2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（1）-同步配套分层练习
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| 名称 | 2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（1）-同步配套分层练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 162.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-28 09:10:17 | ||
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文档简介
【沪教版2020】必修第二册《第 6 章 三角》【同步配套分层练习】
【学生版】
6.1.3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（1）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的；（ ）
②存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立；（ ）
③对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立；（ ）
④等式sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°成立；（ ）
⑤对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查的两角和与差的正弦、余弦公式；关键这些都是等式，会灵活应用；否定命题可以举反例；
2、cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝（ ）
A．sin(α＋2β) B．sin α C．cos(α＋2β) D．cos α
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题主要考查对两角和与差的正弦、余弦公式的结构认识；
3、cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为（ ）
A．－ B. C．－ D.
4、已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于（ ）
A. B. C．－ D.
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值。
6、求值：（1）cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)= ；
（2）sin＋cos= ；
7、设角α为锐角，求证：
（1）cosα＋sinα＝cos；
（2）cosα－sinα＝cos.
8、已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求：角β的值；
【说明】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式求角；
求解给值求角的三个步骤：
1、求所求角的某一种三角比值；2、确定所求角的范围；3、在所求角的范围内，根据三角函数值确定角；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角形和
中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，
且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则cos(α－β)的值为( )
A. B．1 C. D．0
10、 “在△ABC中，cos Acos B＝________＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数；甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是 ；
11、（1）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求：cos∠POQ的值
（2）已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值；
12、如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，
以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，
x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是；
（1）求cos(α－β)的值；
（2）求2α－β的值；
【教师版】
6.1.3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（1）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的；（ ）
②存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立；（ ）
③对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立；（ ）
④等式sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°成立；（ ）
⑤对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立；（ ）
【提示】注意对两角和与差的正弦 余弦公式的特征与结构的认识；
【答案】①√；②√；③×；④√；⑤×；
【解析】对于①，根据公式的推导过程可得对任意的α，β都成立；所以，①是真命题；
对于②，当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β成立；所以，②是真命题；
对于③，当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；所以，③是假命题；
对于④，因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确；所以，④是真命题；
对于⑤，当α＝0°，β＝60°时，α，β，cos(0°－60°)＝cos0°－cos60°成立；所以，⑤是假命题；
【说明】本题考查的两角和与差的正弦、余弦公式；关键这些都是等式，会灵活应用；否定命题可以举反例；
2、cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝（ ）
A．sin(α＋2β) B．sin α C．cos(α＋2β) D．cos α
【提示】注意：应用两角差的余弦公式；
【答案】D；
【解析】由题可知，cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α；
【说明】本题主要考查对两角和与差的正弦、余弦公式的结构认识；
3、cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为（ ）
A．－ B. C．－ D.
【提示】注意：(α－35°)+(25°＋α)= 60°（特殊角）
【答案】B；
【解析】原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos 60°＝；
【说明】通过本题的求解，说明两角和与差的正弦、余弦公式的基本题型是：对于非特殊角通过加减转化为特殊角，然后结合公式，求特殊角的三角比；
4、已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于（ ）
A. B. C．－ D.
【提示】注意：根据公式要求，求出α的正弦、余弦，然后再套公式；
【答案】A；
【解析】由题意可得sin α＝，cos α＝，则cos＝coscos α＋sinsin α＝× ＋×＝.
【说明】两角和与差的正弦、余弦公式常见题型及解法：1、两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解；2、含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解；3、求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值。
【提示】注意：已知角与所求角之间的关系：β=(α＋β)－α；
【答案】；
【解析】因为α，β∈，所以0<α＋β<π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝；
【说明】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式的直接应用（或称：正用公式求值）；
相关的常见题型及解法：
1、两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解；
2、已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系，通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算；
3、由于和、差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换；
常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)；
6、求值：（1）cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)= ；
（2）sin＋cos= ；
【提示】注意：（1）(40°＋α)－(α－20°)= 60°；（2）=；
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝；
（2）原式＝2＝2＝2cos＝2cos＝2×＝；
【说明】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式的直接应用（或称：逆用公式求值）；
如（1）：逆用cos(α－β)的公式，首先要符合“cos αcos β＋sin αsin β ”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解；
7、设角α为锐角，求证：
（1）cosα＋sinα＝cos；
（2）cosα－sinα＝cos.
