高中数学北师大版（2019）必修第二册三角恒等变换单元卷1 （word含解析）

三角恒等变换单元卷1
一、单选题
1．下列函数中，周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设直线与函数、、的图象在内交点的横坐标依次是、、，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为（ ）
A．5 B．10 C． D．
4．已知为第三象限角，sin(3π－α)＝－，则( )
A． B． C． D．
5．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
7．己知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数中与是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的最小值为
12．已知，，则（ ）
A． B．为第一或第三象限角
C． D．若，则
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为___________.
14．意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为，并称其为双曲余弦函数．若对恒成立，则实数的取值范围为______．

15．已知，则___________________．
16．已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，则___________.
四、解答题
17．已知，，求的值．
18．已知函数的部分图象如图所示，图象与轴交于点．
(1)求函数的最小正周期及，的值；
(2)已知，，求的值，
19．已知函数的部分图象如图所示，且在处取得最大值，图象与轴交于点．
(1)求函数的解析式；
(2)若，且，求的值．
20．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
21．已知，.
(1)求的值；
(2)求的值．
22．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若为锐角，，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
对于A、B：直接求出周期；
对于C：先用二倍角公式化简，再求其周期；
对于D：不是周期函数，即可判断.
【详解】
对于A：的周期为，故A错误；
对于B：的周期为，故B错误；
对于C：，所以其周期为，故C正确；
对于D：不是周期函数，没有最小正周期，故D错误.
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
根据直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，得到，再利用两角和的三角函数的公式求解.
【详解】
因为直线与函数，，的图像在内交点的横坐标依次为，，，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
3．A
【解析】
【分析】
利用同角关系式可得，再利用正弦定理即求.
【详解】
因为，所以.
因为，所以，
故外接圆的半径为5.
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
根据sin(3π－α)＝－结合诱导公式求出sinα，再由同角三角函数关系求得cosα.
【详解】
∵，∴，
又∵为第三象限角，∴，
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
根据已知条件结合正切的和角公式求得，结合同角三角函数关系，求得，再利用正弦和余弦的倍角公式，代值计算即可.
【详解】
因为，故可得，解得，
因为， 又，故可得，
又.
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
先逆用二倍角公式化简函数，再利用公式计算函数最小正周期即可.
【详解】
函数，
其中函数的最小正周期为，函数的最小正周期为
所以函数的最小正周期为.
故选：B.
7．B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系式求解.
【详解】
因为是第二象限角，，且，
所以.
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
利用倍角公式，以及同角三角函数关系，整理化简即可求得正切值.
【详解】
因为，
即，解得.
故选：C.
9．BC
【解析】
【分析】
结合奇偶性、诱导公式、二倍角公式确定正确答案.
【详解】
是偶函数，是奇函数，A选项错误.
，B选项正确.
，C选项正确.
，B选项错误.
故选：BC
10．ACD
【解析】
【分析】
利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.
【详解】
对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；
对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；
对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.
故选：ACD.
11．AD
【解析】
【分析】
分别研究，的最小正周期即可判断A选项；时，，再分段研究即可判断B选项；取特殊值，判断C选项；研究函数在一个周期内的值域判断D选项.
【详解】
解：对于A选项，由于函数的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A选项正确；
对于B选项，当时，，且当时，，此时函数在单调递减；当时，，此时函数在上单调递增，故B选项错误；
对于C选项，由于，，故函数的图象不关于直线对称，故C选项错误；
对于D选项，由题知，当时，，，此时函数在上的值域为；当时，，，此时函数在上的值域为，故函数在一个周期内的值域为，进而函数的值域为，即最小值为，故D选项正确.
故选：AD
12．BC
【解析】
【分析】
由题意确定出所在的象限即可判断A，进而判断的符号可以判断D，再结合二倍角公式判断C，最后根据，求出的范围，然后对n的奇偶性进行讨论，最后判断B.
【详解】
因为，，所以在第二象限，则，A错误；
易知，则D错误；
，C正确；
因为，若，则，则为第一象限角，若，则，则为第三象限角，则B正确.
故选：BC.
13．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
化简可得，由函数的最大值可求得的值，由图象可得出该函数的最小正周期，可求得的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式.
【详解】
由己知，由图象可知取，
函数的最小正周期为，则，
由，得，可得，
因为，则，所以，.
故答案为：（答案不唯一）.
14．
【解析】
【分析】
首先利用奇偶性、单调性定义可得为偶函数、在上递增， 上递减，可将题设不等关系化为在上恒成立，即可求参数范围.
【详解】
，故为偶函数，
令，则，
又，，故，
∴在上递增，故上递减，
∴在上恒成立，则且，故在上恒成立，
令，而
∴，故时，
，故时，
∴的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用的奇偶性、单调性将问题转化为在上恒成立求范围.
15．##
【解析】
【分析】
分子分母同时除以，再代入即可得出答案.
【详解】
对原式分子分母同时除以，
则.
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
由同角三角函数的关系先求出，由二倍角公式求出，由三角函数的定义以及同角三角函数的关系先求出，再分析出，从而求出的值，得出答案.
【详解】
由，则
所以，
所以由，，可得
由角终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，
则， 则
所以
所以由
所以
故答案为：
17．
【解析】
【分析】
先求得，再利用两角和的正切公式求解.
【详解】
因为，，
所以，
所以.
18．(1)最小正周期， ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由周期公式可求得最小正周期,根据函数的最大值点可求得，将代入解析式，可求得A.
（2）根据角结合已知可求得，再利用两角差的正弦公式即可求得答案.
(1)
的最小正周期，
∵为最大值，则，，
而，故取，
∵函数图象过，∴，
(2)
，
∵，∴，∴，∴，
∴.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据图象可得函数的周期，从而求得，结合函数在处取得最大值，可求得的值，再根据图象与轴交于点，可求得，从而可得解；
（2）根据（1）及角的范围求得，，再利用两角差的余弦公式进行化简可求解.
(1)
由图象可知函数的周期为，所以.
又因为函数在处取得最大值
所以，所以，
因为，所以，
故.
又因为，所以，
所以.
(2)
由（1）有，
因为，则，
由于，从而，
因此.
所以
.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和的正切公式计算可得结果；
（2）利用两角差的正切公式计算可得结果.
(1)
解：原式.
(2)
解：原式.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式求出的值，然后利用诱导公式结合弦化切可求得的值；
（2）利用两角差的正切公式可求得的值.
(1)
解：，所以，.
所以，.
(2)
解：.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角变换公式可得，利用整体法可求单调减区间.
（2）利用两角差的余弦可求的值.
(1)
，
令，则，
故函数的单调递减区间为.
(2)
由可得，
因为锐角，故，而，
故，所以，
而.
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