2021-2022学年山东省菏泽市单县八年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年山东省菏泽市单县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填涂在答题卡相应的位置上）
1．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　　）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
2．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是（　　）
①∠B＝∠C
②AB∥CD
③BE＝CF
④AF＝DE
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
3．在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．下列条件中，能构成钝角△ABC的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A+∠C＝∠B
C．∠B＝∠C＝∠A D．∠A＝∠B＝∠C
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．若ab＝0，则P（a，b）为坐标原点
B．若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．绝对值等于它本身的数是0
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
7．方程＝的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，BC＝4，则△ABD与△ACD的面积比是（　　）
A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：3
9．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB平行CD，则下列结论正确的是（　　）
A．∠3＝∠1+∠2 B．∠3＝∠2+2∠1
C．∠2+∠3﹣∠1＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°
10．某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，只要求把结果填写在答题卡的相应区域内）
11．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝8，OB＝3，则OC的长为 　 　．
12．某学校生物课把学生的笔试、实验操作两项成绩分别按60%、40%的比例计入学生的学期总成绩，小亮的实验操作这一项成绩是81分，要想学期总成绩不低于90分，那么他的笔试成绩至少要达到 　 　分．
13．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝　 　cm．
14．已知一组数据：5，2，5，6，7，则这组数据的方差是 　 　．
15．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当边A′F∥BC时，∠AEF的度数为 　 　．
16．已知，则的值为 　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B＝　 　．
18．若关于x的方程+＝2无解，则m＝　 　．
19．如图，△ABD≌△EBC，则下列结论中：
①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；
正确的有 　 　（只填序号）．
20．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为　 　
三、解答题（本题共60分，把解答过程写在答题卡的相应区域内）
21．如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE＝BF，∠A＝∠B，∠CEB＝∠DFA，求证：OC＝OD．
22．解答下列各题
（1）解分式方程：；
（2）化简：．
23．某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜 a b 96
乙种西瓜 88 90 c
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）从离散程度看，　 　种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
24．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
25．菏泽牡丹机场已经实现通航，游客从浮龙湖景区乘车到牡丹机场，有两条路线可供选择，路线一全程是100千米，但交通拥堵；路线二全程是105千米，平均速度是线路一的倍，因此到达牡丹机场的时间比走路线一少用30分钟，求走路线二到达牡丹机场需要多少小时？
26．如图，点C为线段AB上一点，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，过点C作CF⊥DE于点F，CF所在直线交DA延长线于点G．
（1）求证：CF垂直平分DE；
（2）若BC＝4，BE＝2，求DG的长度．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填涂在答题卡相应的位置上）
1．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为S甲2＝186.9，S乙2＝325.3．为保证产量稳定，适合推广的品种为（　　）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵S甲2＝186.9，S乙2＝325.3，
∴S甲2＜S乙2，
∴为保证产量稳定，适合推广的品种为甲，
故选：A．
2．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是（　　）
①∠B＝∠C
②AB∥CD
③BE＝CF
④AF＝DE
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，AB＝DC，
∴∠AEB＝∠CFD，
选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择④可得AE＝DF，可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
故选：D．
3．在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】由于比赛取前7名进入决赛，共有15个参赛班级，根据中位数的意义分析即可．
解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，
故只要知道自己的班级成绩和中位数就可以知道自己的班级能否进入决赛．
故选：B．
4．下列条件中，能构成钝角△ABC的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A+∠C＝∠B
C．∠B＝∠C＝∠A D．∠A＝∠B＝∠C
【分析】根据三角形内角和定理解决此题．
解：A．根据三角形内角和定理，由∠A＝∠B＝∠C，得∠A＝∠B＝∠C＝60°，故△ABC是锐角三角形，那么A不符合题意．
B．根据三角形内角和定理，由∠A+∠B+∠C＝180°，得2∠B＝180°，故∠B＝90°，即△ABC是直角三角形，那么B不符合题意．
C．根据三角形内角和定理，由∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C＝∠A，得∠A+＝180°，故∠A＝120°，此时△ABC是钝角三角形，那么C符合题意．
