2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.3 三角变换的应用（1）-同步配套分层练习
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.3 三角变换的应用（1）-同步配套分层练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 480.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-28 09:11:10 | ||
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文档简介
【沪教版2020】必修第二册《第 6 章 三角》【同步配套分层练习】
【学生版】
6.2.3 三角变换的应用（1）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①半角公式对任意角都适用；（ ）
②若是第一象限角，则；（ ）
③存在，使得 成立；（ ）
④对于任意，都不成立；（ ）
⑤对于任意等式， 成立；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了半角公式的适用范围、推导过程；辅助角公式的推导；
2、若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查诱导公式与半角公式的应用，考查分析与运算能力；特别注意：角的范围与三角比化简求值时，与“平方再开方”，用加绝对值“缓冲”一下。
3、已知为第三象限角，且，则等于（ ）
A. B. C． D．
4、已知为锐角，，则＝( )
A. B. C．2 D．3
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知且，则＝________
6、若为等腰三角形，顶角为，，则_________.
7、已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan ；
8、求证：。
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、有以下四个关于三角函数的命题：
①存在x0∈R，sin2＋cos2＝；
②存在x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；
③对任意的x∈[0，π]，＝sin x；
④sin x＝cos y x＋y＝；
其中真命题的个数有（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10、定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则sin＝________
11、如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，
过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，
与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.
（1）若sin α＝，求cos∠POQ；
（2）求△OPQ面积的最大值；
12、对任意实数，不等式恒成立，求：实数的取值范围。
【教师版】
6.2.3 三角变换的应用（1）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①半角公式对任意角都适用；（ ）
②若是第一象限角，则；（ ）
③存在，使得 成立；（ ）
④对于任意，都不成立；（ ）
⑤对于任意等式， 成立；（ ）
【提示】理解半角公式与辅助角公式；
【答案】①×；②√；③√；④×；⑤√；
【解析】对于①，半角公式适用的条件是：，对于都成立；
中，须满足；
中，须满足；所以，①是假命题；
对于②，若是第一象限角，则是第一、三象限角，此时成立，所以，②是真命题；
对于③，由，整理得，
解得，符合条件的的值，上式成立，但一般情况下不成立；所以，③是真命题；
对于④，当时，上式成立，但一般情况下不成立，所以，④是假命题；
对于⑤，由辅助角公式得等式成立，所以，⑤是真命题；
【说明】本题考查了半角公式的适用范围、推导过程；辅助角公式的推导；
2、若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【提示】利用诱导公式与升幂公式可得，再由即可求出答案；
【答案】D；
【解析】根据诱导公式与半角公式，化简，得.
因为，，所以，，则，
所以，；
【说明】本题考查诱导公式与半角公式的应用，考查分析与运算能力；特别注意：角的范围与三角比化简求值时，与“平方再开方”，用加绝对值“缓冲”一下。
3、已知为第三象限角，且，则等于（ ）
A. B. C． D．
【提示】注意：已知角与所求角成二倍关系；
【答案】C；
【解析】方法1、因为，α为第三象限角；所以，cos α＝－＝－ ＝－，
tan ＝＝＝－；
方法2、由，解，
解得或（舍去，为什么？）
【说明】本题主要考查了半角公式；特别注意：半角公式的“符号”确定；同时，通过解法1、2的比较，可以说明为什么引入与推导半角公式；
4、已知为锐角，，则＝( )
A. B. C．2 D．3
【提示】注意：由题设用表示，再用、表示的特点；
【答案】D；
【解析】因为，α为锐角，cos α＝，所以，sin α＝，则tan＝＝＝，
所以，tan＝＝＝3.
【说明】本题抓住“角”之间关系，综合考查了同角三角比公式、半角公式、两角和正切公式；其中，半角公式的使用，特别注意“符号”确定；对于若能巧用变形，绕开符号最好；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知且，则＝________
【提示】注意：用已知角“”表示所求角“”的特点
【答案】；
【解析】因为，且，所以，且；
方法1、
方法2、3、
【说明】本题主要考查了同角三角比公式与半角公式及其变形；
6、若为等腰三角形，顶角为，，则_________.
