2021-2022学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
当函数是二次函数时，的取值为
A. B. C. D.
掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“”的概率为
A. B. C. D.
随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是元，现在生产一台扫地机器人的成本是元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为，则下面所列方程正确的是
A. B.
C. D.
已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有
A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值
如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为
A. B. C. D.
如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么相邻两树在坡面上的距离为
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线若，则的取值范围是
A. B.
C. D. 或
如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以、为邻边作 ，连结，则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
已知二次函数，则其图象的开口向______填“上”或“下”
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
下列事件：长春市某天的最低气温为；人们外出旅游时，使用手机购买景点门票；在平面内任意画一个三角形，其内角和等于，其中是随机事件的是______只填写序号．
如图，在中，，垂足为若，，，则的值为______．
如图，在中，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；分别以点和点为圆心、大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；作射线交边于点若∽，则的大小为______度．
在平面直角坐标系中，二次函数的图象关于直线对称．若当时，有最大值，最小值，则的取值范围是______．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）
解方程：．
在课堂上，老师将除颜色外其余均相同的个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学参与摸球试验，每人每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，如表是试验得到的一组数据．
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
估算口袋中白球的个数为______个．
在的条件下，小明从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图或列表的方法，求小明两次摸出的小球颜色不同的概率．
已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
在图中作的中位线，使点、分别在边、上．
在图中作线段，使，，点、分别在边、上．
某数学兴趣小组本着用数学知识解决问题的想法，来到“党史”教育基地，准备测量四平烈士塔的高度如图，小组数学报告得出如下信息：如图，测角仪竖直放在距烈士塔底部的位置，在处测得塔尖的仰角为，测角仪的高度是请你结合，上述信息计算四平烈士塔的高度精确到【参考数据：，，】
观察下面的表格：
______ ______
______
求、、的值，并在表内的空格中填上正确的数．
设，当时，的取值范围为______．
北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米．
求小山坡最高点到水平线的距离．
求抛物线所对应的函数表达式．
当运动员滑出点后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？
在同一平面内，如图，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点为公共顶点，如图，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、点不与点重合，点不与点重合．
【探究】求证：∽．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为．
的值为______．
若，则的长为______．
如图，在 中，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动点不与点、、重合在点的运动过程中，过点作所在直线的垂线，交边或边于点，以为一边作矩形，且，与在的同侧．设点的运动时间为秒．
的值为______．
求线段的长．用含的代数式表示
当时，求的面积．
连结当点或点落在上时，直接写出的值．
在平面直角坐标系中，、为抛物线上两点．
求抛物线与轴的交点坐标．
记抛物线与轴交点分别为、点在点左侧，设点在此抛物线的对称轴上，若四边形为平行四边形，求的值．
点、在抛物线上运动，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，当为等腰直角三角形时，求的值．
记抛物线在、两点之间的部分为图象包含、两点，设图象最低点的纵坐标为当时，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次函数定义可得，再解即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
2.【答案】
【解析】解：因为抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，
因此掷得“”的概率是．
故选：．
先弄清正方体骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出掷得“”的概率．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3.【答案】
【解析】解：设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选：．
等量关系为：两年前的生产成本年平均下降率现在的生产成本，把相关数值代入即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
4.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，顶点坐标为，
二次函数最大值为．
故选：．
抛物线开口向下，则顶点纵坐标为函数最大值．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
5.【答案】
【解析】解：公路，互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，
即，两点间的距离为，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在中，米，，
，
，
故选：．
根据正切的定义计算，判断即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：抛物线经过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点为，
