《1.5.2 余弦函数图象与性质再认识》
《专题：余弦函数有关函数的奇偶性和周期性》
导学案 学生版
聚焦知识目标
1.能用余弦函数的图象判断周期性．
2.能用周期定义判断周期性
3.余弦函数相关函数的奇偶性判断与应用
数学素养
1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过余弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
环节一 引入新课
同学们，上图是余弦函数的图象，从图象上，我们可以看到余弦函数的最小正周期是2π，余弦函数y=cosx在R上是偶函数，对称轴x=kπ,k∈Z,对称中心(kπ+ ,0),k∈
Z. 这一节，我们学习余弦函数相关函数的奇偶性与周期性
环节二 奇偶性
判断
1.函数f(x)= ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解：
2. 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos x;
(2)f(x)=sincos;
(3)f(x)=.
解：
3.下列关于函数f(x)=的说法正确的是( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
解：
解后心得
判断与余弦函数有关函数奇偶性的处理方法
1.判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,需注意诱导公式的合理利用.
环节二 奇偶性
应用
1.已知函数y=cos x在(a,b)上是增函数,则y=cos x在(-b,-a)上是( )
A.增函数 B.减函数
C.增函数或减函数 D.以上都不对
奇同偶异
解：
2.函数 满足 求f
提示
诱导角 探究函数奇偶性
解：
3.函数y=-xcos x的部分图象是下图中的( )
奇偶性 正负性
解：
环节三 对称性
1.函数y=1+cos x的图象 ( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x= 对称
解：
2.函数y=cos x与函数y=-cos x的图象 ( )
A.关于直线x=1对称 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
解：
3.函数y=-3cos x的一条对称轴方程是( )
解：
4.(多选)关于三角函数的图象,有下列命题正确的是 ( )
A.y=sin|x|与y=sin x的图象关于y轴对称
B.y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同
C.y=|sin x|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称
D.y=cos x与y=cos(-x)的图象关于y轴对称
解：
5.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )
A.4 B.8 C.2π D.4π
对称性 补成矩形 S矩形=2×2π=4π
解：
环节四 周期性
角度一 求周期
1.已知函数y= cos x+ |cos x|.
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期;
解：
环节四 周期性
角度二 奇偶性与周期性小综合
1.函数f(x)=3cos x+4是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为2π的奇函数
解：
2.已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下面结论错误的是 ( )
A. 函数f(x)的最小正周期为2π
B. 函数f(x)在区间[0,] 上是增函数
C. 函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D. 函数f(x)是奇函数
解：
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
环节一 求单调区间
类型二 对数与正弦函数复合
例5.求函数 inx的递减区间.
如果对数底数大于1，原函数的增（减）区间就是真数在定义域上增（减）区间
如果对数底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是真数在定义域上减（增）区间
同增异减原理
解：由sinx>0，得2kπ所以函数 的递减区间为
例6.求函数 inx的递减区间.
解由sinx>0，得2kπ所以函数 的递减区间为
环节一 求单调区间
类型三 指数与正弦函数复合
例7.求函数 的递减区间
如果指数的底数大于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的增（减）区间
如果指数的底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的减（增）区间
同增异减原理 与对数复合相比不用考虑定义域
原函数的减区间，就是正弦函数的减区间
[2k +](k∈z)
例8.求函数 的递减区间.
如果指数的底数大于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的增（减）区间
如果指数的底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的减（增）区间
[2k -](k∈z)
环节二 利用单调性比大小
例1.比较sin与sin的大小；
比较三角函数值的大小的方法
(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)用函数的单调性比较大小，当不能将各角转化到同一单调区间上时，可借助图象或函数值的符号进行比较.
例2.比较sin 194°与cos 110°的大小
[解] ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，而y＝sin x在[0°，90°]上单调递增，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 20°，即sin 194°>cos 110°.
例3下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°【解析】选C.sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°.因
为正弦函数y=sin x在区间 [0,] 上为增函数,所以sin 11°sin 80°,即sin 11°环节二 y=ax+bcosx+c
考向一 不限角
例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为 .
提示
换元法，化为二次函数
令t=cos x,则-1≤t≤1.
所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.
