2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.3三角变换的应用（2）-同步配套分层练习
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.2.3三角变换的应用（2）-同步配套分层练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 712.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-28 09:11:25 | ||
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文档简介
【沪教版2020】必修第二册《第 6 章 三角》【同步配套分层练习】
【学生版】
6.2.3 三角变换的应用（2）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①对于任意的，等式成立；（ ）
②对于任意的，等式成立；（ ）
③对于任意的，等式成立；（ ）
④对于任意的，等式成立；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题主要考查了和差化积公式的规范使用；
2、化为和差的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查积化和差公式的直接应用，与诱导公式解答交汇；
3、若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝( )
A． B．－ C． D．－
4、若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知，，则__________.
6、在中，若，则是__________三角形
7、推导辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)。
8、已知，，求，的值．
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、已知，均为锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10、设非负实数满足，求的最大值 ，最小值 ；
11、已知在△ABC中，A＞C，且B＝60°，能否利用log4sin A＋log4sin C＝－1求出A和C的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由。
12、（1）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求：sin(α＋β)的值；
（2）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求：cos(α＋β)的值；
（3）已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝－”，求：sin(α＋β)的值；
【教师版】
6.2.3 三角变换的应用（2）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①对于任意的，等式成立；（ ）
②对于任意的，等式成立；（ ）
③对于任意的，等式成立；（ ）
④对于任意的，等式成立；（ ）
【提示】先根据三角函数的和差化积公式化简，再判断是否正确；
【答案】①√；②×；③×；④×；
【解析】对于①，，所以，①是真命题；
对于②，，所以，②是假命题；
对于③，，所以，③是假命题；
对于④，
，所以，④是假命题；
【说明】本题主要考查了和差化积公式的规范使用；
2、化为和差的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【提示】直接利用积化和差公式化简即可；
【答案】B；
【解析】原式；故选：B；
【说明】本题考查积化和差公式的直接应用，与诱导公式解答交汇；
3、若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝( )
A． B．－ C． D．－
【提示】注意：灵活使用三角变换公式进行化简；
【答案】A；
【解析】因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos＝，因为sin 2x＋sin 2y＝，
所以2sincos＝，所以2sin·＝，所以sin(x＋y)＝，故选A；
【说明】本题主要考查了两角差的余弦公式与和差化积公式；强调对公式特征的理解与对推导过程的了解；
4、若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提示】通过二倍角降幂公式化简，再利用和差化积公式以及将，
化简为，再根据单位圆得出答案；
【答案】C；
【解析】
因为，，所以，．
又因为，，所以，；故选：C；
【说明】本题主要考查的是三角比中的二倍角以及和差化积公式的应用，以及余弦三角比的有界性，要求熟练掌握并灵活运用这些公式；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知，，则__________.
【提示】由和差化积公式结合得出；
【答案】
【解析】因为，，所以，
则，；故答案为：；
【说明】本题考查了和差化积公式的直接应用；
6、在中，若，则是__________三角形
【提示】注意：利用三角形内角的隐含，结合和差化积公式进行化简；
【答案】直角
【解析】由得出
两边除以得，即
由，得到，所以，即
所以，则是直角三角形；故答案为：直角；
【说明】本题主要由和差化积公式化简得出，进而得出，从而判断的形状；是和差化积公式与三角形的简单交汇；.
7、推导辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)。
【提示】注意：按要求以目标：sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)进行变换与化简；
【推导过程】由asinx＋bcosx＝.
令cosφ＝，sinφ＝，则asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝确定
或由sinφ＝和cosφ＝共同确定；
【说明】通过本题说明教材上的辅助公式，只是其中的“一种表达形式”；所以，为了化为“一个角的一个三角比”，要以两角和差的余弦、正弦公式“四种”形式按题设要求进行变形；
8、已知，，求，的值．
【提示】注意：通过积化和差公式进行已知角与所求角之间的转换；
【答案】；；
【解析】
；
【说明】本题考查积化和差公式的应用；揭示了：和差化积与积化和差可以“改变角的表达形式”；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、已知，均为锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【提示】注意：题设，均为锐角，则且，且；
所以，就等价求：
【答案】A
【解析】因为，
所以，
即，故选A；
【说明】本题整合了等价转化、化切为弦与积化和差公式与代数“约分”；
10、设非负实数满足，求的最大值 ，最小值 ；
【提示】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解出的最大值和最小值，注意取等号的条件；
【答案】最大值为；最小值为；
【解析】令，，，
因为，所以，所以，
所以
，
所以，，
取最大值时或1，此时或，
取最小值时，此时.
【说明】本题考查用三角换元法求最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，难度较难.