D．根据三角形内角和定理，由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C，得∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，此时△ABC是直角三角形，那么D不符合题意．
故选：C．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．若ab＝0，则P（a，b）为坐标原点
B．若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．绝对值等于它本身的数是0
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征对A进行判断；利用B（﹣6，﹣2）满足条件可对B进行判断；根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定方法对C进行判断；根据绝对值的意义对D进行判断．
解：A．若ab＝0，则P（a，b）为坐标轴上的点，此命题为假命题，所以A选项不符合题意；
B．若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点坐标为（4，﹣2）或（﹣6，﹣2），此命题为假命题，所以B选项不符合题意；
C．两斜边相等的两个等腰直角三角形全等，此命题为真命题，所以C选项符合题意；
D．绝对值等于它本身的数是非负数，此命题为假命题，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．
解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
7．方程＝的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
【分析】通过分式方程两边乘3x（x﹣1）化为整式方程进而求解．
解：∵＝，
∴．
去分母，得3（x﹣1）＝2x．
去括号，得3x﹣3＝2x．
移项，得3x﹣2x＝3．
合并同类项，得x＝3．
经检验：当x＝3时，3x（x﹣1）≠0．
∴这个分式方程的解为x＝3．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，BC＝4，则△ABD与△ACD的面积比是（　　）
A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：3
【分析】先根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4．
故选：A．
9．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB平行CD，则下列结论正确的是（　　）
A．∠3＝∠1+∠2 B．∠3＝∠2+2∠1
C．∠2+∠3﹣∠1＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°
【分析】根据三角形外角和平行线性质得出三个角的关系即可．
解：如下图：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A，
∵∠2＝∠A+∠4，
∴∠2＝∠1+∠4，
即∠4＝∠2﹣∠1，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：C．
10．某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
解：设班级共有x名学生，依据题意列方程得，．
故选：B．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，只要求把结果填写在答题卡的相应区域内）
11．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝8，OB＝3，则OC的长为 　5　．
【分析】证明△AOB≌△COD推出OA＝OC，OB＝OD＝3，即可解决问题．
解：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOB＝∠COD，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD＝3，
∵AD＝8，
∴OA＝AD﹣OD＝8﹣3＝5，
∴OC＝OA＝5．
故答案为：5．
12．某学校生物课把学生的笔试、实验操作两项成绩分别按60%、40%的比例计入学生的学期总成绩，小亮的实验操作这一项成绩是81分，要想学期总成绩不低于90分，那么他的笔试成绩至少要达到 　96　分．
【分析】设小亮的笔试成绩是x分，利用总成绩＝60%×笔试成绩+40%×实验操作成绩，结合总成绩不低于90分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：设小亮的笔试成绩是x分，
依题意得：60%x+40%×81≥90，
解得：x≥96，
∴小亮的笔试成绩至少要达到96分．
故答案为：96．
13．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝　6　cm．
【分析】首先证明△ABC为等边三角形，然后依据SSS证明△ABD全等△ACD，从而可得到∠BAD＝∠CAD，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到BE＝CE，从而可求得BC的长，故此可得到AB的长．
解：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝3cm．
∴BC＝6cm．
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝6cm．
故答案为：6．
14．已知一组数据：5，2，5，6，7，则这组数据的方差是 　2.8　．
【分析】根据题意，先求出数据的平均数，由方差的计算公式计算可得答案．
解：根据题意，数据：其平均数＝＝5，
则其方差s2＝[（5﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2.8；
故答案为：2.8．
15．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当边A′F∥BC时，∠AEF的度数为 　120°　．
【分析】由∠B＝90°，∠A＝30°，推出∠C＝60°，因为A′F∥BC，∠B＝90°，所以∠FHA＝∠B＝90°，∠HFA＝∠C＝60°，由折叠可知，∠HFE＝∠AFE＝∠HFA＝30°，利用外角性质即可求出∠AEF的度数．
解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠C＝60°，
∵A′F∥BC，∠B＝90°，
∴∠FHA＝∠B＝90°，∠HFA＝∠C＝60°
由折叠可知，
∠HFE＝∠AFE＝∠HFA＝30°，
∴AEF＝∠EHF+∠HFE＝90°+30°＝120°，
故答案为：120°．
16．已知，则的值为 　　．
【分析】根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝＝．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B＝　36°　．
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，
则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B＝36°，
故答案为36°．
18．若关于x的方程+＝2无解，则m＝　﹣1　．
【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
解：方程两边都乘以（x﹣3）得，
2﹣m﹣x＝2（x﹣3），
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
代入整式方程得，2﹣m﹣3＝2（3﹣3），