由图象可知，时，的取值范围是或．
故选：．
由抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一交点为，根据图象可得出答案．
本题考查了二次函数与轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设与交于点，作于．
在中，，
，，
∽，
，
，
，
当与重合时，的值最小，的最小值．
故选：．
设与交于点，作于首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值．
本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
9.【答案】上
【解析】解：，
，
抛物线开口向上，
故答案为：上．
据二次项系数得出抛物线的开口方向．
此题考查二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得，即，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11.【答案】
【解析】解：长春市某天的最低气温为，是不可能事件，故此选项不合题意；
人们外出旅游时，使用手机购买景点门票，是随机事件，符合题意；
在平面内任意画一个三角形，其内角和等于，是必然事件，故此选项不合题意；
故答案为：．
直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
由勾股定理可得，
，
故答案为：．
根据三角函数求出的值，进而求出，利用勾股定理求出即可求出的值．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握三角函数及勾股定理的知识是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
，
∽，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
先利用基本作图得到平分，所以，再根据相似三角形的性质得到，则，然后根据三角形内角和求的度数．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
14.【答案】
【解析】解：二次函数的图象关于直线对称，
，
，
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，最小值，
令，
解得：或，
的取值范围是，
故答案为：．
由二次函数的对称轴求出的值，把一般式化为顶点式，即可求出当时，有最小值，把代入即可求出的值，即可求得的取值范围．
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键．
15.【答案】解：，，，
，
，
，．
【解析】根据公式法，可得方程的解．
本题考查了解一元二次方程，熟记公式是解题关键，要用根的判别式判断根的情况．
16.【答案】
【解析】解：又表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在，
故个，
答：口袋中白球的个数约为个，
故答案为：；
画树状图得：
共有种等可能的结果，两次都摸到白球的有种情况，
小明两次摸出的小球颜色不同．
直接利用表格中数据估算出得到白球的频率，进而得出答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：二次函数的图象经过点、，
解得，
这个二次函数的表达式为．
【解析】把点、代入二次函数关系式，即可求出、的值即可确定关系式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18.【答案】解：如图中，线段，即为所求；
如图中，线段即为所求．
【解析】作出的中点，的中点，连接，线段即为所求；
在上找一点，使得，在上找一点，使得，连接，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
19.【答案】解；如图，过点作，垂足为，
则，，
在中，，
，
．
答：四平烈士塔的高度约为．
【解析】根据题意，作辅助线，然后根据锐角三角函数可以得到的长，从而可以求得的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】 全体实数
【解析】解：由题意得，，
解得：，
，
解得：，
故答案为：，，；
，
取全体实数，的值均大于，
故答案为：全体实数．
把代入，即可求出的值，把，和，代入，解二元一次方程组，即可求出，的值；
把化成顶点式，即可求出时，的取值范围．
本题考查了二次函数的性质及配方法的应用，利用待定系数法求出，，的值是解题的关键．
21.【答案】由，
当时，有最大值为．
小山坡最高点到水平线的距离为米；
把、代入，
得
解得
抛物线所对应的函数表达式；
设运动员运动的水平距离是米，此时小山坡的高度是，运动员运动的水平高度是，
，解得或舍去，
答：运动员运动的水平距离为为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米．
【解析】由抛物线的解析式得出最大值即可；
把、代入可得抛物线所对应的函数表达式；
根据纵坐标的差为，列出方程可得答案．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
22.【答案】
【解析】【探究】为等腰直角三角形，，
，
同理，，
，
，
，
∽；
【应用】等腰直角三角形的斜边长为，
，
∽，
，
，
，
故答案为：；
，
，
，
，
，
故答案为：．
【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；
【应用】首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由∽，得，则；
由，得，由知，得，从而得出答案．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，
故答案为：；
如图中，当时，
，
，
，
如图中，当时，
，
，
，
．
综上，当时，；当时，．
当时，，，
．
当点在线段上，如图，
，
在中，，，
则，
由矩形的性质可知，，，
又，
，
：：，即：：，解得；
当点在线段上，如图，
在中，，
由矩形的性质可知，，，
又，
：：，即：：，解得；
综上，或．
在中，利用勾股定理可求出的长，再利用正切的定义可求解．
分两种情形求解即可如图中，当时，如图中，当时；
当时，点在线段上，可求出的长，根据三角形的面积公式求解即可；
分两种情形分别求解即可，当点在线段上．当点在线段上．
本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：由得，．
抛物线与轴的交点坐标为、；
由，得抛物线的对称轴为直线，
点在此抛物线的对称轴上，
，
抛物线与轴的交点坐标为、，
，
四边形为平行四边形，
．
，
；
把代入得，
把代入得，
为等腰直角三角形，，
．
，
，
或，
或，
或；
在中，令得：，解得或，
在中，令得：，解得或，
如图：
在、两点之间的部分图象最低点的纵坐标为，，
或，
即或．
【解析】由得，即得抛物线与轴的交点坐标为、；
由得抛物线的对称轴为直线，即知，而，根据四边形为平行四边形，有，故，即得；
根据为等腰直角三角形可得，即得或，解得或；
在中，令得：，解得或，令得：，解得或，数形结合可得或，故或．
本题考查二次函数综合应用，涉及等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是根据题意列出关于的方程或不等式．
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