7.3.2离散型随机变量的方差教学设计-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差教学设计
内容与内容解析
内容：了解离散型随机变量的方差与标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求
出方差或者标准差，体会引入离散型随机变量的方差的必要性。
内容解析：
（1）引入离散型随机变量的方差必要性：前期我们已经学习过离散型随机变量的均值的相关知识。我们知道随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征。 我们知道,样本方差可以度量一组样本数据，，…，的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.即样本的方差
＋＋…＋。一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢 考虑X所有可能取值与的的偏差的平方.因为X取每个值的概率不尽相同，而偏差平方关于取值概率的加权平均为，所以可以用这个加权平均数来衡量随机变量X取值与其均值E(X) 的偏离程度。
离散型随机变量的概念：一般地，对于离散型随机变量X，称
为离散型随机变量X的的方差，
称为离散型随机变量的标准差。随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，离散型随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，离散型随机变量的取值越分散。
（3）离散型随机变量的性质和求离散型随机变量的方差的一般步骤：类比离散型随机变量的均值性质，离散型随机变量的方差是否有类似性质。根据方差的定义可以推出离散型随机变量的一般性质即，同样类比求离散型随机变量的均值的一般步骤，我们可以通过举两个例子总结出求离散型随机变量的方差的四个步骤。
教学重难点：
（1）离散型随机变量的方差、标准差的概念。
（2）比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题。
（3）离散型随机变量的方差性质。
二、目标与目标解析
1.目标：
（1）通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差与标准差的概念.通过实际例子体会引入方差的必要性，类比样本方差的概念，引入离散型随机变量的方差，用来刻画随机变量的取值与均值的离散程度，反映了随机变量取值的离散程度。在引入方差的概念中，体会从特殊到一般，从理论到实践、类比的探究过程和思想方法。
（2）能计算简单离散型随机变量的方差与标准差，并能解决一些实际问题.
（3）掌握离散型随机变量的方差的性质.了解性质可以帮助我们简化方差的计算，还可以了解方差的本质。
2.目标解析：
（1）通过实例，让学生了解随机变量的均值只能反映取值的集中程度，不能反映随机变量取值的离散程度，体会引入离散型随机变量的方差的必要性。理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。
（2）会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并利用均值与方差在实际问题中作出科学的决策。通过两个例子计算离散型随机变量的方差，体会引入离散型随机变量的均值和方差的必要性。体会它在实际生产生活中的应用价值。
三、教学问题诊断设计
问题诊断
（1）让学生体会引入离散型随机变量的方差的必要性是第一个教学问题，也是难点。本节课是前面学习完随机变量的均值的基础上进行研究的，知识上具有承前启后的作用。我们通过甲乙两名同学射击目标耙的环数例子来说明如何评价这两名同学的射击水平。通过上一节课我们学习过的离散型随机变量均值的知识，先计算出两人的射击的平均环数，发现两名同学的均值相等，因此不能根据均值来区分两名同学的射击水平。评价射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.通过画出两名同学的概念分布图发现乙同学的射击成绩更集中，因此乙同学更稳顶。随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
（2）如何定义离散型随机变量的方差概念是第二个教学问题，也是教学的难点。从最近发展区的角度考虑，学生在初中已经学习过数据的方差概念，它是用来刻画数据波动程度大小的数字特征，学生学习过的知识都与方差有关。通过类比初中学习过的样本方差的概念，我们很自然地引入离散型随机变量的方差概念，引入过程水到渠成，即随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢 考虑X所有可能取值与的偏差的平方.因为X取每个值的概率不尽相同，而偏差平方关于取值概率的加权平均为，所以可以用这个加权平均数来衡量随机变量X取值与其均值E(X) 的偏离程度。
（3）利用离散型随机变量的方差来解决实际问题是第三个教学问题，也是教学的重点。类比前期学习过离散型随机变量的均值的例子，我们举出两个例子让同学们算出方差，巩固一下方差的计算公式，再通过一个投资股票收益的例子，体会利用均值和方差来做出实际决策，体会所学知识在生活中的应用价值，并总结出求离散型随机变量的方差的一般步骤。
四、教学支持条件分析
为什么要引入离散型随机变量的方差的概念是本节课的的重点.本节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。为了突出这一重点，需要师生借助信息技术手段，通过几个例子计算出两个变量的均值，发现两个变量的均值相等，因此不能根据均值来平均两个变量的好与环，还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.因此本节课将采用数学软件和计算器作为教学支持条件。
五、教学过程设计
1.温故知新：首先回顾上节课已学习过的离散型随机变量的均值相关知识，包括概念、性质及计算均值的一般步骤。随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”。因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征。
2.探究新知
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？表1
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
表2
X 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03
E(X)= 8 ;E(Y)=8 因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。
