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向量的加法运算教学设计
课题 向量的加法运算 单元 第六单元 学科 数学 年级 高一
教材分析 向量的加法运算》是2019人教A版高中数学必修第二册第六章的内容。本节是第二节《平面向量的运算》中的内容。 向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样，也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。其中，三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有普遍的应用。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 向量加法的概念 2逻辑推理： 向量加法的几何意义 3数学运算： 向量加法的运算律 4数学建模： 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 5直观想象： 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
重点 向量加法的运算法则，能熟练地进行向量加法运算
难点 理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算. 本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. 问题1 有一名广州游客想去北京游玩，但是由于当天没有直达北京的航班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机先从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图）. 这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的. 位移是向量，它们可以合成，我们能否从位移的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 下面先学习向量的加法. 情境导入 从具体实例出发，结合图形，思考并发现向量加法的运算法则。
讲授新课 向量的加法运算 思考 如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 物理知识告诉我们，这个质点两处位移的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同.因此，位移可以看成是位移合成的.数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作是的和，即位移的合成可以看作向量的加法. 如图6.2-2，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即. 所以两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 思考 向量加法的三角形法则具体作法是？ 答 先把两个向量首位顺次连接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量. 如图所示 探究 如果向量 a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量a+b吗？ 答： （1）当a与b同向时： 方向相同时，类似于有理数加法中的“同号两数相加”，即和向量的长度等于两个向量的长度之和，方向与它们相同. （2）当a与b反向时： 方向相反时，类似于有理数加法中的“异号两数相加”，作法，依然可用三角形法则. 其和向量的长度等于用较长向量的模减去较短向量的模，方向取模较长的向量的方向. 如图所示 我们再来看力的合成问题. 思考 如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？ 我们知道，合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长. 从运算的角度看，F可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法. 如图6.2-4，以同一点O为起点的两个已知向量 a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量 （OC是 OACB的对角线）就是向量a与b的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. 思考 向量加法的平行四边形法则具体作法是？ 答：先把两个向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和. ★ 以A为始点，作，，以AB，AD为邻边作 ABCD，则以A为起点的向量 （AC是 ABCD的对角线）就是向量a与b的和. 记作 , 如图 ★ 对于零向量与任意向量a，我们规定 a+0 = 0+a = a. 思考 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 向量加法的平行四边形法则与三角形法则 区别： 三角形法则中强调“首位相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点” 三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. 联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的. 例1 如图6.2-5，已知向量 a，b，求作向量 a+b. 作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，，则. 作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，，以 OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则 . 探究 结合例1，探究|a+b|、|a|、|b|之间的关系. 答： a，b不共线时，|a+b|<|a|+|b| a，b同向时，|a+b|=|a|+|b| a，b反向时，|a+b|=|a|-|b| （或 |b|-|a|） 一般地，我们有 |a+b|≤|a|+|b| 当且仅当 a，b方向相同时等号成立. 根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算. 探究 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 如图6.2-7（1），作，，以AB，AD为邻边作 ABCD，容易发现，，故 . 又 所以 a+b=b+a . 由图6.2-7（2），你能否验证 a+（b+c）=（a+b）+c ？ 答： ∵ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律. 向量加法的运算律 交换律结合律
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到）. 解：（1）如图6.2-9. 表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作 ABCD，则表示船实际航行的速度. （2）在Rt△ABC中，，，于是 因为 ，所以利用计算工具可得 . 因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，方向与江水速度间的夹角约为. 课堂练习： 1 如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c. 作法：在平面内任取一点O，如图所示， 作，，，则. 注： (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连” ，即 将n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为起点，最后一个向量的终点为终点，即可得到这n个向量的和向量． 这也叫做向量加法的多边形法则。 如图 (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单． 2 如图，在 ABCD中，O是AC和BD的交点. （1） （2） （3） （4） 解： （1） （2） （3） （4） 3 化简： （1） （2） （3） 解： （1） （2） （3） 4 (1)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________； (2)当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角． 解: (1) 由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|， 当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4； (2)由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角． 答案: (1)4 (2)|a|＝|b| 注： 1．本题易忽视a＋b的模是大于等于0的，不会灵活运用三角形法则和平行四边形法则而致误． 2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系 (1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边． (2)当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当向量a与b反向，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|. 5 一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置. 解：如图所示， 设 ， 分别是直升飞机的位移， 则表示两次位移的合位移， 即 . 在Rt△ABD中， km km 在Rt△ACD中， km , 即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地 km处. 学生动手作图 回顾物理力的合成，体会向量加法的平行四边形法则 进一步认识平行向量加法的四边形法则 从位移出发，给出向量加法的概念及几何意义 给出向量加法的三角形法则 从力的合成出发，给出向量加法的平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则 通过对比，加深对向量加法的平行四边形法则与三角形法则的认识 例题巩固 探讨向量加法的运算律 练习巩固
课堂小结 1 向量的加法：求两个向量和的运算 2 向量加法的依据：三角形法则和平行四边形法则 3向量加法满足交换律和结合律 4利用向量加法解决实际问题 向量加法的依据 运算法则 三角形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点A，作＝a，＝b， 再作向量结论向量叫做a与b的和，记作_ _____， 即a＋b＝＋＝_图形 平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法以同一点O为起点的两个已知向量a， b，以OA，OB为邻边作 OACB，结论则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和图形规定对于零向量与任意向量a，规定 a+0 = 0+a = a.
