18.2.3 菱形及其性质 课件（共29页）

(共29张PPT)
人教版八下数学
精品同步教学课件
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 菱形及其性质
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
菱形的定义
1
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
菱形
邻边相等
问题引入
有一组 的 叫做
邻边相等
平行四边形
A
D
C
B
∵四边形ABCD是平
行四边形
AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
菱形.
自主学习
例 1
已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB
于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于
点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？
因为DE∥FC，DF∥EC，所
以四边形DECF为平行四边
形，再根据有一组邻边相等
的平行四边形是菱形求证即可．
导引：
典例分析
四边形DECF是菱形．理由如下：
∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形．
由AC∥DE，知∠2＝∠3.
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，
∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平
行四边形是菱形)．
解：
典例分析
1.
如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是(　　)
A．AD⊥BC
B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝DC
D．AD＝BD
B
课堂练习
菱形的边的性质
2
菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形
还具有哪些特殊性质呢 根据菱形的轴对称性，你
发现菱形的四条边具有什么大小关系
问 题
菱形的四条边都相等.
自主学习
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AB = BC = CD =AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
自主学习
例2
如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、
AF，则△AEF的周长为( )
A． B．
C． D．3
在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则
△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，
所以AE垂直于BC，因此AE＝ ，所以
△AEF的周长为 ，故选B.
B
分析：
典例分析
1.
边长为3 cm的菱形的周长是(　　)
A．6 cm B．9 cm
C．12 cm D．15 cm
C
课堂练习
菱形的对角线的性质
3
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行
四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系
自主学习
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证: AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
自主学习
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
自主学习
问 题
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法：
一种是底乘以高的积；
另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积
时，要灵活运用使计算简单.
自主学习
例 3
导引：
由于菱形的四条边都相等，
所以要求其周长就要先求
出其边长．由菱形的性质
可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角
三角形中利用勾股定理来进行计算．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．
典例分析
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得AB＝
∴菱形的周长＝4AB
解：
典例分析
典例分析
例4
如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小
路AC和BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后
两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
典例分析
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
在Rt△OAB中，AO = AB = ×20=10，
∴花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)，
BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m).
花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB
= AC·BD=200 ≈346. 4 (m2).
解：
典例分析
归 纳
菱形的面积有三种计算方法：
(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；
(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；
(3)两条对角线乘积的一半．
自主学习
1.
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于
点O，且AB = 5，AO = 4. 求AC和BD的长.
如图所示，因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.
又因为AB＝5，AO＝4，
所以在Rt△AOB中，OB＝
所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.
解：
课堂练习
2.
已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由题意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝
又因为AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，
菱形的面积为 AC·BD＝ ×8×6＝24.
解：
课堂练习
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为(　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．14 cm
D．20 cm
3.
D
课堂练习
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
课堂练习
5.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
课堂练习
菱形及其性质
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2．菱形的性质：
(1)它具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形的四条边相等.
(3)菱形的对角线互相垂直， 并且一条对角线平分
一组对角.
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