8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计教学设计-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第三册第八章)
一、教学目标
1.理解最小二乘法
2.理解并掌握经验回归直线
3.理解残差分析
二、教学重难点
1.利用最小二乘法推到经验回归方程
2.利用经验回归方程解决实际问题
三、教学过程
为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型，表达式 刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计.
由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系,因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.
问题1：从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？
【设计意图】明确问题，指明思考的方向，引发学生思考.
思路1：先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线．
思路2：可以在散点图中选两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线．
思路3：在散点图中多取几对点，确定出几条直线，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数作为所求直线的斜率和截距．
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn)．
由，得 .显然 越小，表示点与点的“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小.因此可以用这n个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”.
问题2：如何求a，b的值，使 最小？
【设计意图】将距离最值问题抽象为函数求二元函数最值问题.
我们将称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法，求得的 ， 叫做b，a的最小二乘估计．
问题3：如何理解经验回归直线？
1)当x=176时，,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？
2)根据模型，父亲身高为多少时，儿子的平均身高与父亲的一样？
3)斜率0.839有什么含义？
对于响应变量Y，通过观测得到的数据为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.
问题4：如何判断模型刻画数据的效果？
问题5：观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？
四、课后作业：
教科书第113页练习第2、3题.
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