
18．解：①相等，
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°，
∴∠NFE＝15°，
∴∠NEF＝75°＝∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
，
∴△DMF≌△ENF（AAS），
∴FE＝FD；
②成立．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC＝60°，
∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，
∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°．
又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM＝∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE＝FD．
19．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE，
同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE+CE，
∴AB+CD＝AC．
20．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．