板书 1 向量的加法 2 向量加法的依据 3向量加法的运算律 4 向量加法的应用
教学反思
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
6.2.1向量的加法运算
人教A版（2019）
必修第二册
新知导入
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.
本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.
新知导入
问题1 有一名广州游客想去北京游玩，但是由于当天没有直达北京的航班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机先从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图）.
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
位移是向量，它们可以合成，我们能否从位移的合成中得到启发，引进向量的加法呢？
新知讲解
思考
如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
物理知识告诉我们，这个质点两处位移的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同.
因此，位移可以看成是位移合成的.
数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作是的和，即位移的合成可以看作向量的加法.
新知讲解
如图6.2-2，
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，
作，，则向量叫做a与b的和，
记作a+b，即.
所以两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
思考
向量加法的三角形法则具体作法是？
答：
先把两个向量首位顺次连接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.
如图所示
探究向量加法的三角形法则
合作探究
合作探究
探究
如果向量 a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量a+b吗？
答：
（1）当 a 与 b 同向时：
（2）当 a 与 b 反向时：
方向相同时，类似于有理数加法中的“同号两数相加”，
即和向量的长度等于两个向量的长度之和，方向与它们相同.
方向相反时，类似于有理数加法中的“异号两数相加，作法，依然可用三角形法则.
其和向量的长度等于用较长向量的模减去较短向量的模，方向取模较长的向量的方向.
如图所示
合作探究
我们再来看力的合成问题.
思考
如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？
我们知道，合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.
从运算的角度看，F可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法.
合作探究
如图6.2-4，以同一点O为起点的两个已知向量 a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量 （OC是 OACB的对角线）就是向量a与b的和.
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
合作探究
探究向量加法的平行四边形法则
思考
向量加法的平行四边形法则具体作法是？
答：
先把两个向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和.
★ 以A为始点，作，，以AB，AD为邻边作 ABCD，则以A为起点的向量 （AC是 ABCD的对角线）就是向量a与b的和.
记作 , 如图
★ 对于零向量与任意向量 a，我们规定 a+0 = 0+a = a.
a＋b
合作探究
思考
向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
向量加法的平行四边形法则与三角形法则
区别：
三角形法则中强调“首位相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”
②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
联系：
合作探究
例1
如图6.2-5，已知向量 a，b，求作向量 a+b.
作法1：
作法2：
在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），
作，，则.
在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，，以 OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则 .
合作探究
探究
结合例1，探究|a+b|、|a|、|b|之间的关系.
答：
a，b不共线时，|a+b|<|a|+|b|
a，b同向时，|a+b|=|a|+|b|
a，b反向时，|a+b|=|a|-|b| （或 |b|-|a|）
一般地，我们有 |a+b|≤|a|+|b| ，当且仅当 a，b方向相同时等号成立.
合作探究
探究
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
如图6.2-7（1），作，，以AB，AD为邻边作 ABCD，
容易发现，，
故 .
又
所以 a+b=b+a .
合作探究
问题
由图6.2-7（2），你能否验证
a+（b+c）=（a+b）+c ？
答：
∵
∴
又 ∵
∴
∴
合作探究
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.
向量加法的运算律
交换律
结合律
合作探究
例2
长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到）.
合作探究
解：
（1）如图6.2-9
表示船速，表示江水速度，
以AD，AB为邻边作 ABCD，
则表示船实际航行的速度.
（2）在Rt△ABC中，，，于是
因为 ，所以利用计算工具可得 .
因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，方向与江水速度间的夹角约为.
课堂练习
1 如图，已知 a，b，c，求作向量 a＋b＋c.
作法 ：
在平面内任取一点O，如图所示，
作，，，
则.
课堂练习
(2) 平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3) 求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．
注：
(1) 三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连” ，即
将n个向量首尾相连，
以第一个向量的始点为起点，
最后一个向量的终点为终点，
即可得到这n个向量的和向量．
这也叫做向量加法的多边形法则。
如图
课堂练习
2 如图，在 ABCD中，O是AC和BD的交点.
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
课堂练习
3 化简
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
（3）
解：
课堂练习
4 (1)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________；
(2)当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角．
解：
(1) 由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，
当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；
(2)由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．
答案: (1)4 (2)|a|＝|b|
课堂练习
注：
1．本题易忽视a＋b的模是大于等于0的，不会灵活运用三角形法则和平行四边形法则而致误．
2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系
(1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当向量a与b反向，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
课堂练习
5 一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.
解：
如图所示，
设 ， 分别是直升飞机的位移，
则表示两次位移的合位移，
即 .
在Rt△ABD中， km km
在Rt△ACD中， km ,
即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地 km处
课堂总结
1 向量的加法：求两个向量和的运算
2 向量加法的依据：三角形法则和平行四边形法则
3 向量加法满足交换律和结合律
4 利用向量加法解决实际问题
课堂总结
向量加法的依据
板书设计
1 向量的加法
2 向量加法的依据
3 向量加法的运算律
4 向量加法的应用
作业布置
课本22页习题6.2
1，2，
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