万有引力典型习题
一、开普勒三定律
1．地球位于火星与太阳之间且三者在同一直线上时称为“火星冲日”。已知地球绕太阳做圆周运动的周期为T，火星绕太阳做圆周运动的轨道半径为地球绕太阳做圆周运动的轨道半径的n倍。则相邻两次“火星冲日”的时间差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由公式
且依题意有
解得
故选B。
2．金星在中国古代有不同称谓：清晨叫做“启明星”；傍晚称为“长庚星”。将金星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，当金星处于太阳和地球连线之间时，称为“金星下合日”。已知金星的轨道半径为r1＝1.08×1011 m，地球的轨道半径为r2＝1.5×1011 m；已知地球公转周期为1年，＝1.12，＝1.84。则连续两次“金星下合日”的时间间隔比较接近（ ）
A．0.61年 B．1.6年 C．2年 D．2.6年
【答案】B
【详解】
根据开普勒第三定律可知
金星与地球的周期之比为
则有金星的周期为
T1=0.61年
设经过时间t两星又一次距离最近，则
解得
t=1.56年
故选B。
3．把行星运动近似看做匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝，m为行星质量，则可推得（ ）
A．行星受太阳的引力为F＝k
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力为F＝k
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
【答案】C
【详解】
行星受到的太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，由向心力公式可知
又因为
v＝
代入上式得
F＝
由开普勒第三定律
得
代入上式得
则行星受太阳的引力与行星的质量以及行星距离太阳的距离都有关，质量越大的行星受太阳的引力不一定越大；故C正确，ABD错误。
故选C。
4.2018年2月6日,某重型火箭将一辆跑车发射到太空.图甲是跑车和Starman(宇航员模型)的最后一张照片,它们正在远离地球,处于一个环绕太阳运行的椭圆形轨道上(如图乙).若该车在远日点距离太阳大约为3.9亿千米,地球和太阳之间的平均距离约为1.5亿千米.试估算跑车的环绕运动周期(可能用到的数据:)( )
A.约15个月 B.约29个月 C.约39个月 D.约59个月
答案：B
解析：跑车运动轨道的半长轴为,地球的公转周期为12个月,由开普勒第三定律得,解得个月,B正确,A、C、D错误.
5.2020年3月9日，北斗54号卫星“吉星”入轨，离北斗全球组网成功仅一步之遥。在疫情防控期间，北斗导航系统在精准排查、智慧物流中都发挥了重要作用。“吉星”为地球同步卫星，轨道半径为地球半径的6.6倍。另有一颗地球极地轨道卫星“小哲”，轨道半径为地球半径的3.17倍。已知，则( )
A．公转线速度大小，“小哲”约为“吉星”的2倍
B．公转角速度大小，“小哲”约为“吉星”的2倍
C．公转向心加速度大小，“小哲”约为“吉星”的3倍
D．公转周期，“小哲”约为“吉星”的倍
答案：D
解析：根据开普勒第三定律及相关规律，得线速度，所以约为倍，A错；角速度，所以约为3倍关系，B错；向心加速度，所以C错误。开普勒第三定律可得D正确。
二、同步卫星
6．有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b在地球的近地圆轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是（ ）
A．向心加速度大小关系是：，速度大小关系是：
B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等
C．c在4小时内转过的圆心角是 ，a在2小时内转过的圆心角是
D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定大于24小时
【答案】BD
【详解】
A．c为同步地球卫星，周期与地球自转周期相同，角速度相同，根据
c的向心加速度大于a，由牛顿第二定律得
所以半径越大加速度越小所以
根据天体运动线速度
因此
a和c同轴转动，半径越大线速度越大
故A错误；
B．由万有引力提供向心力
解得
卫星b半径最小，速度最大，相同时间转过得弧长最长，a和c角速度相同，相同时间内转过的角度相同，故B正确；
C．同步卫星的周期为24小时，则4小时内转过的角度为，地球在2小时内转过的角度为，故C错误；
D．由万有引力提供向心力可得
解得
d的周期大于c的周期，则d的周期大于24h，b的周期一定小于d的周期，故D正确。
故选BD。
7．关于地球同步卫星，下列说法正确的是（ ）
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、速度大小不一定都相同
C．我国发射的同步通讯卫星可以定点在北京上空
D．我国发射的同步通讯卫星必须定点在赤道上空
【答案】AD
【详解】
AB．所有地球同步卫星的周期与地球自转周期都相同，故A正确，B错误；
CD．地球同步卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，万有引力指向球心，所以同步卫星一定在赤道正上方，故D正确，C错误。
