2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.2 二倍角公式-同步配套分层练习
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.2 二倍角公式-同步配套分层练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 525.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-28 09:10:51 | ||
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文档简介
【沪教版2020】必修第二册《第 6 章 三角》【同步配套分层练习】
【学生版】
6.2.2 二倍角公式
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角；（ ）
②存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立；（ ）
③对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立；（ ）
④对于任意的角x，等式cos 2x都成立；（ ）
⑤对于任意的角x，等式cos 2x都成立；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了对二倍公式特征的理解与推导、变形；强调公式的灵活应用与变形；
2、已知，为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了二倍角公式与同角三角比的简单交汇；
3、已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
4、若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、若＝，则tan 2α＝
6、已知，则锐角＝________
7、已知，且，求：的值。
8、证明下列恒等式：
（1）；（2）.
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则sin∠AOB＝（ ）
A. B. C. D.
10、如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，
现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积
的三分之二，则应按角________来截.
11、化简：．
12、在①sin α>0，②cos α<0，③tan α>0这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答；
已知____________，且|sin α|＝；
（1）求cos α和tan α的值；（2）求sin 2α－cos 2α的值；
【教师版】
6.2.2 二倍角公式
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角；（ ）
②存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立；（ ）
③对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立；（ ）
④对于任意的角x，等式cos 2x都成立；（ ）
⑤对于任意的角x，等式cos 2x都成立；（ ）
【提示】理解公式的特征与推导方法；
【答案】①×；②√；③×；④√；⑤√；
【解析】对于①，二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，所以，①是假命题；
对于②，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α；所以，②是真命题；
对于③，当cos α＝时，cos 2α＝2cos α；所以，③是假命题；
对于④，由cos 2x＝，所以，④是真命题；
对于⑤，由cos 2x＝，所以，⑤是真命题；
【说明】本题考查了对二倍公式特征的理解与推导、变形；强调公式的灵活应用与变形；
2、已知，为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意：已知角与所求角是“二倍”关系，直接使用公式；
【答案】B
【解析】因为，，为第二象限角，所以，，
则；
【说明】本题考查了二倍角公式与同角三角比的简单交汇；
3、已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意：二倍角正弦公式的应用
【答案】C；
【解析】由已知可得，，
则
【说明】本题是任意角的三角比、二倍角公式与关于“正弦、余弦的齐次式”的交汇；
4、若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意：角与之间的联系；
【答案】A；
【解析】方法1、因为，所以，
又因为；
方法2、同方法一求得
因为，；
所以；
【说明】本题以已知角与所求的“二倍”关系为主线；考查了二倍角公式的直接应用与结合化切为弦的间接应用；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、若＝，则tan 2α＝
【提示】注意：已知角与所求的“二倍”关系
【答案】；
【解析】因为＝，整理得tanα＝－3，所以tan2α＝＝＝；
【说明】本题考查了二倍角的正切公式与正弦、余弦齐次式的交汇；
6、已知，则锐角＝________
【提示】注意：利用公式将题设中二倍关系进行统一；
【答案】；
【解析】由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，
所以，(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0，
所以，2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0，即，2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.
又因为，α为锐角，所以，cos2α≠0，sin α＋1≠0，所以，2sin α－1＝0，
所以，sinα＝，则α＝
【说明】本题利用二倍角公式，结合三角变换进行化简；同时，考查了仔细审题，注意“锐角”与已知三角比结合角的取值范围，求角；
7、已知，且，求：的值。
【提示】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解；
【答案】；
【解析】原式；
因为，，所以，．
又因为，，所以，，
所以，，则．
又因为，，
所以，．
【说明】本题以二倍角关系为主线，进行先化简再计算；特别提醒：要注意由三角比符合“缩小”角的范围，避免产生增根，以及切合题设，进行角“ ”与“”的变换方法，
即；
8、证明下列恒等式：
（1）；（2）.
【提示】（1）利用二倍角降幂公式结合诱导公式可证得等式成立；（2）利用二倍角余弦公式结合弦化切的思想化简可证得等式成立；
【解析】（1）；
（2）
【说明】本题考查利用二倍角的正弦和余弦公式证明恒等式，在利用二倍角余弦公式时有升幂与降幂两种书写形式：升幂：；；降幂：；；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则sin∠AOB＝（ ）
A. B. C. D.
【提示】注意：通过阅读理解，画出草图，体现几何要素与条件；
【答案】D；
【解析】如图，由题意可得：AB＝6，
弧田面积S＝(弦×矢＋矢2)＝(6×矢＋矢2)＝平方米．
解得矢＝1，或矢＝－7(舍)，设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，
则，解得d＝4，r＝5，所以，cos∠AOD＝＝，
所以，cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－1＝，可得sin∠AOB＝＝；
【说明】本题通过题设的几何对称，巧妙地融入了角的“二倍”关系，由此，建立实际问题与二倍角余弦的联系，再借助同角三角比关系解之；
10、如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，
现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积
的三分之二，则应按角________来截.
