《1.5.1 正弦函数图象与性质再认识》
《专题：正弦函数有关函数的奇偶性和周期性》
导学案 学生版
聚焦知识目标
1.判断正弦函数有关函数奇偶性．
2.应用正弦函数有关函数奇偶性
3.正弦函数有关函数周期性求法
数学素养
1.通过求相关函数的奇偶性判断和证明，培养逻辑推理素养．
2.通过应用相关函数的周期性，培养数学运算素养.
环节一 奇偶性
角度一 判断
【例1】 判断函数f＝lg
求定义域 判定义域对称特点 判f(-x),f(x)
解：
例2．判断函数f(x)＝的奇偶性．
解：
例3.下列函数是偶函数的是（）
Ay=sinx B.y=-2sinx Cy=1+sinx D.y=|sinx|
解：
环节一 奇偶性
角度二 应用
解：
例2.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于________.
f(0)=0 f(-x)+f(X)=0
解：
例3. 函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 .
解：
例4. 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π, 且当x∈[0,] 时,f(x)=sin x.当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.
设x属于所求区间 把x包装，属于已知区间上 求f() 求f(x)
解：
例5.若f(x)是R上偶函数，且当x≥0时，f(x)=sinx则f(x)的解析式是_.
解：
环节二 周期性
角度一 求周期
例1．函数f（x)＝1＋sin x 的最小正周期是( )
A． B．π C． D．2π
用定义法验证 用图象观察
解：
例2.函数f(x)=|sinx|的最小正周期是()
A.2π B.π
用定义法验证 用图象观察
例3.已知函数
(1)画出这个函数的图象；
(2)这个函数是周期函数吗 如果是，求出它的最小正周期；
提示：化为分段
解：
例4.函数f(x)=1g|sinx|是
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
解：
环节二 周期性
角度二 周期应用
例5.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是兀，且当 时，f(x)=sinx，则
的值为（）
解：
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
环节一 求单调区间
类型二 对数与正弦函数复合
例5.求函数 inx的递减区间.
如果对数底数大于1，原函数的增（减）区间就是真数在定义域上增（减）区间
如果对数底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是真数在定义域上减（增）区间
同增异减原理
解：由sinx>0，得2kπ所以函数 的递减区间为
例6.求函数 inx的递减区间.
解由sinx>0，得2kπ所以函数 的递减区间为
环节一 求单调区间
类型三 指数与正弦函数复合
例7.求函数 的递减区间
如果指数的底数大于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的增（减）区间
如果指数的底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的减（增）区间
同增异减原理 与对数复合相比不用考虑定义域
原函数的减区间，就是正弦函数的减区间
[2k +](k∈z)
例8.求函数 的递减区间.
如果指数的底数大于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的增（减）区间
如果指数的底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的减（增）区间
[2k -](k∈z)
环节二 利用单调性比大小
例1.比较sin与sin的大小；
比较三角函数值的大小的方法
(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)用函数的单调性比较大小，当不能将各角转化到同一单调区间上时，可借助图象或函数值的符号进行比较.
例2.比较sin 194°与cos 110°的大小
[解] ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，而y＝sin x在[0°，90°]上单调递增，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 20°，即sin 194°>cos 110°.
例3下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°【解析】选C.sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°.因
为正弦函数y=sin x在区间 [0,] 上为增函数,所以sin 11°sin 80°,即sin 11°环节二 y=ax+bcosx+c
考向一 不限角
例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为 .
提示
换元法，化为二次函数
令t=cos x,则-1≤t≤1.
所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.
所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.
y=1-cos 2x+4cos x=-(cos x-2)2+5,当cos x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,
当cos x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].
环节二 y=ax+bcosx+c
考向二 限角
例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.
【解析】设t=cosx，由于所以t=1， 因为t∈[-]，函数单调递减，所以当 即 时y有最大值6；当t=1即x=0时y有最小值-9.
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
提示
换元为二次型 分类讨论
解：
由 知，cosx∈[0，1].t=cosx∈[0，1]
解后心得
反思感悟 求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
环节二 y=
例1..求函数y=的值域;
提示
换元 分离常数 数形结合
t=cosx∈[-1,1)
y=
例2. 求函数 的值域.
t=cosx∈[-1,1] y=
[
解后心得
对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法）或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。
(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,由图象知x=或x=.
练习
环节二 利用图象研究交点问题
考点二 求交点个数
例1.从函数y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos x=- 的x有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【提示】选C.画出函数y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=- ,可得有两个交点.
解设f(x)=,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程-cos x=0有三个根.
例3.函数y=x2-cos x的零点个数为________.
【提示】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点有两个.
例4.方程2x=cos x的解的个数为
画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点个数
例5.方程cos x=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【提示】在同一坐标系中作函数y=cos x与y=lgx的图象,如图显然两图象.
环节二 利用图象研究交点问题
考点三 由交点个数求参
利用图象的对称性
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※《1.5.1 正弦函数图象与性质再认识》
《专题：正弦函数有关函数的奇偶性和周期性》
导学案 教师版
聚焦知识目标
1.判断正弦函数有关函数奇偶性．
2.应用正弦函数有关函数奇偶性
3.正弦函数有关函数周期性求法
数学素养
1.通过求相关函数的奇偶性判断和证明，培养逻辑推理素养．
2.通过应用相关函数的周期性，培养数学运算素养.
环节一 奇偶性
角度一 判断
【例1】 判断函数f＝lg
求定义域 判定义域对称特点 判f(-x),f(x)
[解] 由题意得，－1又f＝lg＝lg＝－lg＝－f，∴函数f是奇函数．
例2．判断函数f(x)＝的奇偶性．
[解] 函数的定义域为，
又f＝＝＝＝f.