【提示】由三角形为等腰三角形可知，根据诱导公式及半角公式可化简求值；
【答案】；
【解析】因为为等腰三角形，顶角为，所以，，
由半角公式得，
又为钝角，，所以，故答案为：；
【说明】本题主要考查了诱导公式，半角公式，等腰三角形的性质；强调仔细审题“为等腰三角形， ”，挖掘隐含条件：，为钝角三角形；
7、已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan ；
【提示】注意：已知角与所求角是二倍关系；
【解析】sin ＝± ＝±＝±，
cos ＝± ＝±＝±，
tan ＝± ＝± ＝±.
因为，α为第四象限角，所以，为第二、四象限角．
当为第二象限角时，sin ＝，cos ＝－，tan ＝－；
当为第四象限角时，sin ＝－，cos ＝，tan ＝－；
【说明】本题考查了半角公式与象限角的半角所在象限及分类讨论；在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan ＝＝来求值．
利用半角公式求值的思路：
（1）观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
（2）下结论：结合（2）求值；
8、求证：。
【提示】注意：综合角的变化与分式的特征；
【解析】方法1、左边＝=右边；
所以原式成立；
方法2、左边＝
＝右边，所以原式成立；
【说明】综上，一般的证明三角恒等式的常用方法有
执因索果法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同
比较法 设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”
分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、有以下四个关于三角函数的命题：
①存在x0∈R，sin2＋cos2＝；
②存在x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；
③对任意的x∈[0，π]，＝sin x；
④sin x＝cos y x＋y＝；
其中真命题的个数有（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【提示】注意：根据角之间关系选择公式进行判别；
【答案】C；
【解析】因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；
当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以②为真命题；
因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以③为真命题；
当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以④为假命题；
【说明】本题综合考查了三角比的定义、同角三角比关系、二倍角公式，三角方程等；与命题的判别接下来交汇；
10、定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则sin＝________
【提示】理解新定义，并转化；
【答案】；
【解析】由题意可知，＝sin αcos β－sin βcos α＝sin(α－β)＝，
因为0<β<α<，所以0<α－β<，所以cos(α－β)＝，又cos α＝，所以sin α＝，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝－×＋×＝，
所以sin＝ ＝；答案：
【说明】本题综合考查两角差的正弦公式、同角三角比公式、二倍角公式与半角公式；
11、如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，
过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，
与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.
（1）若sin α＝，求cos∠POQ；
（2）求△OPQ面积的最大值；
【提示】注意：任意角的三角比的定义与寻找角的关系与利用三角变换化成一个角的一个三角比；
【解析】（1）由题意知∠QOM＝，因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝，
所以cos∠POQ＝cos＝coscos α＋sinsin α＝.
（2）由三角比的定义，得P(cos α，sin α)，从而Q(cos α，cos α)，
所以S△POQ＝|cos α||cos α－sin α|＝|cos2α－sin αcos α|
＝
＝
≤＝＋.