【提示】设正方形的边长为，
可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得的，
结合可求得的值；
【答案】或
【解析】设正方形的边长为，则正方形的边长为，
由题意可得，即，可得，
因为，则，所以，或，解得或；
故答案为：或.
【说明】本题主要通过以角为参数，结合几何性质，建立三角比之间的联系，然后通过三角变换，求得二倍角的三角比，再根据角的范围求角；
11、化简：．
【提示】注意：题设中角之间的“二倍”关系；观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简；
【答案】；
【解析】方法1、原式
；
方法2、原式
；
方法3、原式
；
方法4、原式
．
【说明】本题是利用二倍角公式化简三角比问题；在对三角比作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法；
探究三角函数式化简、证明的常用技巧：1、特殊角的三角函数与特殊值的互化；2、对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；3、对于二次根式，注意倍角公式的逆用；4、利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；5、利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等；
12、在①sin α>0，②cos α<0，③tan α>0这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答；
已知____________，且|sin α|＝；
（1）求cos α和tan α的值；（2）求sin 2α－cos 2α的值；
【提示】这是现行的“结构不良”题型；规范解题步骤、注意解题格式往往可以发现解题的切入点；
【解析】方案1、选择①②；
（1）由已知可得，α为第二象限角，sin α＝，cos α＝－＝－，tan α＝＝－.
（2）sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，
则sin 2α－cos 2α＝－－＝－；
方案2、选择①③；
（1）由已知，α为第一象限角，sin α＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
（2）sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，
则sin 2α－cos 2α＝－＝；
方案3、选择②③；
（1）由已知，α为第三象限角，sin α＝－，cos α＝－ ＝－，tan α＝＝.
（2）sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，
则sin 2α－cos 2α＝－＝；
【说明】本题考查了结合教材的研究过程与例题，与命题知识交汇进行探究、解答；
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【学生版】
6.2.2 二倍角公式
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角；（ ）
②存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立；（ ）
③对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立；（ ）
④对于任意的角x，等式cos 2x都成立；（ ）
⑤对于任意的角x，等式cos 2x都成立；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了对二倍公式特征的理解与推导、变形；强调公式的灵活应用与变形；
2、已知，为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了二倍角公式与同角三角比的简单交汇；
3、已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
4、若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、若＝，则tan 2α＝
6、已知，则锐角＝________
7、已知，且，求：的值。
8、证明下列恒等式：
（1）；（2）.
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则sin∠AOB＝（ ）
A. B. C. D.
10、如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，
现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积
的三分之二，则应按角________来截.
11、化简：．
12、在①sin α>0，②cos α<0，③tan α>0这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答；
已知____________，且|sin α|＝；
（1）求cos α和tan α的值；（2）求sin 2α－cos 2α的值；
【教师版】
6.2.2 二倍角公式
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角；（ ）
②存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立；（ ）
③对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立；（ ）
④对于任意的角x，等式cos 2x都成立；（ ）
⑤对于任意的角x，等式cos 2x都成立；（ ）
【提示】理解公式的特征与推导方法；
【答案】①×；②√；③×；④√；⑤√；
【解析】对于①，二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，所以，①是假命题；
对于②，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α；所以，②是真命题；
对于③，当cos α＝时，cos 2α＝2cos α；所以，③是假命题；
对于④，由cos 2x＝，所以，④是真命题；
对于⑤，由cos 2x＝，所以，⑤是真命题；
【说明】本题考查了对二倍公式特征的理解与推导、变形；强调公式的灵活应用与变形；
2、已知，为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意：已知角与所求角是“二倍”关系，直接使用公式；
【答案】B
【解析】因为，，为第二象限角，所以，，
则；
【说明】本题考查了二倍角公式与同角三角比的简单交汇；
3、已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意：二倍角正弦公式的应用
【答案】C；
【解析】由已知可得，，
则
【说明】本题是任意角的三角比、二倍角公式与关于“正弦、余弦的齐次式”的交汇；
4、若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意：角与之间的联系；
【答案】A；
【解析】方法1、因为，所以，
又因为；
方法2、同方法一求得
因为，；
所以；
【说明】本题以已知角与所求的“二倍”关系为主线；考查了二倍角公式的直接应用与结合化切为弦的间接应用；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、若＝，则tan 2α＝
【提示】注意：已知角与所求的“二倍”关系
【答案】；
【解析】因为＝，整理得tanα＝－3，所以tan2α＝＝＝；
【说明】本题考查了二倍角的正切公式与正弦、余弦齐次式的交汇；
6、已知，则锐角＝________
【提示】注意：利用公式将题设中二倍关系进行统一；
【答案】；
【解析】由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，
所以，(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0，
所以，2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0，即，2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.