故选AD。
8．2020年我国“北斗”系统实现在全球范围内提供服务。现北斗系统中有一颗地球同步卫星A，离地面的高度为5.6R，某时刻与离地面高度为2.3R的地球空间站B相隔最近。已知地球半径为R，地球自转周期为24h，卫星A和空间站B的运行轨道在同一平面内且运行方向相同。则下列说法正确的是（ ）
A．卫星A和空间站B所在处的加速度大小之比
B．卫星A和空间站B运行的线速度大小之比
C．再经过24小时，卫星A和空间站B又相隔最近
D．卫星A想实现和空间站B对接，只需对卫星A向后喷气加速即可
【答案】B
【详解】
根据万有引力提供向心力
可得
，，
由题可知
，
A．根据以上分析，则卫星A和空间站B所在处的加速度大小之比
故A错误；
B．根据以上分析，卫星A与空间站B运行的线速度大小之比
故B正确；
C．根据以上分析，卫星A与空间站B运行的周期大小之比
地球自转周期为，地球同步卫星A的周期，所以空间站B的周期，所以再经过，卫星A和空间站B不会相隔最近，故C错误；
D．同步卫星A在高轨道，空间站B在低轨道，卫星A想实现和空间站B对接，只需卫星A制动减速，从高轨道变到低轨道，故D错误。
故选B。
9.利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯,目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍,假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为( )
A. B. C. D.
.答案：B
解析：设地球半径为,画出仅用三顆地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图,如图所示。由图中几何关系可得,同步卫星的最小轨道半径。
设地球自转周期的最小值,此时卫星轨道半径,又因为,所以,B正确。
10、为了实现除地球极地等少部分地区外的“全球通信”,理论上须发射三颗通信卫星,使它们均匀地分布在同步卫星轨道上。假设地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,同步卫星所在轨道处的重力加速度为g′,则三颗卫星中任意两颗卫星间直线距离为( )
A. B. C. D.
解析： 试题分析:根据万有引力提供向心力得: ,解得 :
根据地球表面处万有引力等于重力得: 得:GM=gR 2
根据几何关系得: .根据同步卫星处万有引力等于重力得: , 由于GM=gR 2,可得
所以 ,故选:B.
11.地球自转正在逐渐变慢，据推测10亿年后地球的自转周期约为32 h。若那时发射一颗地球的同步卫星A，与目前地球的某颗同步卫星B相比，以下说法正确的是(假设地球的质量不变)( )
A. 同步卫星A与同步卫星B的轨道半径之比
B.同步卫星A与同步卫星B的向心加速度之比
C. 同步卫星A与同步卫星B的线速度之比
D. 同步卫星A与同步卫星B的的线速度之比
.答案：BC
解析：由万有引力提供向心力可知，，得
，选项A错误;因为，所以选项B正确;因为,所以，选项C正确，选项D错误。
对C: ,移项化简得，由于都在点，轨道高度是相同的，所以是相同的，所以C错误。
对D: ,移项化简得，由于都在点,轨道高度是 相同的，所以是相同的，所以D正确。
三、天体质量计算公式
12．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为（地球自转周期），一年的时间为（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为，地球中心到太阳中心的距离为。下列说法正确的是（ ）
A．由以上数据不能求出地球的质量
B．由以上数据不能求出太阳的质量
C．由以上数据不能求出月球的质量
D．由题中数据可求月球的密度
【答案】C
【详解】
A．若不考虑地球自转，根据重力与万有引力的关系，有
G= mg
则
M地 =
A错误；
B．根据太阳对地球的万有引力提供向心力使地球公转，有
G= m地L2
则
M太 =
B错误；
CD．由题知月球在本题中属于环绕天体，则由题中数据无法求出月球质量，从而无法求出月球密度，C正确、D错误。
故选C。
13．已知地球的半径为R，月球的半径为r，地球表面的重力加速度为月球表面重力加速度的6倍，月球的密度与地球的密度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
在地球表面，重力加速度
地球的体积
地球密度
联立三式可解得
同理可得月球密度表达式为
代入题中数据，可得
故选B。
14．我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，“嫦娥1号”探月卫星也已发射。设想嫦娥1号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，飞船发射的月球车在月球软着陆后，自动机器人在月球表面竖直向上以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀，则月球的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
竖直上抛，根据对称性有
月球表面的物体有
联立解得
故选A。
四、双星，双星的周期，双星的总质量