所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.
y=1-cos 2x+4cos x=-(cos x-2)2+5,当cos x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,
当cos x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].
环节二 y=ax+bcosx+c
考向二 限角
例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.
【解析】设t=cosx，由于所以t=1， 因为t∈[-]，函数单调递减，所以当 即 时y有最大值6；当t=1即x=0时y有最小值-9.
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
提示
换元为二次型 分类讨论
解：
由 知，cosx∈[0，1].t=cosx∈[0，1]
解后心得
反思感悟 求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
环节二 y=
例1..求函数y=的值域;
提示
换元 分离常数 数形结合
t=cosx∈[-1,1)
y=
例2. 求函数 的值域.
t=cosx∈[-1,1] y=
[
解后心得
对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法）或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。
(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,由图象知x=或x=.
练习
环节二 利用图象研究交点问题
考点二 求交点个数
例1.从函数y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos x=- 的x有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【提示】选C.画出函数y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=- ,可得有两个交点.
解设f(x)=,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程-cos x=0有三个根.
例3.函数y=x2-cos x的零点个数为________.
【提示】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点有两个.
例4.方程2x=cos x的解的个数为
画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点个数
例5.方程cos x=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【提示】在同一坐标系中作函数y=cos x与y=lgx的图象,如图显然两图象.
环节二 利用图象研究交点问题
考点三 由交点个数求参
利用图象的对称性
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《专题：余弦函数有关函数的奇偶性和周期性》
导学案 教师版
聚焦知识目标
1.能用余弦函数的图象判断周期性．
2.能用周期定义判断周期性
3.余弦函数相关函数的奇偶性判断与应用
数学素养
1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过余弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
环节一 引入新课
同学们，上图是余弦函数的图象，从图象上，我们可以看到余弦函数的最小正周期是2π，余弦函数y=cosx在R上是偶函数，对称轴x=kπ,k∈Z,对称中心(kπ+ ,0),k∈
Z. 这一节，我们学习余弦函数相关函数的奇偶性与周期性
环节二 奇偶性
判断
1.函数f(x)= ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析)选A.定义域为 则f(x)是奇函数.
2. 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos x;
(2)f(x)=sincos;
(3)f(x)=.
解(1)定义域为R,且f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos x=-f(x),因此函数f(x)是奇函数.
(2)定义域为R,且f(-x)=sincos=-sincos=-f(x),因此函数f(x)是奇函数.
(3)函数应满足1-sin x≠0,
即函数的定义域为,显然定义域不关于原点对称,因此函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
3.下列关于函数f(x)=的说法正确的是( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
解析定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数.
解后心得
判断与余弦函数有关函数奇偶性的处理方法
1.判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,需注意诱导公式的合理利用.
环节二 奇偶性
应用
1.已知函数y=cos x在(a,b)上是增函数,则y=cos x在(-b,-a)上是( )
A.增函数 B.减函数
C.增函数或减函数 D.以上都不对
奇同偶异
【解析】选B.因为函数y=cos x为偶函数,所以在关于y轴对称的区间上单调性相反.
2.函数 满足 求f
提示
诱导角 探究函数奇偶性
【解析】设 显然F(-x)=-asin x-btanx=-F(x),故F(x)为奇函数.又因为
3.函数y=-xcos x的部分图象是下图中的( )
奇偶性 正负性
解析：因为函数y=-xcos x是奇函数,图象关于原点对称,所以排除A,C;当x∈0,时,y=-xcos x<0,故排除B,选D.
环节三 对称性
判断
1.函数y=1+cos x的图象 ( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x= 对称
函数y=1+cos x是偶函数.
2.函数y=cos x与函数y=-cos x的图象 ( )
A.关于直线x=1对称 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
图象异对称规则:
1.f(x)与f(-x)关于y轴
2.f(x)与-f(x)关于x轴
3.f(x)与-f(-x)关于原点
3.函数y=-3cos x的一条对称轴方程是( )
4.(多选)关于三角函数的图象,有下列命题正确的是 ( )
A.y=sin|x|与y=sin x的图象关于y轴对称
B.y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同
C.y=|sin x|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称
D.y=cos x与y=cos(-x)的图象关于y轴对称
解析对B,y=cos(-x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同;对D,y=cos(-x)=cosx,故其图象关于y轴对称,由作图可知AC均不正确.
