北师大版（2019）数学必修第二册三角函数单元测试（Word含解析）

三角函数
一、单选题
1．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3．将函数的图像向左平移个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图像，若，则的最大值为（　　）
A． B．π C． D．2π
4．设．若存在，使得，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．已知曲线C：y=cos2x，曲线E：，则下面结论正确的是（ ）
A．把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线E
B．把C.上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线E
C．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线E
D．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线E
6．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
7．半径为2，圆心角为的扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
8．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．要得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
C．向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的
10．函数的图象与函数的图象关于y轴对称，下列说法正确的是（ ）
A．函数
B．把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
C．函数与函数在上单调性相反
D．函数，满足，且，则
11．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象的最小正周期为
B．的图象的对称轴方程为
C．的图象的对称中心为
D．的单调递增区间为
12．下列四个函数中，以为周期的函数有（　　）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知扇形弧长为20cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.
14．已知，则___________.
15．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数
②在区间单调递增
③的最大值为1
④在有4个零点
其中所有正确结论的编号是______.
16．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________．
四、解答题
17．已知．
(1)设，求的值域；
(2)设，求的值．
18．函数的部分图象如图：
(1)求解析式；
(2)求函数的单调增区间.
19．已知函数.
(1)求的单调减区间；
(2)求证：的图象关于直线对称.
20．已知函数，其中.
(1)若函数的周期为，求函数在上的值域；
(2)若在区间上为增函数，求的最大值，并探究此时函数的零点个数.
21．已知函数，．
(1)求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
22．已知函数.
(1)用“五点法”做出函数在上的简图；
(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
将点的坐标代入方程，求出的值，然后利用已知条件求出的值，从而将代入方程即可求解．
【详解】
解：由题意，因为（）过点，
所以，
所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以当时，，所以，
点N的纵坐标为，
故选：D．
2．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式求解
【详解】
，
故选：B
3．C
【解析】
【分析】
先求出的解析式，然后根据得到，，，这是本题的关键，接下来求出，，得到的最大值.
【详解】
由题意得：，因为，即，
而最大值为2，最小值为-2，相差为4，
∴，，
令，，解得：，，
令，，解得：，.
∵
∴要想取得最大值，则当，，当，，
此时的最大值为.
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
由题设在上存在一个增区间，结合、且，有必为的一个子区间，即可求的范围.
【详解】
由题设知：，，又，
所以在上存在一个增区间，又，
所以，根据题设知：必为的一个子区间，即，
所以，即的最小值是.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：结合题设条件判断出必为的一个子区间.
5．B
【解析】
【分析】
利用三角函数图象的伸缩变换和平移变换，结合诱导公式分析每一个选项即得解.
【详解】
A. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后得到，再向左平移个单位长度得到曲线，故该选项错误；
B. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后得到，再向右平移个单位长度得到曲线，故该选项正确；
C. 把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后得到，再向右平移个单位长度得到曲线，故该选项错误；
D. 把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后得到，，再向左平移个单位长度得到曲线，故该选项错误.
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
由题意得，，即可求出，再根据函数过点，代入即可求出，即可可得函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：由题意得，，则，∴，∴.
∵，∴，又，∴，
∴，令，解得，∴的单调递增区间为.
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
利用扇形的面积公式即得.
【详解】
由题可得.
故选：D．
8．A
【解析】
【分析】
利用特殊值逐项排除可得答案．
【详解】
因为，，
所以函数是奇函数，图象关于原点对称，
因为函数的解析式为，故排除C；
，故排除BD，
故选：A．
9．AC
【解析】
【分析】
首先根据题意，先分清楚，平移前和平移后的函数，然后根据选项描述的顺序，进行平移和伸缩变换验证即可得到答案.
【详解】
由题意可知，平移伸缩变换前函数是，平移伸缩变换后的函数是，
选项A和选项B，“横坐标伸长到原来的2倍”变为，要想得到 的图像，只需将的图像向左平移即可得到，故选项A正确，如果向左平移个单位，则变成，不满足，故选项B错误；
选项C，“向左平移个单位”变为，“把横坐标伸长到原来的2倍”，变为 ，故选项C正确；
选项D，“向左平移个单位”变为，“把横坐标伸长到原来的2倍”，变为 ，故选项D错误；
故选：AC.
10．ACD
【解析】
【分析】
根据题意得，进而结合三角函数的性质依次判断各选项即可得答案.
