2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（2）-同步配套分层练习册
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（2）-同步配套分层练习册 |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 237.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-28 09:10:34 | ||
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文档简介
【沪教版2020】必修第二册《第 6 章 三角》【同步配套分层练习】
【学生版】
6.1.3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（2）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立；（ ）
②对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立；（ ）
③在保证等式tan(α＋β)＝有意义前提下，等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β) ；（ ）
④tan能用公式tan(α＋β)展开；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题主要考查了两角和差正切公式的成立，必须先保证各项有意义；
2、若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于（ ）
A. B．－ C．1 D．－1
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了两角和差正切公式的直接应用；
3、在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
4、已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A. B. C. D.
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知sin＝，α∈，则tan＝（ ）
A. B．－ C．7 D．－7
6、已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
7、设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝________.
8、已知，；
（1）求：的值；
（2）求：的值；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、图1是第七届国际数学教育大会(ICME 7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则sin∠A6OA8＝（ ）
A. B. C. D.
10、如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝________.
11、△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状；
12、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，
从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，
求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD；
【教师版】
6.1.3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（2）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立；（ ）
②对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立；（ ）
③在保证等式tan(α＋β)＝有意义前提下，等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β) ；（ ）
④tan能用公式tan(α＋β)展开；（ ）
【提示】注意：两角和差正切公式成立的限制条件与结构；
【答案】①√；②×；③√；④×；
【解析】对于①，当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立；所以，①是真命题；
对于②，两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)；所以，②是假命题；
对于③，当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子；所以，③是真命题；
对于④，当α=kπ＋(k∈Z)没有意义；所以，④是假命题；
【说明】本题主要考查了两角和差正切公式的成立，必须先保证各项有意义；
2、若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于（ ）
A. B．－ C．1 D．－1
【提示】注意：角之间关系：α＝[(α－β)＋β]；
【答案】A；
【解析】tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝；
【说明】本题考查了两角和差正切公式的直接应用；
3、在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
【提示】注意：理解两角和差正切公式的结构特征；
【答案】B；
【解析】因为，∠C＝120°，所以，∠A＋∠B＝60°，所以，tan(A＋B)＝＝，
则，tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，解得tan A·tan B＝；故选B；
【说明】本题考查了两角和差正切公式的结构特点；注意：“tan A＋tan B”、“tan A·tan B”易与一元二次方程交汇；
4、已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A. B. C. D.
【提示】注意：已知三角比求角必须注意取值范围；
【答案】B；
【解析】sin α＝，且α为锐角，则cos α＝，tan α＝，
所以，tan(α＋β)＝＝＝－1，
又α＋β∈，故α＋β＝；
【说明】本题考查了利用两角和差正切公式求角；特别注意：确定角的范围；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知sin＝，α∈，则tan＝（ ）
A. B．－ C．7 D．－7
【提示】注意：；
【答案】B；
【解析】因为sin＝，所以cos α＝，又α∈，所以sin α＝－，所以tan α＝＝－，
所以tan＝＝＝－；
【说明】本题考查了利用两角和差正切公式求值；关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解；
6、已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
【提示】先利用利用两角和正切公式求tan(A＋B)值，再确定A＋B的取值范围；
【答案】；
【解析】因为，B为锐角，sin B＝，所以，cos B＝，则tan B＝，
所以，tan(A＋B)＝＝＝1.
又因为，0【说明】本题考查了利用两角和差正切公式求角；关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小；
7、设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝________.
【提示】注意：将题设与两角和的正切公式进行“结构”类比；
【答案】；
【解析】因为，tan＝＝tan，tan θ＝，所以，＋θ＝kπ＋，则θ＝kπ＋；
所以，tan θ＝tan＝，即＝；
【说明】本题综合了考查正切比定义与两角和的正切公式进行“结构”、已知正切比求角；渗透了数学换元法；
8、已知，；
（1）求：的值；
（2）求：的值；
【提示】（1）注意：；（2）注意：与两角和的正弦、余弦公式的结合与注意三角变换；
【解析】（1）方法1、由
方法2、由tan＝2，所以，＝2，所以，＝2，解得tan α＝；
（2原式＝＝＝
＝tan(β－α)＝＝＝；
【说明】本题考查了两角和差公式的灵活运用；概括而言：利用两角和差正切公式化简求值应该注意；1、分析式子结构，正确选用公式形式，应用时先从所化简（求值）式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换；2、化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简（求值）的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、图1是第七届国际数学教育大会(ICME 7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则sin∠A6OA8＝（ ）
A. B. C. D.
【提示】注意：结合平面几何理解得到∠A6OA8＝sin；
【答案】A；
【解析】因为，OA1＝A1A2＝1，且△OA1A2是直角三角形，
所以，OA2＝，同理得OA6＝，OA7＝，OA8＝，
所以，sin∠A6OA7＝，cos∠A6OA7＝，sin∠A7OA8＝，cos∠A7OA8＝，
则sin∠A6OA8＝sin＝×＋×＝.