因为α∈，
所以当α＝－时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为＋；
【说明】本题综合考查对角与任意角的三角比研究前提“平面直角坐标系”，角的“顶点”在原点，始边在x轴的正半轴的再认识；综合考查了任意角的三角比、同角三角比、两角和差的三角比公式与辅助角公式，并与单位圆进行了交汇；
12、对任意实数，不等式恒成立，求：实数的取值范围。
【提示】注意：首先利用三角变换将“ ”化成“一个角的一个三角比”；
【答案】
【解析】因为对任意实数，不等式恒成立，
即对任意实数，不等式恒成立，即，
不妨设，利用辅助角公式，化简，得，且，
结合任意角的正弦的定义或单位圆，得
所以，因此，即，故实数的取值范围是，故答案为：；
【说明】本题考查了借助辅助角公式将“”化成“一个角的一个三角比”，然后，结合单位圆取出取值范围；所以，这个“知识点”往往与取值范围、最值、恒成立问题进行交汇；
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【学生版】
6.2.3 三角变换的应用（1）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①半角公式对任意角都适用；（ ）
②若是第一象限角，则；（ ）
③存在，使得 成立；（ ）
④对于任意，都不成立；（ ）
⑤对于任意等式， 成立；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了半角公式的适用范围、推导过程；辅助角公式的推导；
2、若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查诱导公式与半角公式的应用，考查分析与运算能力；特别注意：角的范围与三角比化简求值时，与“平方再开方”，用加绝对值“缓冲”一下。
3、已知为第三象限角，且，则等于（ ）
A. B. C． D．
4、已知为锐角，，则＝( )
A. B. C．2 D．3
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知且，则＝________
6、若为等腰三角形，顶角为，，则_________.
7、已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan ；
8、求证：。
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、有以下四个关于三角函数的命题：
①存在x0∈R，sin2＋cos2＝；
②存在x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；
③对任意的x∈[0，π]，＝sin x；
④sin x＝cos y x＋y＝；
其中真命题的个数有（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10、定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则sin＝________
11、如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，
过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，
与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.
（1）若sin α＝，求cos∠POQ；
（2）求△OPQ面积的最大值；
12、对任意实数，不等式恒成立，求：实数的取值范围。
【教师版】
6.2.3 三角变换的应用（1）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①半角公式对任意角都适用；（ ）
②若是第一象限角，则；（ ）
③存在，使得 成立；（ ）
④对于任意，都不成立；（ ）
⑤对于任意等式， 成立；（ ）
【提示】理解半角公式与辅助角公式；
【答案】①×；②√；③√；④×；⑤√；
【解析】对于①，半角公式适用的条件是：，对于都成立；
中，须满足；
中，须满足；所以，①是假命题；
对于②，若是第一象限角，则是第一、三象限角，此时成立，所以，②是真命题；
对于③，由，整理得，
解得，符合条件的的值，上式成立，但一般情况下不成立；所以，③是真命题；
对于④，当时，上式成立，但一般情况下不成立，所以，④是假命题；
对于⑤，由辅助角公式得等式成立，所以，⑤是真命题；
【说明】本题考查了半角公式的适用范围、推导过程；辅助角公式的推导；
2、若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【提示】利用诱导公式与升幂公式可得，再由即可求出答案；
【答案】D；
【解析】根据诱导公式与半角公式，化简，得.
因为，，所以，，则，
所以，；
【说明】本题考查诱导公式与半角公式的应用，考查分析与运算能力；特别注意：角的范围与三角比化简求值时，与“平方再开方”，用加绝对值“缓冲”一下。
3、已知为第三象限角，且，则等于（ ）
A. B. C． D．
【提示】注意：已知角与所求角成二倍关系；
【答案】C；
【解析】方法1、因为，α为第三象限角；所以，cos α＝－＝－ ＝－，
tan ＝＝＝－；
方法2、由，解，
解得或（舍去，为什么？）
【说明】本题主要考查了半角公式；特别注意：半角公式的“符号”确定；同时，通过解法1、2的比较，可以说明为什么引入与推导半角公式；
4、已知为锐角，，则＝( )
A. B. C．2 D．3
【提示】注意：由题设用表示，再用、表示的特点；
【答案】D；
【解析】因为，α为锐角，cos α＝，所以，sin α＝，则tan＝＝＝，
所以，tan＝＝＝3.
【说明】本题抓住“角”之间关系，综合考查了同角三角比公式、半角公式、两角和正切公式；其中，半角公式的使用，特别注意“符号”确定；对于若能巧用变形，绕开符号最好；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知且，则＝________
【提示】注意：用已知角“”表示所求角“”的特点
【答案】；
【解析】因为，且，所以，且；
方法1、
方法2、3、
【说明】本题主要考查了同角三角比公式与半角公式及其变形；
6、若为等腰三角形，顶角为，，则_________.
