一、选择题：共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 直线：与直线：平行，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以有：，解得：，
故选：C
2. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为
A. 108石 B. 169石 C. 237石 D. 338石
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果.
【详解】粒内夹谷18粒，
米中含谷的频率为，
石中夹谷约为（石）.故选A.
【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.
3. 高二某班共有学生60名，座位号分别为01，02，03，…，60．现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知05号、20号、50号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ）
A. 33号 B. 34号 C. 35号 D. 36号
【答案】C
【解析】
【分析】先求得抽样的间隔，再根据已有的样本求解.
【详解】因为总体容量为60，样本容量为4，
所以抽样间隔为15，
因为05号、20号、50号同学在样本中，
所以样本中还有一个同学的座位号是35，
故选：C
4. 在平面区域内随机投入一点P，则点P的坐标满足不等式的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.
【详解】根据题意作出示意图，如图所示：
于是，所求概率.
故选：A.
5. “”是“函数－kx－k的值恒为正值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数－kx－k的值恒为正值求出k的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】函数－kx－k的值恒为正值，
则，
∵，
∴“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 若双曲线C：的渐近线方程为，则C的焦距为（ ）
A 3 B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的焦距公式进行求解即可.
【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，而，
因此双曲线的焦距为，
故选：D
7. 如图是丰收农场6株圣女果挂果个数的茎叶图，则这6株圣女果挂果个数的方差为（ ）
A. B. C. 23 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的计算公式，结合茎叶图进行计算求解即可.
【详解】根据茎叶图可知：这6株圣女果挂果个数分别为：，
所以平均数为：，
因此方差为：
，
故选：A
8. 为了解某种产品的广告投入x（单位：万元）对销量y（单位：万件）的影响，对近五年该产品的广告投入和销量，统计如下表：
x 145 130 120 105 100
y 110 90 102 78 m
已知x和y具有线性相关关系，且回归直线方程为，那么表中m的值为（ ）
A. 68 B. 70 C. 72 D. 74
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中的数据先求，再代入回归直线方程可求得，从而可求解.
【详解】由题中的数据可得，代入中，可得，
所以有，解得.
故选：B
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】结合所给的流程图可知，该流程图运行如下：
首先初始化数值：，进入循环体：
第一次循环：，不满足，
第二次循环：，不满足，
第三次循环：，满足，
此时结束循环，输出的值为.
本题选择B选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
10. 圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】得直线的定点坐标以及圆心的坐标与圆的半径，由题意，当圆上的动点P到直线的距离最大时，即为圆上的动点P到直线所过定点的距离最大，求解圆心到定点距离，再利用圆上任意点到定点距离最大值的求解方法计算.
【详解】直线所过的定点坐标为，圆C：的圆心坐标为，半径为，当圆上的动点P到直线的距离最大时，即为圆上的动点P到定点的距离最大，已知圆心到定点的距离为，所以距离的最大值为.
故选：B
11. 点P是双曲线E：右支上一点，其左，右焦点为，，且，PM是的外角平分线，过作直线PM的垂线，垂足为H，若，则双曲线E的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数图像，过作直线PM的垂线，延长交延长线于点，由双曲线定义可得，再由，可得，进而可得离心率.
【详解】
根据题意作出图像，过作直线PM的垂线，延长交延长线于点，
易知PM为的中垂线，所以，
由，解得，
所以，
又因为、分别为和的中点，所以，
所以，解得
由，知，
所以，
所以双曲线E的离心率是.
故选：D.
12. 过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】现根据所给条件面积之间的关系推出，再根据抛物线的几何性质推得，设直线方程联立抛物线方程，整理得到，联立可解得答案.
【详解】如图示：过点作垂直于准线，垂足为 ,作垂直于准线，垂足为,
由的面积是的面积的3倍可知， ,
而 ,则 ，
故 ,
根据抛物线性质可知
所以,即，
显然过的直线l的斜率存在，设为 ，
则直线方程为 ，和抛物线方程联立，
整理得：
所以 ，结合 式，得 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．
13. 已知命题p：R，，则p的否定为_____________；
【答案】R，##R，
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法即可求解.