射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。
设计意图：通过知识回顾，提出问题.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入离散型随机变量分布列方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。
3.生成概念
问题2：怎样定量到留离散型随机变量取值的离散程度
我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢 考虑X所有可能取值与的的偏差的平方.因为X取每个值的概率不尽相同，而偏差平方关于取值概率的加权平均为，所以可以用这个加权平均数来衡量随机变量X取值与其均值E(X) 的偏离程度。
一般地，称为离散型随机变量X的方差，称为离散型随机变量的标准差。
几点说明：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。
追问1：根据方差定义，我们可以计算问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差吗？
因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:
因为D(Y)问题3：方差的计算可以简化吗？
问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)= D(X)而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的倍，即,因此，
4.学以致用
例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。
方差的计算方法：方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如(a≠0).
追问1：我们根据之前的方差定义，同学们计算一下是否相等？哪种计算更简单？
设计意图：通过典例解析，提升对概念精细化的理解。让学生掌握方差的算法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示：
收益X/元 -1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表1 表2
收益X/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？
设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化概念的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
总结利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高。
（2）在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据均值和方差做出结论。
4.对比概念，深化认知
问题5：根据我们前面学习过的离散型随机变量的均值，及样本方差的概念，我们跟离散型随机变量的方差进行对比，我们利用两个表格进行总结对比，同学们你们有什么发现？
设计意图：通过类比均值和样本方差的概念，深化对离散型随机变量方差概念的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
5.课堂小结
问题6：回顾本节课的研究离散型随机变量的方差的研究过程，我们是怎样开展对方差的研究的？我们是根据什么来引入离散型随机变量的方差的？你认为引入离散型随机变量的方差可以解决哪些问题？
问题7：本节课我们学习离散型随机变量方差的哪些知识？需要注意什么？
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。梳理本节课的研究问题和研究思路，让学生不仅掌握知识和技能，还学会掌握研究方差的一般路径，与研究均值的思路是一样，由现实例子出发，寻找刻画波动大小的数字特征，类比数据的方差概念，引出离散型随机变量的方差的概念，计算相应变量的均值和方差，做出实际决策。
板书设计
离散型随机变量的均值定义：
一组数据的方差定义：
离散型随机变量的方差和标准差的定义：
4.求离散型随机变量的方差的步骤：①确定取值X；②求概率；③求出EX；④求DX
7.课堂检测
1.给出下列四个命题：
①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；
②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；
③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；
④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．
则正确命题应该是(　　)
A．①④　 B．②③ C．①② D．③④
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9，则D(X)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4
3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=　　　　　,b=　　　　　.
X -1 0 1 2
P a b c
4.下结论.依据均值和方差做出结论.
跟踪训练2. A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析， X1和X2的分布列分别为
X1 2% 8% 12% X2 5% 10%
P 0.2 0.5 0.3 P 0.8 0.2
求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元， Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
8.教学反思
课后通过对教学过程的反思与研究, 才能不断完善教学设计中的不足, 才能提升教材分析的能力和课堂教学实效.
1. 多元展示, 多方评价. 在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标。
2. 创造性的使用教材. 有别于教材，我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后再引导学生进行归纳, 这样更贴近学生的认知水平， 学生课后反馈，效果较为理想。