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
19．如图，△ABD≌△EBC，则下列结论中：
①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；
正确的有 　①②③　（只填序号）．
【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，
∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠BAE+∠BCD＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴CD⊥AE，故①正确；
∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，
∴∠BAD+∠ECB＝90°，
∴∠ANC＝90°，
∴AD⊥CE，故②正确；
∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，
∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，
∠ADB＝∠ECB，
∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；
故答案为：①②③．
20．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为　115°　
【分析】根据三角形内角和定理得到∠BMN+∠BNM＝130°，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质计算．
解：∵∠B+∠BMN+∠BNM＝180°，
∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣50°＝130°，
∵M在PA的中垂线上，
∴MA＝MP，
∴∠MAP＝∠MPA，
同理，∠NCP＝∠NPC，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠NPC+∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC＝×130°＝65°，
∴∠APC＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
三、解答题（本题共60分，把解答过程写在答题卡的相应区域内）
21．如图，A、E、F、B在同一条直线上，AE＝BF，∠A＝∠B，∠CEB＝∠DFA，求证：OC＝OD．
【分析】首先利用ASA证明△AFD≌△BEC，得BC＝AD，再由等角对等边得OA＝OB，从而证明结论．
【解答】证明：∵AE＝BF，
∴AE+EF＝BF+EF，
即AF＝BE，
在△AFD和△BEC中，
，
∴△AFD≌△BEC（ASA），
∴BC＝AD，
∵∠A＝∠B，
∴OA＝OB，
∴AD﹣OA＝BC﹣OB，
∴OC＝OD．
22．解答下列各题
（1）解分式方程：；
（2）化简：．
【分析】（1）首先原方程可化为，，再根据解分式方程的步骤求出x，最后一定要检验；
（2）先分解因式，再通分，算出括号内的结果，再算乘法，最后化为最简形式．
解：（1）原方程可化为，，
方程两边都乘（x﹣2）2，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
整理，得2x＝8，
解这个方程，得
x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根；
（2）
＝
＝
＝
＝．
23．某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜 a b 96
乙种西瓜 88 90 c
（1）a＝　88　，b＝　88　，c＝　90　；
（2）从离散程度看，　乙　种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
（3）从中位数、众数的比较得出答案．
解：（1）a＝＝88，
将甲种西瓜得分重新排列为：75，85，86，88，90，96，96，
其中位数b＝88，
乙种西瓜得分的众数c＝90，
故答案为：88、88、90；
（2）由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得s甲2＞s乙2，
∴乙种西瓜的得分较稳定，
故答案为：乙；
（3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．
乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．
24．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
【分析】①由平行线的性质得∠ADB＝∠DBC，再由角平分线的定义得∠ABD＝∠DBC，则∠ABD＝∠ADB，然后由等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；
②由平行线的性质得∠ADC＝∠DCE，再由①知AB＝AD，则AC＝AD，然后由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠ADC，则∠ACD＝∠DCE，即可得到结论．
【解答】证明：①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知，AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE．
25．菏泽牡丹机场已经实现通航，游客从浮龙湖景区乘车到牡丹机场，有两条路线可供选择，路线一全程是100千米，但交通拥堵；路线二全程是105千米，平均速度是线路一的倍，因此到达牡丹机场的时间比走路线一少用30分钟，求走路线二到达牡丹机场需要多少小时？
【分析】根据题意列出等量关系式：路线一的平均速度×＝路线二的平均速度，再根据等量关系式列出方程，求解检验即可．
解：设走路线二到达牡丹机场需要x小时，因为走路线二比走路线一少用30分钟，即少用0.5小时，所以走路线一的时间为（x+0.5）小时，
依题意可得，，
解这个方程得，x＝1.5，
经检验可知，x＝1.5是原分式方程的根，并符号题意，
所以，走路线二到达牡丹机场需要1.5小时．
26．如图，点C为线段AB上一点，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，过点C作CF⊥DE于点F，CF所在直线交DA延长线于点G．
（1）求证：CF垂直平分DE；
（2）若BC＝4，BE＝2，求DG的长度．
【分析】（1）根据平行线的性质得∠DAC＝∠CBE，然后利用SAS证明△ADC≌△BCE，可得CD＝CE．从而证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质得∠DCF＝∠ECF，而∠DCF＝∠G+∠GDC，∠FCE＝∠FCB+∠BCE，可证明∠AGC＝∠ACG，从而有AC＝AG，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠DAC＝∠CBE，
又∵AC＝BE，AD＝BC，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE，
∵CF⊥DE，
即CF垂直平分DE，
（2）解：∵∠DCF为△DCG的外角，
∴∠DCF＝∠G+∠GDC，
由（1）知，CF是等腰△CDE底边上的高，
∴CF平分∠DCE，
∴∠DCF＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FCB+∠BCE，
∴∠G+∠GDC＝∠FCB+∠BCE，
又由（1）知，△ADC≌△BCE，
∴∠GDC＝∠BCE，
∴∠G＝∠FCB，
又∵∠FCB＝∠ACG，
∴∠G＝∠ACG，
∴AG＝AC＝BE，
∴DG＝AD+AG，
＝BC+BE＝4+2＝6，
∴DG的长为6．