【提示】注意：理解两角差的正弦、余弦公式的结构特点，以及本质是：等式；
【证明】（1）证法一：右边＝coscosα＋sinsinα＝cosα＋sinα＝左边，等式成立．
证法二：联系等式左右两边可知是两角差的余弦公式，由于cos＝，sin＝，因此等式左边＝coscosα＋sinsinα＝cos＝右边，等式成立；
（2）证法一：右边＝＝＝cosα－sinα＝左边，等式成立．
证法二：联系等式左右两边可知是两角和的余弦公式，由于cos＝，sin＝，
因此等式左边＝＝＝cos＝右边，等式成立；
【说明】本题考查两角差的正弦、余弦公式的应用；实质是体验了“辅助角”公式的推导思路与过程；
8、已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求：角β的值；
【提示】注意：β＝[α－(α－β)]
【答案】；
【解析】由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝ ＝；
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为，cos(α－β)＝，所以，sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
又0<β<，所以，β＝；
【说明】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式求角；
求解给值求角的三个步骤：
1、求所求角的某一种三角比值；2、确定所求角的范围；3、在所求角的范围内，根据三角函数值确定角；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角形和
中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，
且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则cos(α－β)的值为( )
A. B．1 C. D．0
【提示】注意：阅读理解，等价转化；
【答案】A；
【解析】设大的正方形边长为1，由小正方形与大正方形面积之比为1∶25，
则小正方形的边长为，可得：cos α－sin α＝，①
sin β－cos β＝，②
由图可得：cos α＝sin β，sin α＝cos β，
①×②可得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos＝1－cos，
解得cos＝；
【说明】本题主要是以数学史为背景，通过平面几何性质找三角比之间关系，然后，依据两角差余弦公式的结构特点，“整体”变换、计算得到；
10、 “在△ABC中，cos Acos B＝________＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数；甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是 ；
【提示】依据两角和的余弦公式的变形，理解题设计算，然后，利用三角比值的特点比较大小；
【答案】b【解析】由题意，横线处的实数等于cos(A＋B)，即cos(π－C)，故当C是直角时，a＝cos(A＋B)＝cos＝0；
当C是锐角时，－1【说明】本题综合考查了两角和的余弦公式的化简作用；然后，利用三角比值的取值范围与不等式的传递性，综合比较；
11、（1）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求：cos∠POQ的值
（2）已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值；
【提示】（1）先由任意角三角函数的定义求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依据∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及两角和的余弦公式求值；（2）先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β；
【答案】（1）；（2）①；②β＝；
【解析】（1）由题意可得，cos∠xOP＝，所以sin∠xOP＝；
再根据cos∠xOQ＝，可得sin∠xOQ＝－，
所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝×－×＝；
（2）①因为α，β∈，所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，
所以0＜α－β＜，所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.
②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝；
【说明】在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1、当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；2、当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角；
12、如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，
以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，
x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是；
（1）求cos(α－β)的值；
（2）求2α－β的值；
【提示】注意：由题设先求得“锐角α与钝角β”的三角比，然后，套公式计算
【解析】（1）由题意知，OA＝OM＝1，因为S△OAM＝OA·OMsin α＝，所以sin α＝，
又α为锐角，所以cos α＝；
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
（2）因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，sin α＝>，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，所以2α－β∈，所以2α－β＝－；
【说明】本题考查了结合相关知识创设利用两角和差的正弦、余弦公式的条件；注意：已知三角比求角，应关注由三角比的值“精确”角的取值范围，避免产生增根；
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【学生版】
6.1.3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（1）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的；（ ）
②存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立；（ ）
③对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立；（ ）
④等式sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°成立；（ ）
⑤对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查的两角和与差的正弦、余弦公式；关键这些都是等式，会灵活应用；否定命题可以举反例；
2、cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝（ ）
A．sin(α＋2β) B．sin α C．cos(α＋2β) D．cos α
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题主要考查对两角和与差的正弦、余弦公式的结构认识；
3、cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为（ ）
A．－ B. C．－ D.
4、已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于（ ）
A. B. C．－ D.
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值。
6、求值：（1）cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)= ；
（2）sin＋cos= ；
7、设角α为锐角，求证：
（1）cosα＋sinα＝cos；
（2）cosα－sinα＝cos.
8、已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求：角β的值；
【说明】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式求角；
求解给值求角的三个步骤：
1、求所求角的某一种三角比值；2、确定所求角的范围；3、在所求角的范围内，根据三角函数值确定角；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角形和
中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，
且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则cos(α－β)的值为( )
A. B．1 C. D．0
10、 “在△ABC中，cos Acos B＝________＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数；甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是 ；
11、（1）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求：cos∠POQ的值
（2）已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值；
12、如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，
以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，
x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是；
（1）求cos(α－β)的值；
（2）求2α－β的值；
【教师版】
6.1.3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（1）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的；（ ）
②存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立；（ ）
③对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立；（ ）
④等式sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°成立；（ ）
⑤对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立；（ ）
【提示】注意对两角和与差的正弦 余弦公式的特征与结构的认识；
【答案】①√；②√；③×；④√；⑤×；
【解析】对于①，根据公式的推导过程可得对任意的α，β都成立；所以，①是真命题；
对于②，当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β成立；所以，②是真命题；
对于③，当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；所以，③是假命题；
对于④，因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确；所以，④是真命题；
对于⑤，当α＝0°，β＝60°时，α，β，cos(0°－60°)＝cos0°－cos60°成立；所以，⑤是假命题；
【说明】本题考查的两角和与差的正弦、余弦公式；关键这些都是等式，会灵活应用；否定命题可以举反例；
2、cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝（ ）
A．sin(α＋2β) B．sin α C．cos(α＋2β) D．cos α
【提示】注意：应用两角差的余弦公式；
【答案】D；
【解析】由题可知，cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α；
【说明】本题主要考查对两角和与差的正弦、余弦公式的结构认识；
3、cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为（ ）
A．－ B. C．－ D.
