2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册6.3.2 余弦定理-同步配套分层练习

【沪教版2020】必修第二册《第 6 章 三角》【同步配套分层练习】
【学生版】
6.3.2 余弦定理
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
在判断下列命题时，不妨约定，在△ABC中，角A、B、C，对应的边依次记作a、b、c；
①余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形；（ ）
②在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形；（ ）
③在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一；（ ）
④在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例；（ ）
⑤余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况；（ ）
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题综合考查了余弦定理的特征、适用情况于其它三角变换的交汇；
2、在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于（ ）
A．60° B．45°或135° C．120° D．30°
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】本题考查了已知三边利用余弦定理求角；
3、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于（ ）
A．1 B．2 C. －1 D.
4、在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于
6、已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝_______
7、已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c；
8、在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、在△ABC中，如果边a，b，c满足a≤(b＋c)，则A（ ）
A．一定是锐角 B．一定是钝角 C．一定是直角 D．以上情况都有可能
10、若，，为钝角三角形的三边长，则实数的取值范围为
11、在中，角所对的边分别为，已知；
（1）求：角的大小；
（2）若，求：的取值范围；
12、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.
（1）证明：a＋b＝2c；（2）求cos C的最小值
【教师版】
6.3.2 余弦定理
【必做题】落实与理解教材要求的基本教学内容；
1、判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）
在判断下列命题时，不妨约定，在△ABC中，角A、B、C，对应的边依次记作a、b、c；
①余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形；（ ）
②在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形；（ ）
③在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一；（ ）
④在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例；（ ）
⑤余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况；（ ）
【提示】注意：理解余弦定理的特征特殊角三角比、任意角的三角比的符号规则；
【答案】①√；②√；③×；④√；⑤×；
【解析】对于①，余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形；所以，①是真命题；
对于②，当a2>b2＋c2时，cos A＝<0，因为0所以，②是真命题；
对于③，当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定；
所以，③是假命题；
对于④，由c2＝a2＋b2－2abcos90o，即c2＝a2＋b2；所以，④是真命题；
对于⑤，也适用于已知两边及一对角，所以，⑤是假命题；
【说明】本题综合考查了余弦定理的特征、适用情况于其它三角变换的交汇；
2、在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于（ ）
A．60° B．45°或135° C．120° D．30°
【提示】注意：题设代数式于余弦定理的结构上的“整体”联系；
【答案】C；
【解析】因为，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac，所以，cosB＝－，又因为，0°【说明】本题考查了已知三边利用余弦定理求角；
3、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于（ ）
A．1 B．2 C. －1 D.
【提示】注意：余弦定理是“等式”的特征；
【答案】B；
【解析】由余弦定理得cos A＝，所以，＝，所以，c2－2＝c，则c＝2或c＝－1(舍)；
【说明】本题考查了余弦定理于数学待定系数法、方程知识的交汇；同时说明：在三角形的6个元素中要已知三个（至少有一边）才能求解，已知一边和两角用正弦定理解，已知三边用余弦定理解，已知两边和夹角及已知两边和其中一边的对角解三角形时，正、余弦定理可能都要用到；
4、在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【提示】注意：“适当”进行边、角互化；
【答案】C；
【解析】因为，2cos Bsin A＝sin C，所以，2××a＝c，所以，a＝b.故△ABC为等腰三角形；
【说明】本题考查了利用余弦定理判别三角形形状；一般而言：题设中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断；
【标答题】掌握与体验用相关数学知识与方法规范审题、析题、答题；
5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于
【提示】理解题设，可得已知条件是“两边一夹角”
【答案】c＝；
【解析】由已知cos(A＋B)＝，得cos C＝－，再由c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，
所以，c＝；
【说明】本题考查了余弦定理于三角形内角和、诱导公式的简单交汇；
6、已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝_______
【提示】理解题设，可得已知条件是“两边一夹角”的解三角形问题
【答案】30°；
【解析】由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×＝12，所以，c＝2.
再由正弦定理＝，得，sin A＝＝＝，又因为，0°【说明】本题考查了正弦、余弦定理的初步综合应用；特别注意：在三角形中，已知三角比正弦求角的“一解还是二解”问题；
7、已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c；
【提示】注意审题“已知两边一对角，求第三边”，考虑简捷求解；
【答案】c＝3或c＝5；
【解析】由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得72＝82＋c2－2×8×ccos 60°，
整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5；
【说明】通过本题说明：在三角形的6个元素中要已知三个（至少有一边）才能求解，已知一边和两角用正弦定理解，已知三边用余弦定理解，已知两边和夹角及已知两边和其中一边的对角解三角形时，正、余弦定理可能都要用到；但是，若要简单合理地求解，还得注意：审题与“解题规划”；
8、在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
【提示】注意：画草图，明确本题属于“已知两边一对角，求第三边”
【答案】有两个；
【解析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，所以，22＝a2＋(2)2－2a×2cos 30°，
即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4；
当a＝2时，三边为2，2，2可组成三角形；
当a＝4时，三边为4，2，2也可组成三角形；
所以，满足条件的三角形有两个；
【说明】本题考查了余弦定理与三角形三边必须满足的条件的交汇；一般而言：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单；
同时：根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换；在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件；
【自选题】提升与拓展课本知识与方法，具有知识与方法的交汇与综合，由学生自主选择尝试。
9、在△ABC中，如果边a，b，c满足a≤(b＋c)，则A（ ）
A．一定是锐角 B．一定是钝角 C．一定是直角 D．以上情况都有可能
【提示】注意：题设“a≤(b＋c)”与余弦定理的关联；
【答案】A；
【解析】已知不等式两边平方，得a2≤，
利用余弦定理，得cos A＝≥＝≥＝，
因为，A为三角形的内角，所以，0【说明】本题综合考查了不等式性质、余弦定理与已知三角比求角等；用好不等式性质是解答本题的切入点；
10、若，，为钝角三角形的三边长，则实数的取值范围为
【提示】注意：三角形的三边长含参数，以及“钝角三角形”
【答案】；
【解析】由题意，，，是三角形的三边长，所以，，解得：，
此时最大，
要使，，是三角形的三边长，还需，解得：；
设最长边所对的角为，则，
所以，解得：.
综上可知实数的取值范围是；
【说明】本题考查余弦定理与构成三角形的性质的综合；由三角形的性质知最大，设其对的角为，由两边之和大于第三边知，再利用余弦定理，解不等式可得解；解题时易忽略的是三角形两边之和大于第三边知，以此，考查学生的分析审题能力与运算求解能力；
11、在中，角所对的边分别为，已知；
（1）求：角的大小；
（2）若，求：的取值范围；
【提示】注意：结合三角形内角和与三角变换求角；建立b与参数的关系；
【答案】（1）B＝；（2）；
【解析】（1）因为，所以，，
即，
因为，，所以，，则；
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，
所以，，又，则的取值范围是．
【说明】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，再结合三角形边关系求得的取值范围；
12、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.
（1）证明：a＋b＝2c；（2）求cos C的最小值
【提示】注意：三角变换与利用正弦、余弦定理实现边角互化；
【解析】（1）由题意知2＝＋，
化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，
即2sin(A＋B)＝sin A＋sinB．
因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
从而sin A＋sin B＝2sin C；由正弦定理得a＋b＝2c；
（2）由（1）知c＝，所以cos C＝＝＝－≥，
当且仅当a＝b时，等号成立；故cos C的最小值为；
【说明】本题考查了三角变换、利用正弦、余弦定理的综合应用；同时渗透了对基本不等式的考查；
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