【详解】
解：∵函数的图象与函数的图象关于y轴对称，
∴，故A正确；
∵，
∴把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，B错误；
当时，，函数单调递增，
，函数单调递减，C正确；
作出函数的图象如图，记点，点，通过上下平移直线l，可知：的取值范围为，D正确．
故选：ACD．
11．CD
【解析】
【分析】
根据给定条件求出函数的解析式，再对各选项逐一分析、计算判断作答.
【详解】
观察图象知，，函数的周期为，有，，，
由得：，而，则有，因此，，
对于A，函数的周期，A不正确；
对于B，由得的图象的对称轴：，B不正确；
对于C，由得：，的图象的对称中心为，C正确；
对于D，由得：，
则有的单调递增区间为，D正确.
故选：CD
12．AC
【解析】
【分析】
对于A、B：利用周期公式直接求周期；
对于C：利用周期函数的定义进行验证；
对于D：利用函数的图像判断出不是周期函数.
【详解】
对于A：的最小正周期为，故A正确；
对于B：的最小正周期为，故B正确；
对于C：对于，因为，所以为函数的周期，故C正确；
对于D：由的图像为：
得到的图像为：
所以不是周期函数，故D错误.
故选：AC
13．
【解析】
【分析】
求出扇形的半径后，利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】
由已知得孤长，，
所以该扇形的半径，
所以该扇形的面积.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
根据诱导公式化简，即可得到，由此即可求出.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：.
15．①③
【解析】
【分析】
利用奇偶性定义可判断①；时，可判断②；
分、时求出可判断故③； 时，由可判断④.
【详解】
因为，，所以①正确；
当时，，
当时，，
，时，单调递减，故②错误；
当时，，；
当时，，
综上的最大值为1，故③正确；
时，
由得，解得，
由不存在零点，
所以在有2个零点，故④错误.
故答案为：①③.
16．
【解析】
【分析】
根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式．
【详解】
由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过,，
把点的坐标代入三角函数的解析式，
，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
（2）由题意利用诱导公式及二倍角公式求得结果．
(1)
，
，所以，，
故当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值．
所以的值域为
(2)
由，
得．
于是．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由函数的最大值和最小值求A；由周期解得.由，解得：.即可求得解析式；
（2）直接利用复合函数单调性“同增异减”列不等式，即可求得单增区间.
(1)
由函数的最大值为2.最小值-2.可得A=2；
由从到为函数的一个周期，可得：，解得：.
所以
由在减区间上，且，解得：.
所以.
(2)
要求函数的单增区间，只需,
解得：，
所以函数的单调增区间为
19．(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调减区间为，，，求出的范围即可；
（2）要证的图象关于直线对称，即证.
(1)
，
由，得：，，
的单调减区间为，；
(2)
证明：∵，
∴，
，
∴，
∴的图象关于直线对称.
20．(1)
(2)最大值为，6个
【解析】
【分析】
(1)根据正弦的二倍角公式和辅助角公式可得，利用求出，进而求出，结合三角函数的性质即可得出结果；
(2)利用三角函数的性质求出的单调增区间，根据题意和集合之间的关系求出；将问题转化为函数与的图象交点的个数，作出图形，利用数形结合的思想即可得出答案.
(1)
由，
由周期为且，得，解得，即，
由，得，
故，
所以函数在上的值域为.
(2)
因为在区间上单调递增，
故在区间上为单调递增．
由题知，存在使得成立，则必有
则，解得，故，所以的最大值为.
当时，函数的零点个数转化为函数与的图象的公共点的个数.
画图得：
由图知与的图象的公共点的个数共6个，
即的零点个数为6个.
21．(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的周期性和单调性即可得出答案；
（2）根据周期变换和平移变换求出函数，再根据余弦函数的性质即可得出答案.
(1)
解：由函数，
则函数f（x）的最小正周期，
令，
解得，
所以函数f（x）的单调递增区间为；
(2)
解：函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到，
再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到，
当时，，
所以，
所以函数在区间上的值域为.
22．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据“五点法”作图法，列表、描点、作图，即可得到结果；
（2）将原问题转化为与在上有两个不同的交点，作出函数在的图象，由数形结合即可得到结果.
(1)
解：列表：
x 0
1 1 3 1
作图：
(2)
解：若方程在上有两个实根，
则与在上有两个不同的交点，
因为，所以
作出函数在的图象，如下图所示：
又，，，，
由图象可得，或，
故a的取值范围是.
答案第1页，共2页
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