15．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RAA．星球A所受的向心力大于星球B所受的向心力
B．星球A的向心加速度大于星球B的向心加速度
C．星球A和星球B的质量之和为
D．由已知条件可以分别算出星球A和星球B的质量
【答案】D
【详解】
A．双星靠相互间的万有引力提供向心力，知向心力大小相等，故A错误；
B．双星的角速度相等，且RACD．双星A、B之间万有引力提供向心力，有
其中
联立解得
，，
故C错误，D正确。
故选D。
16．以两天体A、B中心连线为底的等边三角形的第三个顶点被称为“三角拉格朗日点”，如果在该点有一颗质量远小于A、B的卫星C，则三者可以组成一个稳定的三星系统，如图所示。由于C对A、B的影响很小，故A、B又可视作双星系统绕连线上某定点P（未画出）做匀速圆周运动。已知天体A、B、C的质量分布均匀，且分别为m1、m2、m3，已知m1=2m2，两天体A、B中心间距为L，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．天体A做匀速圆周运动的轨道半径为
B．天体A、B所需要的向心力大小之比为2：1
C．卫星C所受合力恰好指向P点
D．卫星C的周期为
【答案】CD
【详解】
ABD．由于A、B可视作双星系统绕，万有引力提供向心力得
又
m1=2m2，
联立解得
，
故AB错误，D正确；
C．由于C质量远小于A、B的质量，对它们共同环绕点的影响可以忽略不计，即卫星C所受合力指向P点。故C正确。
故选CD。
17．双星由两颗绕着共同的点旋转的恒星组成。对于其中一颗来说，另一颗就是其“伴星”。如果甲、乙两颗星体质量分别为、，它们之间的距离为L，甲、乙离其他天体十分遥远不受其他天体的作用，它们绕连线上一点O以相同的角速度做匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G。求：
(1)甲做圆周运动的轨道半径。
(2)双星做圆周运动的周期T。
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)根据双星特点，具有相同角速度，则根据万有引力提供向心力有
并且
解得
(2)根据万有引力提供向心力有
即
两式相加得
解得
18.2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约时，它们相距约，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
.答案：BC
解析：合并前约时，两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为，两中子星的角速度均为。两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质 量分别为，轨道半径分别为，速率分别为，则有：，又，解得,质量之和可求，A错误，B正确。又由,则，速率之和可求，C正确.由题中的条件不能求解出两中子星自转的角速度，D错误。
19.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示,某双星系统中两颗天体绕点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比,则两颗天体的（ ）
A. 质量之比
B.角速度之比
C.线速度大小之比
D.向心力大小之比
答案：A
解析：双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同， 两者之间的万有引力提供向心力，,所以，选项A正确，B、D错误；由可知，线速度大小之比,选项C错误。
五、万有引力之-剥洋葱
20．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有，由于地球的质量为，所以重力加速度的表达式可写成：．根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度，所以有，故B正确；
【点睛】
抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在矿井底部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量．
21．设地球是一质量分布均匀的球体，O为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四个图中，能正确描述x轴上各点的重力加速度g的分布情况的是( )．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：，由于地球的质量为M=πR3ρ，所以重力加速度的表达式可写成： ．根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为R-r的井底，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力， ；当r＜R时，g与r成正比，当r＞R后，g与r平方成反比，故A正确，BCD错误。
故选A．
22．若地球是质量均匀分布的球体，其质量为M0，半径为R。忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。