【详解】命题p：R，，则p否定为：R，.
故答案为：R，.
14. 已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，根据为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案.
【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，
又，
所以.
故答案为：.
15. 过点，且与圆C：相切的直线方程为______．
【答案】.
【解析】
【分析】根据圆的切线性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以点在该圆上，设点为，
由圆C：可知：圆心，
因此直线的斜率为：，
所以过点，且与圆C：相切的直线的斜率为：，
因此过点，且与圆C：相切的直线的方程为：
，
故答案为：.
16. 椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，点P为C上一动点，若的最大值为3，最小值为1，则的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】求出椭圆的方程为，设，求出，再利用二次函数的图象和性质求解.
【详解】解：由题得.
设，因为,
所以，
所以
,
因为时的最大值为.
故答案为：4
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据是的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.
（2）判断的真假性，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
解得，
由于是的充分条件，
所以.
【小问2详解】
当时，，而，
设，
由于“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
所以假真，，
即的取值范围是.
18. 已知直线，，，其中与的交点为P．
（1）求过点P且与平行的直线方程；
（2）求以点P为圆心，截所得弦长为8的圆的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先求、的交点坐标，根据的斜率，应用点斜式写出过P且与平行的直线方程；
（2）根据弦心距、弦长、半径的关系求圆的半径，结合P的坐标写出圆的方程.
【小问1详解】
联立、得：，可得，故，
又的斜率为，则过P且与平行的直线方程，
∴所求直线方程为.
【小问2详解】
由（1），P到的距离，
∴以P为圆心，截所得弦长为8的圆的半径，
∴所求圆的方程为.
19. 某车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到数据如下：
零件的个数x(个) 1 2 3 4 5
加工的时间y(小时) 1.5 2.4 3.2 3.9 4.5
（1）求出 y 关于 x 的回归方程；
（2）试预测加工 9 个零件需要多少时间？
参考公式：，
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据参考公式：，计算即可；
(2)将代入回归直线方程求的y即可.
【小问1详解】
由表中数据得：，，
，
根据公式知：=0.75，
，
回归直线方程为：.
【小问2详解】
将代入回归直线方桯得，，
预测加工9个零件需要小时.
20. 某校在全体同学中随机抽取了100名同学，进行体育锻炼时间的专项调查．将调查数据按平均每天锻炼时间的多少（单位：分钟）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的同学定义为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的同学定义为锻炼不达标．
（1）求a的值，并估计该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数；
（2）在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的同学，按分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在内的概率．
【答案】（1），中位数为64；（2）.
【解析】
【分析】（1）由频率和为1求参数a，根据中位数的性质，结合频率直方图求中位数.
（2）首先由分层抽样求6名同学的分布情况，再应用列举法求概率.
详解】（1）由题设，，可得，
∴中位数应在之间，令中位数为，则，解得.
∴该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数为64.
（2）由题设，抽取6名同学中1名在，2名在，3名在，
若1名在为，2名在为，3名在为，
∴随机抽取2名的可能情况有共15种，
其中至少有一名在内的共12种，
∴这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在内概率为.
21. 已知抛物线上任意一点到焦点F的最短距离为2，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线，互相垂直，且与C分别交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面积的最小值．
【答案】（1）
（2）128
【解析】
【分析】（1）设抛物线上任一点为，由可得答案.
（2）由题意可知，的斜率k存在且不为0,设出其方程并与抛物线方程联立，得出韦达定理，从而得出弦长的表达式，同理得出弦长的表达式，进而得出四边形AMBN面积的不等式，从而求出其最小值.