（1）利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；
（2）三角比中的一组“万能公式”：，；
11、已知在△ABC中，A＞C，且B＝60°，能否利用log4sin A＋log4sin C＝－1求出A和C的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由。
【提示】注意：三角形内角的隐含条件：①A+C＝120°；②结合三角变换将“log4sin A＋log4sin C＝－1”等价转化；
【答案】A＝105°，C＝15°；
【解析】因为在△ABC中，B＝60°，所以A＋C＝120°， ①
因为log4sin A＋log4sin C＝－1，所以sin Asin C＝.
因为sin Asin C＝[cos(A－C)－cos(A＋C)]，
所以[cos(A－C)－cos(A＋C)]＝，
所以cos(A－C)＝＋cos(A＋C)＝＋cos 120°＝0.
又因为0°＜A－C＜180°，所以A－C＝90°.②
由①②，得A＝105°，C＝15°；
【说明】本题考查了对数运算、积化和差公式与已知三角比和注意角的范围求角；有一定的综合性；
12、（1）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求：sin(α＋β)的值；
（2）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求：cos(α＋β)的值；
（3）已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝－”，求：sin(α＋β)的值；
【提示】（1）利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解；
【答案】（1）sin(α＋β)=；（2）cos(α＋β)－；（3）sin(α＋β)＝－
【解析】（1）因为，cos α－cos β＝，所以，∴－2sinsin＝， ①
又因为，sin α－sin β＝－，所以，∴2cossin＝－， ②
又因为，sin≠0，所以，由①②，得－tan＝－，即tan＝.
所以，sin(α＋β)＝＝＝＝；
（2）因为cos α－cos β＝，所以－2sin sin ＝. ①
又因为sin α－sin β＝－，所以2cos sin ＝－. ②
因为sin ≠0，所以由①②，得－tan ＝－，即tan ＝.
所以cos(α＋β)＝＝＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))))＝－；
（3）因为cos α＋cos β＝，所以2cos cos ＝. ①
又因为sin α＋sin β＝－，所以2sin cos ＝－. ②
所以cos ≠0，所以由①②，得tan ＝－，
所以sin(α＋β)＝＝＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝－.
【说明】通过本题的三小题的题设、解法的类比；日常做题在注意“数量”的基础上，要学会归纳方法注意解题方法的发现与归类；
附：和差化积公式应用时的注意事项：
（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次；
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数化作三角比才能应用公式，
如－cos α＝cos －cos α；
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【学生版】
6.2.3 三角变换的应用（2）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①对于任意的，等式成立；（ ）
②对于任意的，等式成立；（ ）
③对于任意的，等式成立；（ ）
④对于任意的，等式成立；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题主要考查了和差化积公式的规范使用；
2、化为和差的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查积化和差公式的直接应用，与诱导公式解答交汇；
3、若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝( )
A． B．－ C． D．－
4、若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知，，则__________.
6、在中，若，则是__________三角形
7、推导辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)。
8、已知，，求，的值．
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、已知，均为锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10、设非负实数满足，求的最大值 ，最小值 ；
11、已知在△ABC中，A＞C，且B＝60°，能否利用log4sin A＋log4sin C＝－1求出A和C的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由。
12、（1）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求：sin(α＋β)的值；
（2）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求：cos(α＋β)的值；
（3）已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝－”，求：sin(α＋β)的值；
【教师版】
6.2.3 三角变换的应用（2）
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
①对于任意的，等式成立；（ ）
②对于任意的，等式成立；（ ）
③对于任意的，等式成立；（ ）
④对于任意的，等式成立；（ ）
【提示】先根据三角函数的和差化积公式化简，再判断是否正确；
【答案】①√；②×；③×；④×；
【解析】对于①，，所以，①是真命题；
对于②，，所以，②是假命题；
对于③，，所以，③是假命题；
对于④，
，所以，④是假命题；
【说明】本题主要考查了和差化积公式的规范使用；
2、化为和差的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【提示】直接利用积化和差公式化简即可；
【答案】B；
【解析】原式；故选：B；
【说明】本题考查积化和差公式的直接应用，与诱导公式解答交汇；
3、若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝( )
A． B．－ C． D．－
【提示】注意：灵活使用三角变换公式进行化简；
【答案】A；
【解析】因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos＝，因为sin 2x＋sin 2y＝，
所以2sincos＝，所以2sin·＝，所以sin(x＋y)＝，故选A；
【说明】本题主要考查了两角差的余弦公式与和差化积公式；强调对公式特征的理解与对推导过程的了解；
4、若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提示】通过二倍角降幂公式化简，再利用和差化积公式以及将，
化简为，再根据单位圆得出答案；
【答案】C；
【解析】
因为，，所以，．
又因为，，所以，；故选：C；
【说明】本题主要考查的是三角比中的二倍角以及和差化积公式的应用，以及余弦三角比的有界性，要求熟练掌握并灵活运用这些公式；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、已知，，则__________.