【说明】本题是锐角三角比与两角和的正弦比公式的交汇；
10、如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝________.
【提示】注意：隐含的直角三角形及与“已知三角比求角的结合”；
【答案】；
【解析】由题图易知tan α＝，tan β＝，γ＝，所以，tan(α＋β)＝＝1，则，由题意知α＋β＝，
所以，α＋β＋γ＝.
【说明】本题整合数形结合思想，锐角三角比与借助先求正切比再求角；
11、△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状；
【提示】注意：一元二次方程“根与系数”关系与两角和正切公式的联系；
【答案】钝角三角形；
【解析】由tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，则tan A+tan B=2>0，tan Atan B=>0
所以，tan A>0，tan B>0，又A，B，C∈(0，π)，所以，A∈，B∈，
又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－6<0，所以，C∈，所以，△ABC为钝角三角形；
【说明】当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体：一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围；
12、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，
从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，
求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD；
【提示】注意：阅读理解、转化；
【解析】如图，作AE⊥CD于点E.
因为AB∥CD，AB＝9 m，CD＝15 m，所以DE＝9 m，EC＝6 m；
设AE＝x，∠CAE＝α，
因为∠CAD＝45°，所以∠DAE＝45°－α；
在Rt△AEC和Rt△AED中，有tan α＝，tan(45°－α)＝；
因为tan(45°－α)＝，所以＝；
化简，得x2－15x－54＝0，
解得x＝18，x＝－3(舍去)；
即两座建筑物之间的距离BD等于18 m；
【说明】本题主要考查适当引入参数，通过构造直角三角形“创设”利用两角差的正切公式的条件，然后，依据“等式”求得待定的参数，根据实际问题回答；
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【学生版】
6.1.3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（2）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立；（ ）
②对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立；（ ）
③在保证等式tan(α＋β)＝有意义前提下，等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β) ；（ ）
④tan能用公式tan(α＋β)展开；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题主要考查了两角和差正切公式的成立，必须先保证各项有意义；
2、若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于（ ）
A. B．－ C．1 D．－1
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了两角和差正切公式的直接应用；
3、在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
4、已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A. B. C. D.
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知sin＝，α∈，则tan＝（ ）
A. B．－ C．7 D．－7
6、已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
7、设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝________.
8、已知，；
（1）求：的值；
（2）求：的值；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、图1是第七届国际数学教育大会(ICME 7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则sin∠A6OA8＝（ ）
A. B. C. D.
10、如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝________.
11、△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状；
12、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，
从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，
求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD；
【教师版】
6.1.3 两角和与差的正弦 余弦 正切公式（2）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立；（ ）
②对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立；（ ）
③在保证等式tan(α＋β)＝有意义前提下，等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β) ；（ ）
④tan能用公式tan(α＋β)展开；（ ）
【提示】注意：两角和差正切公式成立的限制条件与结构；
【答案】①√；②×；③√；④×；
【解析】对于①，当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立；所以，①是真命题；
对于②，两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)；所以，②是假命题；
对于③，当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子；所以，③是真命题；
对于④，当α=kπ＋(k∈Z)没有意义；所以，④是假命题；
【说明】本题主要考查了两角和差正切公式的成立，必须先保证各项有意义；
2、若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于（ ）
A. B．－ C．1 D．－1
【提示】注意：角之间关系：α＝[(α－β)＋β]；
【答案】A；
【解析】tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝；
【说明】本题考查了两角和差正切公式的直接应用；
3、在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
A. B. C. D.
【提示】注意：理解两角和差正切公式的结构特征；
【答案】B；
【解析】因为，∠C＝120°，所以，∠A＋∠B＝60°，所以，tan(A＋B)＝＝，
则，tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，解得tan A·tan B＝；故选B；
【说明】本题考查了两角和差正切公式的结构特点；注意：“tan A＋tan B”、“tan A·tan B”易与一元二次方程交汇；
4、已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A. B. C. D.