【小问1详解】
设抛物线上任一点为，则，
所以当时，，
又∵，∴，即
所以抛物线C的方程为
【小问2详解】
设交抛物线C于点，,交抛物线C于点，
由题意可知，的斜率k存在且不为0
设的方程为由，得
，
同理可得，
，
当且仅当时，即时，等号成立．
∴四边形AMBN面积的最小值为128．
22. 已知两定点，，动点与两定点的斜率之积为．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设（1）中所求曲线为C，若斜率为的直线l过点，且与C交于P，Q两点．问：在x轴上是否存在一点T，使得对任意且，都有（其中，分别表示，的面积）．若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）设出点的坐标，根据，即可直接求出动点M的轨迹方程；
（2）根据题意写出直线的方程，把直线的方程与曲线的方程联立，消元，写韦达；根据条件，同时结合三角形的面积公式可得出；从而结合韦达定理可求出点T的坐标.
【小问1详解】
设，由，得，即，
所以动点M的轨迹方程为.
【小问2详解】
设PT与RT夹角为，QT与RT夹角为，
因为，所以，
即，所以，
设，，，直线l的方程为，
因为，所以，即，
所以，即①，
由，得，
所以，．
代入①式，得，解得，
所以存在点，使得对任意且，都有一、选择题：共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 直线：与直线：平行，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
2. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为
A. 108石 B. 169石 C. 237石 D. 338石
3. 高二某班共有学生60名，座位号分别为01，02，03，…，60．现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知05号、20号、50号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ）
A. 33号 B. 34号 C. 35号 D. 36号
4. 在平面区域内随机投入一点P，则点P的坐标满足不等式的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“函数－kx－k的值恒为正值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 若双曲线C：的渐近线方程为，则C的焦距为（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
7. 如图是丰收农场6株圣女果挂果个数的茎叶图，则这6株圣女果挂果个数的方差为（ ）
A B. C. 23 D. 24
8. 为了解某种产品的广告投入x（单位：万元）对销量y（单位：万件）的影响，对近五年该产品的广告投入和销量，统计如下表：
x 145 130 120 105 100
y 110 90 102 78 m
已知x和y具有线性相关关系，且回归直线方程为，那么表中m的值为（ ）
A. 68 B. 70 C. 72 D. 74
9. 执行如图所示程序框图，则输出的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 圆C：上的动点P到直线l：的距离的最大值是（ ）
A. B. C. D.
11. 点P是双曲线E：右支上一点，其左，右焦点为，，且，PM是的外角平分线，过作直线PM的垂线，垂足为H，若，则双曲线E的离心率是（ ）
A. B. C. D.
12. 过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．
13. 已知命题p：R，，则p的否定为_____________；
14. 已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
15. 过点，且与圆C：相切的直线方程为______．
16. 椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，点P为C上一动点，若的最大值为3，最小值为1，则的最大值为______．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．
18. 已知直线，，，其中与的交点为P．
（1）求过点P且与平行的直线方程；
（2）求以点P为圆心，截所得弦长为8的圆的方程．
19. 某车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到数据如下：
零件的个数x(个) 1 2 3 4 5
加工的时间y(小时) 1.5 2.4 3.2 39 4.5
（1）求出 y 关于 x 的回归方程；
（2）试预测加工 9 个零件需要多少时间？
参考公式：，
20. 某校在全体同学中随机抽取了100名同学，进行体育锻炼时间的专项调查．将调查数据按平均每天锻炼时间的多少（单位：分钟）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的同学定义为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的同学定义为锻炼不达标．
（1）求a值，并估计该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数；
（2）在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标同学，按分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在内的概率．
21. 已知抛物线上任意一点到焦点F的最短距离为2，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线，互相垂直，且与C分别交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面积的最小值．
22. 已知两定点，，动点与两定点的斜率之积为．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设（1）中所求曲线为C，若斜率为的直线l过点，且与C交于P，Q两点．问：在x轴上是否存在一点T，使得对任意且，都有（其中，分别表示，的面积）．若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由
