北师大版（2019）数学必修第二册综合检测试卷（Word含解析）

北师大版（2019）数学必修第二册综合检测试卷
一、单选题
1．己知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，且，则
C．若，，，，则 D．若，，则
2．设，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
3．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等腰直角中，，D，E分别是和上的动点，沿翻折后，B恰好落在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．己知，，与的夹角为，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，是相异两平面，，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（　　）
A．若∥，，则
B．若，，则∥
C．若，，则
D．若∥，，则∥
8．如图，已知半径为的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是虚数单位，，则下列说法正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第二象限 B．
C．复数的共轭复数是 D．复数的虚部是
10．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
11．下列叙述正确的是（ ）
A．若直线与平面相交，则直线上所有点都在平面上
B．若直线与平面平行，则无公共点
C．若直线上两点在平面内，则直线在平面内
D．若直线与平面平行，则过直线的平面与这个平面相互平行
E．若直线与平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交
12．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量可以表示平面内任一向量
B．若，则
C．若，则
D．若，则与的夹角是锐角
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．如图，C，D将线段AB等分为三段，则
（1）______；
（2）______；
（3）______．
14．已知A，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
15．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．
16．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为________________.
四、解答题
17．如图所示，四棱锥中，△为正三角形，，，，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求与面所成角的正弦值.
18．已知函数.
(1)当时，求的最大值和最小值；
(2)若，求的值.
19．某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？
20．已知，，求的值．
21．求实数取何值时，复数在复平面内对应的点；
(1)位于第二象限；
(2)位于第一或第三象限；
(3)在直线上．
22．如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证：
(1)平面BCE；
(2)平面平面CDE.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可.
【详解】
若，，，则有可能平行，A错误；
∵，，∴，∵，∴，B正确；
∵，，，，、不一定相交，∴、不一定平行；C错误；
∵，，有可能，∴D错误；
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
根据复数的代数形式的乘法法则化简，即可判断；
【详解】
解：因为，所以的虚部为；
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
根据图象求出函数的解析式，再根据平移变换求出的解析式.
【详解】
由图可知；设周期为，则，所以；
又，所以.
由，，令，得.
所以；
因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，
所以.
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】
因为，所以，，即.
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
设B在边上关于的对称点为，，设，然后在中利用正弦定理可求出结果，
【详解】
如图：
设B在边上关于的对称点为，，则，
若，则，
在中，由正弦定理得，
故，
当，t最小，最小值为．
故选：A．
6．C
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断．
【详解】
因为，，与的夹角为，
所以，，，
所以满足，
因为，
所以，
所以，
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
将上面条件放到长方体或正方体中，再结合性质定理和判定定理即可判断结论是否成立.
【详解】
因为，是相异两平面，，是相异两直线，知：
对于A：若∥，，则，故A正确；
对于B：若，，则∥，故B正确；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：若∥，，则与相交、平行或异面，故D不正确.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
由题可知，根据几何关系可求AM、BM长度；由题可证BD⊥平面ABM，则过N作NH垂直于AB，则NH垂直于平面ABC，则.
【详解】
如图所示，∵AB是直径，M和N在球面上，∴，
即，
由等面积法得，
，
∵，
平面ABC，
过N作NH⊥AB，则NH⊥平面ABC，
则.
.
故选：B.
9．AB
【解析】
【分析】
由已知化简出复数的关系式，然后根据复数的模，共轭复数以及虚部的定义对应各个选项逐个判断即可．
【详解】
解：因为，
所以复数对应的点为，在第二象限，故A正确，
且，故B正确，
复数的共轭复数为，故C错误，
复数的虚部为1，故D错误，
故选：AB．
10．ACD
【解析】
【分析】
根据平移变换求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一分析判断即可得出答案.
【详解】
解：函数的图象向右平移个单位长度后，
得到函数，
则，故A正确；
当时，，
故函数在区间上不递增，故B错误；
因为为最大值，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
因为，
所以的图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
11．BCE
【解析】
【分析】
依据直线与平面位置关系的定义去判断直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行的相关说法的正确性即可.