【提示】注意：已知三角比求角必须注意取值范围；
【答案】B；
【解析】sin α＝，且α为锐角，则cos α＝，tan α＝，
所以，tan(α＋β)＝＝＝－1，
又α＋β∈，故α＋β＝；
【说明】本题考查了利用两角和差正切公式求角；特别注意：确定角的范围；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知sin＝，α∈，则tan＝（ ）
A. B．－ C．7 D．－7
【提示】注意：；
【答案】B；
【解析】因为sin＝，所以cos α＝，又α∈，所以sin α＝－，所以tan α＝＝－，
所以tan＝＝＝－；
【说明】本题考查了利用两角和差正切公式求值；关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解；
6、已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.
【提示】先利用利用两角和正切公式求tan(A＋B)值，再确定A＋B的取值范围；
【答案】；
【解析】因为，B为锐角，sin B＝，所以，cos B＝，则tan B＝，
所以，tan(A＋B)＝＝＝1.
又因为，0
7、设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝________.
【提示】注意：将题设与两角和的正切公式进行“结构”类比；
【答案】；
【解析】因为，tan＝＝tan，tan θ＝，所以，＋θ＝kπ＋，则θ＝kπ＋；
所以，tan θ＝tan＝，即＝；
【说明】本题综合了考查正切比定义与两角和的正切公式进行“结构”、已知正切比求角；渗透了数学换元法；
8、已知，；
（1）求：的值；
（2）求：的值；
【提示】（1）注意：；（2）注意：与两角和的正弦、余弦公式的结合与注意三角变换；
【解析】（1）方法1、由
方法2、由tan＝2，所以，＝2，所以，＝2，解得tan α＝；
（2原式＝＝＝
＝tan(β－α)＝＝＝；
【说明】本题考查了两角和差公式的灵活运用；概括而言：利用两角和差正切公式化简求值应该注意；1、分析式子结构，正确选用公式形式，应用时先从所化简（求值）式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换；2、化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简（求值）的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、图1是第七届国际数学教育大会(ICME 7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则sin∠A6OA8＝（ ）
A. B. C. D.
【提示】注意：结合平面几何理解得到∠A6OA8＝sin；
【答案】A；
【解析】因为，OA1＝A1A2＝1，且△OA1A2是直角三角形，
所以，OA2＝，同理得OA6＝，OA7＝，OA8＝，
所以，sin∠A6OA7＝，cos∠A6OA7＝，sin∠A7OA8＝，cos∠A7OA8＝，
则sin∠A6OA8＝sin＝×＋×＝.
【说明】本题是锐角三角比与两角和的正弦比公式的交汇；
10、如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝________.
【提示】注意：隐含的直角三角形及与“已知三角比求角的结合”；
【答案】；
【解析】由题图易知tan α＝，tan β＝，γ＝，所以，tan(α＋β)＝＝1，则，由题意知α＋β＝，
所以，α＋β＋γ＝.
【说明】本题整合数形结合思想，锐角三角比与借助先求正切比再求角；
11、△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状；
【提示】注意：一元二次方程“根与系数”关系与两角和正切公式的联系；
【答案】钝角三角形；
【解析】由tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，则tan A+tan B=2>0，tan Atan B=>0
所以，tan A>0，tan B>0，又A，B，C∈(0，π)，所以，A∈，B∈，
又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－6<0，所以，C∈，所以，△ABC为钝角三角形；
【说明】当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体：一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围；
12、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，
从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，
求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD；
【提示】注意：阅读理解、转化；
【解析】如图，作AE⊥CD于点E.
因为AB∥CD，AB＝9 m，CD＝15 m，所以DE＝9 m，EC＝6 m；
设AE＝x，∠CAE＝α，
因为∠CAD＝45°，所以∠DAE＝45°－α；
在Rt△AEC和Rt△AED中，有tan α＝，tan(45°－α)＝；
因为tan(45°－α)＝，所以＝；
化简，得x2－15x－54＝0，
解得x＝18，x＝－3(舍去)；
即两座建筑物之间的距离BD等于18 m；
【说明】本题主要考查适当引入参数，通过构造直角三角形“创设”利用两角差的正切公式的条件，然后，依据“等式”求得待定的参数，根据实际问题回答；
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