必修一：函数与方程1（函数零点）
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课件22张PPT。欢迎走进数学殿堂 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 早在16世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了…直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解问题·探究我的根是0.5我的根是3和-1我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！！！方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y= x2－2x－3y= x2－2x+1函数函
数
的
图
象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象
与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0y= x2－2x+3问题2：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.
问题3:从该表你可以得出什么结论？问题4： 若将上面特殊的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)推广到一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以a>0为例）判别式△ =
b2－4ac△＞0△=0△＜0函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象函数的图象
与 x 轴的交点(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根两个不相等
的实数根x1 、x2有两个相等的
实数根x1 = x2没有实数根结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．问题5:其他函数y=f(x)与相应方程f(x)=0之间也有类似的结论吗？举例说明！方程f(x)=0的实数根?函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标
一.函数零点的定义：问题6:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系和区别？ 方程f(x)=0的实数根?函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标f(x0)=0 (x0,0)思考1：知道了问题6后，大家来想想求函数的零点有哪几种方法 ？ 2、区别：1、联系：①数值上相等
②存在性相同：函数y=f(x)有零点
? 方程f(x)=0有实数根
? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点零点对于函数而言，根对于方程而言．问题6:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系和区别？ 代数法图像法例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （ ）
A．(0，0)，(2，0) B．0，2 C．(–2，0)，(0，0)，(2，0) D．–2，0，2
函数的零点是实数，而不是点。D例题讲解我的零点是-1和3我的零点是10不好意思，我没有零点，你答对了吗？问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 即兴应用问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ ①哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？(1)(2)②将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？③如何用代数形式来描述呢？A、B在x轴的异侧时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点！一、观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． －1－45<3<体验成功二、观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；有<有<有<三、若函数f(x)=x-1, f(-1)·f(1)_____0(“＜”或“＞”)．在区间定义域D上______(有/无)零点；< 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。二.函数零点存在性定理：问题8：思考并辨析下列问题 （5）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？（1）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？（2）如果把结论中的条件“f(a) · f(b)＜0’’去掉呢？（3）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a) · f(b)<0的结论吗？（6）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？（4）为什么是开区间（a,b）内有零点，而不是闭区间[a,b]上有零点？例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.等价于定理应用由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。解法2-4-1.31.13.45.67.810.012.114.2思考2：如何说明函数零点的个数？思考3：如何说明函数在(0,+∞)内是增函数？解法3：例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。方程lnx+2x－6=0根的个数方程lnx=-2x+6根的个数函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数等价于等价于等价于一个定义： 函数的零点两个数学思想：函数与方程、数形结合的思想三种方法：判断函数零点是否存的方法小结提高问题9：通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？ 一个定理：零点存在定理三个等价关系：2．我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6的唯一零点在
（2，3）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？课后探究:作业：1. 在同一坐标系下作下列函数图象，你发现了什么？留有余味谢谢大家！
数
的
图
象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象
与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0y= x2－2x+3问题2：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.
问题3:从该表你可以得出什么结论？问题4： 若将上面特殊的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)推广到一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以a>0为例）判别式△ =
b2－4ac△＞0△=0△＜0函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象函数的图象
与 x 轴的交点(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根两个不相等
的实数根x1 、x2有两个相等的
实数根x1 = x2没有实数根结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．问题5:其他函数y=f(x)与相应方程f(x)=0之间也有类似的结论吗？举例说明！方程f(x)=0的实数根?函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标
一.函数零点的定义：问题6:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系和区别？ 方程f(x)=0的实数根?函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标f(x0)=0 (x0,0)思考1：知道了问题6后，大家来想想求函数的零点有哪几种方法 ？ 2、区别：1、联系：①数值上相等
②存在性相同：函数y=f(x)有零点
? 方程f(x)=0有实数根
? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点零点对于函数而言，根对于方程而言．问题6:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系和区别？ 代数法图像法例1：函数f(x)=x(x2－4)的零点为 （ ）
A．(0，0)，(2，0) B．0，2 C．(–2，0)，(0，0)，(2，0) D．–2，0，2
函数的零点是实数，而不是点。D例题讲解我的零点是-1和3我的零点是10不好意思，我没有零点，你答对了吗？问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 即兴应用问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ ①哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？(1)(2)②将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？③如何用代数形式来描述呢？A、B在x轴的异侧时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点！一、观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． －1－45<3<体验成功二、观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；有<有<有<三、若函数f(x)=x-1, f(-1)·f(1)_____0(“＜”或“＞”)．在区间定义域D上______(有/无)零点；< 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。二.函数零点存在性定理：问题8：思考并辨析下列问题 （5）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？（1）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？（2）如果把结论中的条件“f(a) · f(b)＜0’’去掉呢？（3）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a) · f(b)<0的结论吗？（6）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？（4）为什么是开区间（a,b）内有零点，而不是闭区间[a,b]上有零点？例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.等价于定理应用由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。解法2-4-1.31.13.45.67.810.012.114.2思考2：如何说明函数零点的个数？思考3：如何说明函数在(0,+∞)内是增函数？解法3：例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。方程lnx+2x－6=0根的个数方程lnx=-2x+6根的个数函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数等价于等价于等价于一个定义： 函数的零点两个数学思想：函数与方程、数形结合的思想三种方法：判断函数零点是否存的方法小结提高问题9：通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？ 一个定理：零点存在定理三个等价关系：2．我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6的唯一零点在
（2，3）内，那么该如何进一步求此零点的值呢？课后探究:作业：1. 在同一坐标系下作下列函数图象，你发现了什么？留有余味谢谢大家！