【提示】由三角形为等腰三角形可知，根据诱导公式及半角公式可化简求值；
【答案】；
【解析】因为为等腰三角形，顶角为，所以，，
由半角公式得，
又为钝角，，所以，故答案为：；
【说明】本题主要考查了诱导公式，半角公式，等腰三角形的性质；强调仔细审题“为等腰三角形， ”，挖掘隐含条件：，为钝角三角形；
7、已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan ；
【提示】注意：已知角与所求角是二倍关系；
【解析】sin ＝± ＝±＝±，
cos ＝± ＝±＝±，
tan ＝± ＝± ＝±.
因为，α为第四象限角，所以，为第二、四象限角．
当为第二象限角时，sin ＝，cos ＝－，tan ＝－；
当为第四象限角时，sin ＝－，cos ＝，tan ＝－；
【说明】本题考查了半角公式与象限角的半角所在象限及分类讨论；在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan ＝＝来求值．
利用半角公式求值的思路：
（1）观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
（2）下结论：结合（2）求值；
8、求证：。
【提示】注意：综合角的变化与分式的特征；
【解析】方法1、左边＝=右边；
所以原式成立；
方法2、左边＝
＝右边，所以原式成立；
【说明】综上，一般的证明三角恒等式的常用方法有
执因索果法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同
比较法 设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”
分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、有以下四个关于三角函数的命题：
①存在x0∈R，sin2＋cos2＝；
②存在x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；
③对任意的x∈[0，π]，＝sin x；
④sin x＝cos y x＋y＝；
其中真命题的个数有（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【提示】注意：根据角之间关系选择公式进行判别；
【答案】C；
【解析】因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；
当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以②为真命题；
因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以③为真命题；
当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以④为假命题；
【说明】本题综合考查了三角比的定义、同角三角比关系、二倍角公式，三角方程等；与命题的判别接下来交汇；
10、定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则sin＝________
【提示】理解新定义，并转化；
【答案】；
【解析】由题意可知，＝sin αcos β－sin βcos α＝sin(α－β)＝，
因为0<β<α<，所以0<α－β<，所以cos(α－β)＝，又cos α＝，所以sin α＝，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝－×＋×＝，
所以sin＝ ＝；答案：
【说明】本题综合考查两角差的正弦公式、同角三角比公式、二倍角公式与半角公式；
11、如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，
过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，
与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.
（1）若sin α＝，求cos∠POQ；
（2）求△OPQ面积的最大值；
【提示】注意：任意角的三角比的定义与寻找角的关系与利用三角变换化成一个角的一个三角比；
【解析】（1）由题意知∠QOM＝，因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝，
所以cos∠POQ＝cos＝coscos α＋sinsin α＝.
（2）由三角比的定义，得P(cos α，sin α)，从而Q(cos α，cos α)，
所以S△POQ＝|cos α||cos α－sin α|＝|cos2α－sin αcos α|
＝
＝
≤＝＋.
因为α∈，
所以当α＝－时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为＋；
【说明】本题综合考查对角与任意角的三角比研究前提“平面直角坐标系”，角的“顶点”在原点，始边在x轴的正半轴的再认识；综合考查了任意角的三角比、同角三角比、两角和差的三角比公式与辅助角公式，并与单位圆进行了交汇；
12、对任意实数，不等式恒成立，求：实数的取值范围。
【提示】注意：首先利用三角变换将“ ”化成“一个角的一个三角比”；
【答案】
【解析】因为对任意实数，不等式恒成立，
即对任意实数，不等式恒成立，即，
不妨设，利用辅助角公式，化简，得，且，
结合任意角的正弦的定义或单位圆，得
所以，因此，即，故实数的取值范围是，故答案为：；
【说明】本题考查了借助辅助角公式将“”化成“一个角的一个三角比”，然后，结合单位圆取出取值范围；所以，这个“知识点”往往与取值范围、最值、恒成立问题进行交汇；
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