【详解】
选项A：若直线与平面相交，则直线与平面有且只有一个公共点.说法错误；
选项B：若直线与平面平行，则直线与平面无公共点.说法正确；
选项C：若直线上两点在平面内，则直线在平面内.说法正确；
选项D：若直线与平面平行，则过直线的平面与这个平面相互平行或相交. 说法错误；
选项E：若直线与平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交. 说法正确；
故选：BCE
12．BC
【解析】
【分析】
A选项，根据平行得到k的范围；B选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出k的值；C选项，列出不等式，求出k的范围；D选项，举出反例.
【详解】
当与不共线，可以表示平面内任一向量，所以，
解得:且A错误；
若，则，所以，得：，B正确；
若，有，解得：，C正确；
当时，与平行，夹角不是锐角，错误.
故选：.
13． 1 3 -2
【解析】
【分析】
（1）根据向量方向相同和模长相等求出相应的关系；（2）根据向量方向相同和模长的倍数关系求出相应的关系；（3）根据向量方向相反及模长的倍数关系求出相应的关系.
【详解】
（1）因为方向相同，且，故，
（2）由于方向相同，且，故，
（3）由于方向相反，且，故.
14．或
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标表示公式，结合特殊角的正弦值、余弦值进行求解即可.
【详解】
解析　由题意知＝＝(sin α，cos β)，
∴sin α＝－，cos β＝，
又∵α，β∈，
∴α＝，β＝或－，
∴α＋β＝或－.
故答案为：或
15．
【解析】
【分析】
结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.
【详解】
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，，
同理．
又，
所以．
在△ADF中，由勾股定理可得，
即，化简得，
由基本不等式得，解得
（当且仅当时取等号），所以．
故答案为：
16．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据辅角公式可知原函数为，再将其按照题意平移后函数，根据函数为偶函数，可知，由此即可求出结果.
【详解】
因为，
所以将函数的图象向右平移个单位长度后，
由题意可知，函数是偶函数，
所以，即.
故答案为：（答案不唯一）.
17．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，可得，根据平行四边形的性质并连接，取中点，连接，，则△，△均为正三角形，可得且，根据线面、面面垂直的判定证明面面，延长，作于，由面面垂直的性质有面，进而求、，再由棱锥的体积公式求的体积；
（2）连接，根据余弦定理可得，再由勾股、余弦定理及同角三角函数的平方关系求、，进而求，利用求到面的距离，即可求与面所成角的正弦值.
(1)
，取的中点，连接，可得，，，
由平行四边形，可得，连接，取中点，连接，，
△，△均为正三角形，
且，又，
面，又面，
面面，
，，可得，
延长，作于，
面面，且面面，
面，
，，
.
(2)
连接，在△中，，
，，，
由余弦定理有：，可得，
，
，，
，又，
设到面的距离为，，，
，可得，
设与面所成角为，则.
18．(1)的最大值为2，最小值为
(2)
【解析】
【分析】
（1）先对函数化简变形得，，得，再利用正弦函数的性质可求得其最值，
（2）由，可得，然后利用诱导公式可得，再利用三角函数恒等变换公式对化简变形可得结果
(1)
，
由，得，
所以，
所以，
所以的最大值为2，最小值为
(2)
因为，
所以，所以，
所以，
所以
19． L.
【解析】
【分析】
由题可知当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.
【详解】
如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS,
当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接，则，
∵，
又，
∴，
∴，
∴罐内液体车油最多还能剩 L.
20．.
【解析】
【分析】
根据给定条件结合同角公式及逆用差角的正弦公式计算作答.
【详解】
因，，两边平方相加得：，
则，
所以.
21．(1)或；
(2)或或；
(3)或.
【解析】
【分析】
（1）可得点的坐标为，然后可得，解出即可；
（2）可得或，解出即可；
（3）将点的坐标代入直线的方程求解即可.
(1)
复数在复平面内对应的点的坐标为
若点位于第二象限，则，解得或
(2)
若点位于第一或第三象限，则或
解得或或
(3)
若点在直线上，则
解得或
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由等边三角形的性质可得，由平面ACD，可得，则由线面垂直的判定可得平面，而∥，所以可得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论
(1)
取的中点，连接，
因为F为CD的中点，
所以∥，，
因为平面ACD，平面ACD，
所以∥，
所以∥，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
(2)
因为为等边三角形，F为CD的中点，
所以，
因为平面ACD，平面ACD，
所以，
因为，
所以平面，
因为∥，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
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