5.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )
A.4 B.8 C.2π D.4π
对称性 补成矩形 S矩形=2×2π=4π
环节四 周期性
角度一 求周期
1.已知函数y= cos x+ |cos x|.
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期;
解析
环节四 周期性
角度二 奇偶性与周期性小综合
1.函数f(x)=3cos x+4是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为2π的奇函数
【解析】选B.f(-x)=3cos (-x)+4=3cos x+4=f(x),所以函数的最小正周期为2π,是偶函数.
2.已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下面结论错误的是 ( )
A. 函数f(x)的最小正周期为2π
B. 函数f(x)在区间[0,] 上是增函数
C. 函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D. 函数f(x)是奇函数
【解析】选D.因为 所以T=2π，A正确；
因为y=cos x在 上是减函数，所以y=-cosx在[0，2]上是增函数，B正确；由图象知y=-cosx关于直线x=0对称，C正确；
y=-cosx是偶函数，D错误.
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环节一 求单调区间
类型二 对数与正弦函数复合
例5.求函数 inx的递减区间.
如果对数底数大于1，原函数的增（减）区间就是真数在定义域上增（减）区间
如果对数底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是真数在定义域上减（增）区间
同增异减原理
解：由sinx>0，得2kπ所以函数 的递减区间为
例6.求函数 inx的递减区间.
解由sinx>0，得2kπ所以函数 的递减区间为
环节一 求单调区间
类型三 指数与正弦函数复合
例7.求函数 的递减区间
如果指数的底数大于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的增（减）区间
如果指数的底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的减（增）区间
同增异减原理 与对数复合相比不用考虑定义域
原函数的减区间，就是正弦函数的减区间
[2k +](k∈z)
例8.求函数 的递减区间.
如果指数的底数大于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的增（减）区间
如果指数的底数大于0小于1，原函数的增（减）区间就是正弦相关函数的减（增）区间
[2k -](k∈z)
环节二 利用单调性比大小
例1.比较sin与sin的大小；
比较三角函数值的大小的方法
(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)用函数的单调性比较大小，当不能将各角转化到同一单调区间上时，可借助图象或函数值的符号进行比较.
例2.比较sin 194°与cos 110°的大小
[解] ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，而y＝sin x在[0°，90°]上单调递增，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 20°，即sin 194°>cos 110°.
例3下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°【解析】选C.sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin 80°.因
为正弦函数y=sin x在区间 [0,] 上为增函数,所以sin 11°sin 80°,即sin 11°环节二 y=ax+bcosx+c
考向一 不限角
例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为 .
提示
换元法，化为二次函数
令t=cos x,则-1≤t≤1.
所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.
所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.
y=1-cos 2x+4cos x=-(cos x-2)2+5,当cos x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,
当cos x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].
环节二 y=ax+bcosx+c
考向二 限角
例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.
【解析】设t=cosx，由于所以t=1， 因为t∈[-]，函数单调递减，所以当 即 时y有最大值6；当t=1即x=0时y有最小值-9.
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
提示
换元为二次型 分类讨论
解：
由 知，cosx∈[0，1].t=cosx∈[0，1]
解后心得
反思感悟 求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
环节二 y=
例1..求函数y=的值域;
提示
换元 分离常数 数形结合
t=cosx∈[-1,1)
y=
例2. 求函数 的值域.
t=cosx∈[-1,1] y=
[
解后心得
对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法）或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。
(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,由图象知x=或x=.
练习
环节二 利用图象研究交点问题
考点二 求交点个数
例1.从函数y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos x=- 的x有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【提示】选C.画出函数y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=- ,可得有两个交点.
解设f(x)=,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图可知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,故方程-cos x=0有三个根.
例3.函数y=x2-cos x的零点个数为________.
【提示】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点有两个.
例4.方程2x=cos x的解的个数为
画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点个数
例5.方程cos x=lgx的实根的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数个
【提示】在同一坐标系中作函数y=cos x与y=lgx的图象,如图显然两图象.
环节二 利用图象研究交点问题
考点三 由交点个数求参
利用图象的对称性
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