所以，函数f是偶函数．
例3.下列函数是偶函数的是（）
Ay=sinx B.y=-2sinx Cy=1+sinx D.y=|sinx|
环节一 奇偶性
角度二 应用
C [由y＝＝|sin x|，知该函数为偶函数，当sin x≥0时，y＝sin x，
当sin x＜0时，y＝－sin x，作x≥0时y＝sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，
再关于y轴对称即作出y＝|sin x|的图象．]
例2.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于________.
f(0)=0 f(-x)+f(X)=0
【解析】定义域x∈R,因为f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin x-|a|,又f(x)=-f(-x),所以sin x-|a|=sin x+|a|,所以|a|=0,即a=0.
例3. 函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 .
解析因为f(a)=a3+sin a+1=2,所以a3+sin a=1.
所以f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-(a3+sin a)+1=-1+1=0.答案0
例4. 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π, 且当x∈[0,] 时,f(x)=sin x.当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.
设x属于所求区间 把x包装，属于已知区间上 求f() 求f(x)
【解析】(1)若x∈ ,则-x∈ .
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.
若x∈ ,则π+x∈ ,因为f(x)是最小正周期为π
的周期函数,所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x,
所以x∈[-π,0],f(x)=-sin x.
例5.若f(x)是R上偶函数，且当x≥0时，f(x)=sinx则f(x)的解析式是_.
设x<0时，一x>0,f(-x)=sin(-x)=-sinx,因为函数是偶函数，所以f(x）=-sinx.
环节二 周期性
角度一 求周期
例1．函数f（x)＝1＋sin x 的最小正周期是( )
A． B．π C． D．2π
用定义法验证 用图象观察
f（x+2π)＝1＋sin(x+2 )=f(x)，周期2
例2.函数f(x)=|sinx|的最小正周期是()
A.2π B.π
用定义法验证 用图象观察
画出函数f(x)=|sinx|的图象，易知其最小正周期是π
例3.已知函数
(1)画出这个函数的图象；
(2)这个函数是周期函数吗 如果是，求出它的最小正周期；
提示：化为分段
(2)由图象知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
例5.函数f(x)=1g|sinx|是
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
函数f(x)=lg|sinxl的定义域为{x|x≠kπ，k∈ Z}，关于原点对荷且f(-x)=1g|sin(-x)|=lg|sinx|=f(x)， 故函数f(x)为偶函数.由 f(x+π)=lg|sin(x+π)|=lg|-sinx|=lg|sinx|=f(x), 得f(x)的最小正周期为π.
环节二 周期性
角度二 周期应用
例4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是兀，且当 时，f(x)=sinx，则
的值为（）
利用性质调整自变量属于已知区间，代值求值
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
环节一 求单调区间
类型二 对数与正弦函数复合
例5.求函数 inx的递减区间.
如果对数底数大于1，原函数的增（减）区间就是真数在定义域上增（减）区间
如果对数底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是真数在定义域上减（增）区间
同增异减原理
解：由sinx>0，得2kπ所以函数 的递减区间为
例6.求函数 inx的递减区间.
解由sinx>0，得2kπ所以函数 的递减区间为
环节一 求单调区间
类型三 指数与正弦函数复合
例7.求函数 的递减区间
如果指数的底数大于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的增（减）区间
如果指数的底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的减（增）区间
同增异减原理 与对数复合相比不用考虑定义域
原函数的减区间，就是正弦函数的减区间
[2k +](k∈z)
例8.求函数 的递减区间.
如果指数的底数大于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的增（减）区间
如果指数的底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的减（增）区间
[2k -](k∈z)
环节二 利用单调性比大小
例1.比较sin与sin的大小；
比较三角函数值的大小的方法
(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)用函数的单调性比较大小，当不能将各角转化到同一单调区间上时，可借助图象或函数值的符号进行比较.
例2.比较sin 194°与cos 110°的大小
[解] ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，而y＝sin x在[0°，90°]上单调递增，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 20°，即sin 194°>cos 110°.
例3下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°【解析】选C.sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°.因
为正弦函数y=sin x在区间 [0,] 上为增函数,所以sin 11°sin 80°,即sin 11°环节二 y=ax+bcosx+c
考向一 不限角
例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为 .
提示
换元法，化为二次函数
令t=cos x,则-1≤t≤1.
所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.
所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.
y=1-cos 2x+4cos x=-(cos x-2)2+5,当cos x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,
当cos x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].
环节二 y=ax+bcosx+c
考向二 限角
例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.
【解析】设t=cosx，由于所以t=1， 因为t∈[-]，函数单调递减，所以当 即 时y有最大值6；当t=1即x=0时y有最小值-9.
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
提示
换元为二次型 分类讨论
解：
由 知，cosx∈[0，1].t=cosx∈[0，1]
解后心得
反思感悟 求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
环节二 y=
例1..求函数y=的值域;
提示
换元 分离常数 数形结合
t=cosx∈[-1,1)
y=
例2. 求函数 的值域.
t=cosx∈[-1,1] y=
[
解后心得
对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法）或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。
(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,由图象知x=或x=.
练习
环节二 利用图象研究交点问题
考点二 求交点个数
例1.从函数y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos x=- 的x有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【提示】选C.画出函数y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=- ,可得有两个交点.
解设f(x)=,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程-cos x=0有三个根.
例3.函数y=x2-cos x的零点个数为________.
【提示】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点有两个.
例4.方程2x=cos x的解的个数为
画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点个数
例5.方程cos x=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【提示】在同一坐标系中作函数y=cos x与y=lgx的图象,如图显然两图象.
环节二 利用图象研究交点问题
考点三 由交点个数求参
利用图象的对称性
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
