《1.5.2 余弦函数图象与性质再认识》
《专题课：余弦函数相关函数的值域求法》
导学案 教师版
聚焦知识目标
1.能用余弦函数的图象求值域．
2.能用换元法求复杂余弦函数相关函数的值域
数学素养
1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过余弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
环节一 y=acosx+b
例1.函数 的最小值、最大值分别为()
A.0.1 B.-1.1
解析由 的图象（如图）可知，当 时 有最大值；当x=π时y=cosx有最小值-1.故选D
例2.设M和m分别是函数y= cos x-1的最大值和最小值,则M+m= .
提示
主体是余弦，结合不等运算得整体函数值域
解析(1)因为cos x∈[-1,1], 所以M=×1-1=-,m=×(-1)-1=-,所以M+m=-
练习：函数y=2+cos x取最大值时,x的取值的集合为
答案:{x|x=2kπ,k∈Z}
练习：使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合为( )
A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}
B.{x|x=2kπ,k∈Z}
C.{x|x=2kπ+ ,k∈Z}
D.{x|x=2kπ- ,k∈Z}
【解析】选B.使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合,就是使函数y=cos x取得最大值时的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}.
例3.y=acos x+b的最大值是3,最小值是-1,求a和b.
提示
a的符号不定，分类讨论
【解析】①a>0时 a=2,b=1;
②a<0时 a=-2,b=1.
综合①②得a=2,b=1或a=-2,b=1.
例4.求作函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取得最大值时x的值.
描点、连线得出函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象: 由图可得,当x=2kπ+π,k∈Z时函数取得最大值,ymax=5.
环节二 y=ax+bcosx+c
考向一 不限角
例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为 .
提示
换元法，化为二次函数
令t=cos x,则-1≤t≤1.
所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.
所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.
y=1-cos 2x+4cos x=-(cos x-2)2+5,当cos x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,
当cos x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].
环节二 y=ax+bcosx+c
考向二 限角
例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.
【解析】设t=cosx，由于所以t=1， 因为t∈[-]，函数单调递减，所以当 即 时y有最大值6；当t=1即x=0时y有最小值-9.
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
提示
换元为二次型 分类讨论
解：
由 知，cosx∈[0，1].t=cosx∈[0，1]
解后心得
反思感悟 求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
环节二 y=
例1..求函数y=的值域;
提示
换元 分离常数 数形结合
t=cosx∈[-1,1)
y=
例2. 求函数 的值域.
t=cosx∈[-1,1] y=
[
解后心得
对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法）或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。
(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,由图象知x=或x=.
练习
环节二 利用图象研究交点问题
考点二 求交点个数
例1.从函数y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos x=- 的x有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【提示】选C.画出函数y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=- ,可得有两个交点.
解设f(x)=,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程-cos x=0有三个根.
例3.函数y=x2-cos x的零点个数为________.
【提示】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点有两个.
例4.方程2x=cos x的解的个数为
画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点个数
例5.方程cos x=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【提示】在同一坐标系中作函数y=cos x与y=lgx的图象,如图显然两图象.
环节二 利用图象研究交点问题
考点三 由交点个数求参
利用图象的对称性
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※《1.5.2 余弦函数图象与性质再认识》
《专题课：余弦函数相关函数的值域求法》
导学案 学生版
聚焦知识目标
1.能用余弦函数的图象求值域．
2.能用换元法求复杂余弦函数相关函数的值域
数学素养
1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过余弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
环节一 y=acosx+b
例1.函数 的最小值、最大值分别为()
A.0.1 B.-1.1
解：
例2.设M和m分别是函数y= cos x-1的最大值和最小值,则M+m= .
提示
主体是余弦，结合不等运算得整体函数值域
解：
练习：函数y=2+cos x取最大值时,x的取值的集合为
解：
练习：使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合为( )
A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}
B.{x|x=2kπ,k∈Z}
C.{x|x=2kπ+ ,k∈Z}
D.{x|x=2kπ- ,k∈Z}
解：
例3.y=acos x+b的最大值是3,最小值是-1,求a和b.
提示
a的符号不定，分类讨论
解：
例4.求作函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取得最大值时x的值.
解：
环节二 y=ax+bcosx+c
考向一 不限角
例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为 .
提示
换元法，化为二次函数
解：
例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.
解：
环节二 y=ax+bcosx+c
考向二 限角
例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.
解：
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
提示
换元为二次型 分类讨论
解：
解后心得
反思感悟 求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
环节三 y=
例1..求函数y=的值域;
提示
换元 分离常数 数形结合
解：
例2. 求函数 的值域.
解：
解后心得
对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法）或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。
(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,由图象知x=或x=.
练习
环节二 利用图象研究交点问题
考点二 求交点个数
例1.从函数y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos x=- 的x有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【提示】选C.画出函数y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=- ,可得有两个交点.
解设f(x)=,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程-cos x=0有三个根.
例3.函数y=x2-cos x的零点个数为________.
【提示】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点有两个.
例4.方程2x=cos x的解的个数为
画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点个数
例5.方程cos x=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【提示】在同一坐标系中作函数y=cos x与y=lgx的图象,如图显然两图象.
环节二 利用图象研究交点问题
考点三 由交点个数求参
利用图象的对称性
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