（1）用题目中的已知量表示图中的g0；
（2）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球内部，重力加速度与r成正比；
（3）若将物体从2R处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题图像，求这个物体到达地表时的速率。
【答案】（1）；（2）见解析所示；（3）
【详解】
（1）在地球表面，忽略地球自转，则有
（2）地球是质量均匀分布的球体，设地球密度为。在地球内部，设物体到地心的距离r，根据题意，在以半径r为界，外部球壳对物体吸引力为0，则有吸引力部分的质量，根据万有引力定律
可得出，在地球内部，重力加速度与r成正比。
（3）微元法：将物体从离地心2R释放到落地表过程中分割为无数微小段，每一段的重力加速度可近似认为是不变的，再对这些过程进行累加求重力做功，其中gh数值与图像中R-2R部分的面积相对应，根据题意，又与O-R部分的面积对应，可得总功为
根据动能定理
带入计算可得万有引力典型习题
一、开普勒三定律
1．地球位于火星与太阳之间且三者在同一直线上时称为“火星冲日”。已知地球绕太阳做圆周运动的周期为T，火星绕太阳做圆周运动的轨道半径为地球绕太阳做圆周运动的轨道半径的n倍。则相邻两次“火星冲日”的时间差为（ ）
A． B． C． D．
2．金星在中国古代有不同称谓：清晨叫做“启明星”；傍晚称为“长庚星”。将金星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，当金星处于太阳和地球连线之间时，称为“金星下合日”。已知金星的轨道半径为r1＝1.08×1011 m，地球的轨道半径为r2＝1.5×1011 m；已知地球公转周期为1年，＝1.12，＝1.84。则连续两次“金星下合日”的时间间隔比较接近（ ）
A．0.61年 B．1.6年 C．2年 D．2.6年
3．把行星运动近似看做匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝，m为行星质量，则可推得（ ）
A．行星受太阳的引力为F＝k
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力为F＝k
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
4.2018年2月6日,某重型火箭将一辆跑车发射到太空.图甲是跑车和Starman(宇航员模型)的最后一张照片,它们正在远离地球,处于一个环绕太阳运行的椭圆形轨道上(如图乙).若该车在远日点距离太阳大约为3.9亿千米,地球和太阳之间的平均距离约为1.5亿千米.试估算跑车的环绕运动周期(可能用到的数据:)( )
A.约15个月 B.约29个月 C.约39个月 D.约59个月
5.2020年3月9日，北斗54号卫星“吉星”入轨，离北斗全球组网成功仅一步之遥。在疫情防控期间，北斗导航系统在精准排查、智慧物流中都发挥了重要作用。“吉星”为地球同步卫星，轨道半径为地球半径的6.6倍。另有一颗地球极地轨道卫星“小哲”，轨道半径为地球半径的3.17倍。已知，则( )
A．公转线速度大小，“小哲”约为“吉星”的2倍
B．公转角速度大小，“小哲”约为“吉星”的2倍
C．公转向心加速度大小，“小哲”约为“吉星”的3倍
D．公转周期，“小哲”约为“吉星”的倍
二、同步卫星
6．有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b在地球的近地圆轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是（ ）
A．向心加速度大小关系是：，速度大小关系是：
B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等
C．c在4小时内转过的圆心角是 ，a在2小时内转过的圆心角是
D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定大于24小时
7．关于地球同步卫星，下列说法正确的是（ ）
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、速度大小不一定都相同
C．我国发射的同步通讯卫星可以定点在北京上空
D．我国发射的同步通讯卫星必须定点在赤道上空
8．2020年我国“北斗”系统实现在全球范围内提供服务。现北斗系统中有一颗地球同步卫星A，离地面的高度为5.6R，某时刻与离地面高度为2.3R的地球空间站B相隔最近。已知地球半径为R，地球自转周期为24h，卫星A和空间站B的运行轨道在同一平面内且运行方向相同。则下列说法正确的是（ ）
A．卫星A和空间站B所在处的加速度大小之比
B．卫星A和空间站B运行的线速度大小之比
C．再经过24小时，卫星A和空间站B又相隔最近
D．卫星A想实现和空间站B对接，只需对卫星A向后喷气加速即可
9.利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯,目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍,假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为( )