【提示】由和差化积公式结合得出；
【答案】
【解析】因为，，所以，
则，；故答案为：；
【说明】本题考查了和差化积公式的直接应用；
6、在中，若，则是__________三角形
【提示】注意：利用三角形内角的隐含，结合和差化积公式进行化简；
【答案】直角
【解析】由得出
两边除以得，即
由，得到，所以，即
所以，则是直角三角形；故答案为：直角；
【说明】本题主要由和差化积公式化简得出，进而得出，从而判断的形状；是和差化积公式与三角形的简单交汇；.
7、推导辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)。
【提示】注意：按要求以目标：sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)进行变换与化简；
【推导过程】由asinx＋bcosx＝.
令cosφ＝，sinφ＝，则asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝确定
或由sinφ＝和cosφ＝共同确定；
【说明】通过本题说明教材上的辅助公式，只是其中的“一种表达形式”；所以，为了化为“一个角的一个三角比”，要以两角和差的余弦、正弦公式“四种”形式按题设要求进行变形；
8、已知，，求，的值．
【提示】注意：通过积化和差公式进行已知角与所求角之间的转换；
【答案】；；
【解析】
；
【说明】本题考查积化和差公式的应用；揭示了：和差化积与积化和差可以“改变角的表达形式”；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、已知，均为锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【提示】注意：题设，均为锐角，则且，且；
所以，就等价求：
【答案】A
【解析】因为，
所以，
即，故选A；
【说明】本题整合了等价转化、化切为弦与积化和差公式与代数“约分”；
10、设非负实数满足，求的最大值 ，最小值 ；
【提示】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解出的最大值和最小值，注意取等号的条件；
【答案】最大值为；最小值为；
【解析】令，，，
因为，所以，所以，
所以
，
所以，，
取最大值时或1，此时或，
取最小值时，此时.
【说明】本题考查用三角换元法求最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，难度较难.
（1）利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；
（2）三角比中的一组“万能公式”：，；
11、已知在△ABC中，A＞C，且B＝60°，能否利用log4sin A＋log4sin C＝－1求出A和C的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由。
【提示】注意：三角形内角的隐含条件：①A+C＝120°；②结合三角变换将“log4sin A＋log4sin C＝－1”等价转化；
【答案】A＝105°，C＝15°；
【解析】因为在△ABC中，B＝60°，所以A＋C＝120°， ①
因为log4sin A＋log4sin C＝－1，所以sin Asin C＝.
因为sin Asin C＝[cos(A－C)－cos(A＋C)]，
所以[cos(A－C)－cos(A＋C)]＝，
所以cos(A－C)＝＋cos(A＋C)＝＋cos 120°＝0.
又因为0°＜A－C＜180°，所以A－C＝90°.②
由①②，得A＝105°，C＝15°；
【说明】本题考查了对数运算、积化和差公式与已知三角比和注意角的范围求角；有一定的综合性；
12、（1）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求：sin(α＋β)的值；
（2）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求：cos(α＋β)的值；
（3）已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝－”，求：sin(α＋β)的值；
【提示】（1）利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解；
【答案】（1）sin(α＋β)=；（2）cos(α＋β)－；（3）sin(α＋β)＝－
【解析】（1）因为，cos α－cos β＝，所以，∴－2sinsin＝， ①
又因为，sin α－sin β＝－，所以，∴2cossin＝－， ②
又因为，sin≠0，所以，由①②，得－tan＝－，即tan＝.
所以，sin(α＋β)＝＝＝＝；
（2）因为cos α－cos β＝，所以－2sin sin ＝. ①
又因为sin α－sin β＝－，所以2cos sin ＝－. ②
因为sin ≠0，所以由①②，得－tan ＝－，即tan ＝.
所以cos(α＋β)＝＝＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))))＝－；
（3）因为cos α＋cos β＝，所以2cos cos ＝. ①
又因为sin α＋sin β＝－，所以2sin cos ＝－. ②
所以cos ≠0，所以由①②，得tan ＝－，
所以sin(α＋β)＝＝＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝－.
【说明】通过本题的三小题的题设、解法的类比；日常做题在注意“数量”的基础上，要学会归纳方法注意解题方法的发现与归类；
附：和差化积公式应用时的注意事项：
（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次；
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数化作三角比才能应用公式，
如－cos α＝cos －cos α；
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