18.2.2 矩形的判定 课件（共28页）

(共28张PPT)
人教版八下数学
第2课时 矩形的判定
精品同步教学课件
18.2 特殊的平行四边形
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
问题引入
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
问题引入
由对角线的关系判定矩形
1
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不
仅要测量两组对边的长度是否分别相等，
常常还要测量它们的两条对角线是否相等，
以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？
思考
自主学习
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
自主学习
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
自主学习
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
例 1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴oa=oc= ac，OB=OD= BD.
又 OA=OD， ∴ AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠DAB=90°.
又∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°.
解：
典例分析
1.
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
△OAB是等边三角形，且AB=4.
求 ABCD的面积.
课堂练习
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，OB＝OD.
又因为△OAB是等边三角形，所以OA＝OB＝AB.
所以OA＝OB＝OC＝OD.所以AC＝BD，
所以 ABCD是矩形．
又因为AB＝4，所以AC＝8，
所以BC＝
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝4×
解：
课堂练习
2.
如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　)
A．AB＝BC
B．AO＝BO
C．∠1＝∠2
D．AC⊥BD
B
课堂练习
3.如图 ， ABCD中, ∠1= ∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,DO=BO.
又∵∠1= ∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
课堂练习
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
由直角的个数判定矩形
2
自主学习
已知：如图所示，在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC， AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=90°. ∴ ABCD是矩形.
证明：
自主学习
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
自主学习
例2
导引：
如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于
点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.
要证明四边形EFGH是矩形，
由于已知ABCD的四个内角
的平分线分别相交于点E，F，
G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是
矩形”来证明．
典例分析
证明：
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD
＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.
∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
典例分析
1.
如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(　　)
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB＝DC
C
课堂练习
2.
已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(　　)
A．∠BAC＝∠DCA
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠ADB
C
课堂练习
3.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
×
×
×
×
√
√
√
√
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
课堂练习
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
课堂练习
5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴平行四边形NDMB为矩形．
课堂练习
矩形的判定方法
1. 有一个角是直角的平行四边形
2. 对角线相等的平行四边形
3. 有三个角是直角的四边形
矩形.
矩形的判定方法：
矩形.
矩形.
解：它是一个矩形. 理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD.
∵∠1=∠2，∴OB=OC.
∴AO=OC=BO=OD. ∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相
交于点O，且∠1=∠2．它是一个矩形吗？为什么？
备选习题
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形．
已知：如图，在四边形ABDC中，∠A=∠B=∠C=∠D.求证：四边形ABDC是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形ABDC是矩形.
备选习题
3.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长
木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到
矩形踏板．为什么？
解：根据两组对边分别平行得到的是
平行四边形，又因为锯线与长边垂直，
得到一角为直角，因此能得到矩形踏板.
备选习题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php