【提示】注意：(α－35°)+(25°＋α)= 60°（特殊角）
【答案】B；
【解析】原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos 60°＝；
【说明】通过本题的求解，说明两角和与差的正弦、余弦公式的基本题型是：对于非特殊角通过加减转化为特殊角，然后结合公式，求特殊角的三角比；
4、已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于（ ）
A. B. C．－ D.
【提示】注意：根据公式要求，求出α的正弦、余弦，然后再套公式；
【答案】A；
【解析】由题意可得sin α＝，cos α＝，则cos＝coscos α＋sinsin α＝× ＋×＝.
【说明】两角和与差的正弦、余弦公式常见题型及解法：1、两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解；2、含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解；3、求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值。
【提示】注意：已知角与所求角之间的关系：β=(α＋β)－α；
【答案】；
【解析】因为α，β∈，所以0<α＋β<π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝；
【说明】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式的直接应用（或称：正用公式求值）；
相关的常见题型及解法：
1、两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解；
2、已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系，通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算；
3、由于和、差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换；
常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)；
6、求值：（1）cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)= ；
（2）sin＋cos= ；
【提示】注意：（1）(40°＋α)－(α－20°)= 60°；（2）=；
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝；
（2）原式＝2＝2＝2cos＝2cos＝2×＝；
【说明】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式的直接应用（或称：逆用公式求值）；
如（1）：逆用cos(α－β)的公式，首先要符合“cos αcos β＋sin αsin β ”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解；
7、设角α为锐角，求证：
（1）cosα＋sinα＝cos；
（2）cosα－sinα＝cos.
【提示】注意：理解两角差的正弦、余弦公式的结构特点，以及本质是：等式；
【证明】（1）证法一：右边＝coscosα＋sinsinα＝cosα＋sinα＝左边，等式成立．
证法二：联系等式左右两边可知是两角差的余弦公式，由于cos＝，sin＝，因此等式左边＝coscosα＋sinsinα＝cos＝右边，等式成立；
（2）证法一：右边＝＝＝cosα－sinα＝左边，等式成立．
证法二：联系等式左右两边可知是两角和的余弦公式，由于cos＝，sin＝，
因此等式左边＝＝＝cos＝右边，等式成立；
【说明】本题考查两角差的正弦、余弦公式的应用；实质是体验了“辅助角”公式的推导思路与过程；
8、已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求：角β的值；
【提示】注意：β＝[α－(α－β)]
【答案】；
【解析】由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝ ＝；
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为，cos(α－β)＝，所以，sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
又0<β<，所以，β＝；
【说明】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式求角；
求解给值求角的三个步骤：
1、求所求角的某一种三角比值；2、确定所求角的范围；3、在所求角的范围内，根据三角函数值确定角；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角形和
中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，
且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则cos(α－β)的值为( )
A. B．1 C. D．0
【提示】注意：阅读理解，等价转化；
【答案】A；
【解析】设大的正方形边长为1，由小正方形与大正方形面积之比为1∶25，
则小正方形的边长为，可得：cos α－sin α＝，①
sin β－cos β＝，②
由图可得：cos α＝sin β，sin α＝cos β，
①×②可得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos＝1－cos，
解得cos＝；
【说明】本题主要是以数学史为背景，通过平面几何性质找三角比之间关系，然后，依据两角差余弦公式的结构特点，“整体”变换、计算得到；
10、 “在△ABC中，cos Acos B＝________＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数；甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是 ；
【提示】依据两角和的余弦公式的变形，理解题设计算，然后，利用三角比值的特点比较大小；
【答案】b
当C是锐角时，－1
11、（1）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求：cos∠POQ的值
（2）已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值；
【提示】（1）先由任意角三角函数的定义求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依据∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及两角和的余弦公式求值；（2）先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β；
【答案】（1）；（2）①；②β＝；
【解析】（1）由题意可得，cos∠xOP＝，所以sin∠xOP＝；
再根据cos∠xOQ＝，可得sin∠xOQ＝－，
所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝×－×＝；
（2）①因为α，β∈，所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，
所以0＜α－β＜，所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.
②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝；
【说明】在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1、当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；2、当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角；
12、如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，
以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，
x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是；
（1）求cos(α－β)的值；
（2）求2α－β的值；
【提示】注意：由题设先求得“锐角α与钝角β”的三角比，然后，套公式计算
【解析】（1）由题意知，OA＝OM＝1，因为S△OAM＝OA·OMsin α＝，所以sin α＝，
又α为锐角，所以cos α＝；
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
（2）因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，sin α＝>，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，所以2α－β∈，所以2α－β＝－；
【说明】本题考查了结合相关知识创设利用两角和差的正弦、余弦公式的条件；注意：已知三角比求角，应关注由三角比的值“精确”角的取值范围，避免产生增根；
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