又因为，α为锐角，所以，cos2α≠0，sin α＋1≠0，所以，2sin α－1＝0，
所以，sinα＝，则α＝
【说明】本题利用二倍角公式，结合三角变换进行化简；同时，考查了仔细审题，注意“锐角”与已知三角比结合角的取值范围，求角；
7、已知，且，求：的值。
【提示】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解；
【答案】；
【解析】原式；
因为，，所以，．
又因为，，所以，，
所以，，则．
又因为，，
所以，．
【说明】本题以二倍角关系为主线，进行先化简再计算；特别提醒：要注意由三角比符合“缩小”角的范围，避免产生增根，以及切合题设，进行角“ ”与“”的变换方法，
即；
8、证明下列恒等式：
（1）；（2）.
【提示】（1）利用二倍角降幂公式结合诱导公式可证得等式成立；（2）利用二倍角余弦公式结合弦化切的思想化简可证得等式成立；
【解析】（1）；
（2）
【说明】本题考查利用二倍角的正弦和余弦公式证明恒等式，在利用二倍角余弦公式时有升幂与降幂两种书写形式：升幂：；；降幂：；；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则sin∠AOB＝（ ）
A. B. C. D.
【提示】注意：通过阅读理解，画出草图，体现几何要素与条件；
【答案】D；
【解析】如图，由题意可得：AB＝6，
弧田面积S＝(弦×矢＋矢2)＝(6×矢＋矢2)＝平方米．
解得矢＝1，或矢＝－7(舍)，设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，
则，解得d＝4，r＝5，所以，cos∠AOD＝＝，
所以，cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－1＝，可得sin∠AOB＝＝；
【说明】本题通过题设的几何对称，巧妙地融入了角的“二倍”关系，由此，建立实际问题与二倍角余弦的联系，再借助同角三角比关系解之；
10、如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，
现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积
的三分之二，则应按角________来截.
【提示】设正方形的边长为，
可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得的，
结合可求得的值；
【答案】或
【解析】设正方形的边长为，则正方形的边长为，
由题意可得，即，可得，
因为，则，所以，或，解得或；
故答案为：或.
【说明】本题主要通过以角为参数，结合几何性质，建立三角比之间的联系，然后通过三角变换，求得二倍角的三角比，再根据角的范围求角；
11、化简：．
【提示】注意：题设中角之间的“二倍”关系；观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简；
【答案】；
【解析】方法1、原式
；
方法2、原式
；
方法3、原式
；
方法4、原式
．
【说明】本题是利用二倍角公式化简三角比问题；在对三角比作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法；
探究三角函数式化简、证明的常用技巧：1、特殊角的三角函数与特殊值的互化；2、对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；3、对于二次根式，注意倍角公式的逆用；4、利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；5、利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等；
12、在①sin α>0，②cos α<0，③tan α>0这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答；
已知____________，且|sin α|＝；
（1）求cos α和tan α的值；（2）求sin 2α－cos 2α的值；
【提示】这是现行的“结构不良”题型；规范解题步骤、注意解题格式往往可以发现解题的切入点；
【解析】方案1、选择①②；
（1）由已知可得，α为第二象限角，sin α＝，cos α＝－＝－，tan α＝＝－.
（2）sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，
则sin 2α－cos 2α＝－－＝－；
方案2、选择①③；
（1）由已知，α为第一象限角，sin α＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
（2）sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，
则sin 2α－cos 2α＝－＝；
方案3、选择②③；
（1）由已知，α为第三象限角，sin α＝－，cos α＝－ ＝－，tan α＝＝.
（2）sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，
则sin 2α－cos 2α＝－＝；
【说明】本题考查了结合教材的研究过程与例题，与命题知识交汇进行探究、解答；
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