2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》同步达标测试（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-3线段的垂直平分线》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，点F，G在BC上．若∠GAF＝46°，则∠M的度数为（　　）
A．67° B．65° C．55° D．45°
2．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　）
A．168° B．158° C．128° D．118°
3．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．80°
5．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（　　）
A．25° B．45° C．50° D．70°
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．如图，△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC的度数为 　 　．
9．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于　 　．
10．如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC垂足为E，CD，BE交于点F，DF＝2，则BE＝　 　．
11．如图，点D、E是△ABC的边BC上的点，且∠AED＝n°，∠CAD：∠DAE：∠BAE＝1：3：2，若点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上，则n＝　 　．
12．已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝　 　．
13．如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与∠MON的两边相交于B、C，P为BC中点，过P作BC的垂线交射线OA于点D，若∠MON＝115°，则∠BDC的度数为　 　度．
14．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　 　°．
三．解答题（共7小题，满分50分）
15．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N的距离分别相等（保留作图痕迹）．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．
17．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D．
（1）过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
18．如图，△OBC中，BC的垂直平分线DP交∠BOC的平分线于D，垂足为P．
（1）若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；
（2）若∠BOC＝α，求∠BDC．
19．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．
20．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
21．已知，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点D，交直线BC于点E．MN垂直平分AC，垂足为点M，交直线BC于点N，连接AE，AN．
（1）如图①，若∠BAC＝100°，求∠EAN的大小；
（2）如图②，若∠BAC＝70°，求∠EAN的大小；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），用含α的式子表示∠EAN的大小（直接写出结果即可）．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：∵AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，
∴AF＝BF，AG＝CG，
∴∠BAF＝∠B，∠CAG＝∠C，
又∵∠GAF＝46°，
∴∠BAF+∠CAG＝＝67°，
∴∠BAC＝67°+46°＝113°，
又∵∠ADM+∠AEM＝180°，
∴∠M＝180°﹣113°＝67°，
故选：A．
2．解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠ECD＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC，
设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，
∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，
故选：C．
3．解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB＝（AC PN）：（AB PM）＝AC：AB；故②正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
故选：D．
4．解：连接OA，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，
即∠BAC＝50°，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°，
故选：C．
5．解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
6．解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
7．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣25°×2＝70°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝25°，
∴∠ACF＝70°﹣25°＝45°，
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．解：连接AD，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°，
∵点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，
∴DA＝DB，DA＝DC，
∴∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，
∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝∠BAC＝80°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBA+∠DCA）＝100°﹣80°＝20°，
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，
故答案为：160°．
9．解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
则△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝8，
故答案为8．
10．证明：连接BC，
∵点D是AB中点且CD⊥AB于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
同理BA＝BC，
∴AC＝AB．
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，BE＝CD，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，
在Rt△BFD中，BF＝2DF，
∵在Rt△ADC中，∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴CF＝BF＝2DF＝4，
∴BE＝CD＝6，
故答案为：6．
11．解：∵∠CAD：∠DAE：∠BAE＝1：3：2，
∴设∠CAD＝x°，∠DAE＝3x°，∠BAE＝2x°，
∵点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上，
∴AD＝CD，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAD＝x°，∠B＝∠BAC＝2x°，
∵∠C+∠B+∠CAB＝180°，
∴x+x+3x+2x+2x＝180，
解得：x＝20，
∴∠C＝∠CAD＝20°，∠DAE＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝180°﹣20°﹣（20°+60°）＝80°，
即n＝80，
故答案为：80．
12．解：连接PB，PC，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，
∴∠APE＝∠APF，
∴AE＝AF，
在Rt△PBE和Rt△PCF中，
，
∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），
∴BE＝CF，
∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，
∴AB＝AC+CF+BE，
∵AB＝8，AC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴AE＝AC+CF＝6．
故答案为：6．
13．解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，
则∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°，
∵∠MON＝115°，
∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣115°＝65°，
∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，
∴DE＝DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠BDF+CDF＝∠BDF+∠EDB＝∠EDF＝65°．
故答案为：65．
14．解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
三．解答题（共5小题，满分50分）
15．解：点P就是所求的点．
如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分
16．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH＝90°，∠ACH+∠ADH＝90°，
∴∠DAH＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，BE∥AC，
∴∠CAD＝∠ABE＝90°．
又∵AB＝CA，
∴在△ABE与△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（ASA），
∴AD＝BE，
又∵AD＝BD，
∴BD＝BE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，AB＝AC，
故∠ABC＝45°．
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝90°，∠EBF＝90°﹣45°＝45°，
∴△DBP≌△EBP（SAS），
∴DP＝EP，
即可得出BC垂直且平分DE．
17．（1）证明：作PE⊥AC于点E，连接PB、PC，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE，
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP，
∴AD＝AE，
∴AD+6＝10﹣AD，
解得，AD＝2（cm）．
18．解：（1）过点D作DE⊥OB，交OB延长线于点E，DF⊥OC于F，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠EOF+∠EDF＝180°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠BDC＝∠EDF＝120°．
（2）∵∠EOF+∠EDF＝180°，
∵∠BOC＝α，
∴∠BDC＝∠EDF＝180°﹣α．
故答案为：180°﹣α．
19．（1）证明：连接AC，
∵M是CD的中点，AM⊥CD，
∴AM是线段CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，又AM⊥CD，
∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；
（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，
∠BAD＝2∠MAN＝140°，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝20°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．
20．证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
21．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α﹣180°．