A. B. C. D.
10、为了实现除地球极地等少部分地区外的“全球通信”,理论上须发射三颗通信卫星,使它们均匀地分布在同步卫星轨道上。假设地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,同步卫星所在轨道处的重力加速度为g′,则三颗卫星中任意两颗卫星间直线距离为( )
A. B. C. D.
11.地球自转正在逐渐变慢，据推测10亿年后地球的自转周期约为32 h。若那时发射一颗地球的同步卫星A，与目前地球的某颗同步卫星B相比，以下说法正确的是(假设地球的质量不变)( )
A. 同步卫星A与同步卫星B的轨道半径之比
B.同步卫星A与同步卫星B的向心加速度之比
C. 同步卫星A与同步卫星B的线速度之比
D. 同步卫星A与同步卫星B的的线速度之比
三、天体质量计算公式
12．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为（地球自转周期），一年的时间为（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为，地球中心到太阳中心的距离为。下列说法正确的是（ ）
A．由以上数据不能求出地球的质量
B．由以上数据不能求出太阳的质量
C．由以上数据不能求出月球的质量
D．由题中数据可求月球的密度
13．已知地球的半径为R，月球的半径为r，地球表面的重力加速度为月球表面重力加速度的6倍，月球的密度与地球的密度之比为（ ）
A． B． C． D．
14、我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，“嫦娥1号”探月卫星也已发射。设想嫦娥1号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，飞船发射的月球车在月球软着陆后，自动机器人在月球表面竖直向上以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀，则月球的质量为（ ）
A． B． C． D．
四、双星，双星的周期，双星的总质量
15．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RAA．星球A所受的向心力大于星球B所受的向心力
B．星球A的向心加速度大于星球B的向心加速度
C．星球A和星球B的质量之和为
D．由已知条件可以分别算出星球A和星球B的质量
16．以两天体A、B中心连线为底的等边三角形的第三个顶点被称为“三角拉格朗日点”，如果在该点有一颗质量远小于A、B的卫星C，则三者可以组成一个稳定的三星系统，如图所示。由于C对A、B的影响很小，故A、B又可视作双星系统绕连线上某定点P（未画出）做匀速圆周运动。已知天体A、B、C的质量分布均匀，且分别为m1、m2、m3，已知m1=2m2，两天体A、B中心间距为L，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．天体A做匀速圆周运动的轨道半径为
B．天体A、B所需要的向心力大小之比为2：1
C．卫星C所受合力恰好指向P点
D．卫星C的周期为
17．双星由两颗绕着共同的点旋转的恒星组成。对于其中一颗来说，另一颗就是其“伴星”。如果甲、乙两颗星体质量分别为、，它们之间的距离为L，甲、乙离其他天体十分遥远不受其他天体的作用，它们绕连线上一点O以相同的角速度做匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G。求：
(1)甲做圆周运动的轨道半径。
(2)双星做圆周运动的周期T。
18.2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约时，它们相距约，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度
19.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示,某双星系统中两颗天体绕点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比,则两颗天体的（ ）
A. 质量之比 B.角速度之比
C.线速度大小之比 D.向心力大小之比
五、万有引力之-剥洋葱
20．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
A． B． C． D．
21．设地球是一质量分布均匀的球体，O为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四个图中，能正确描述x轴上各点的重力加速度g的分布情况的是( )．
A． B．
C． D．
22．若地球是质量均匀分布的球体，其质量为M0，半径为R。忽略地球自转，重力加速度g随物体到地心的距离r变化如图所示。g-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。
（1）用题目中的已知量表示图中的g0；
（2）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体的引力为0。请你证明：在地球内部，重力加速度与r成正比；
（3）若将物体从2R处自由释放，不考虑其它星球引力的影响，不计空气阻力，借助本题图像，求这个物体到达地表时的速率。
