高中数学北师大版（2019）必修第二册复数单元卷1 （word含解析）

复数单元卷1
一、单选题
1．已知是虚数单位，若，则复数z的虚部为（ ）
A．3 B．－3i C．-3 D．3i
2．已知复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若复数z满足，则（ ）．A． B．
C． D．
5．已知复数满足，则复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．2
6．若复数为纯虚数，则复数在复平面所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限
7．设复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
8．设（i是虚数单位，，），则（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．任意两个复数都不能比大小
B．若，则当且仅当时，
C．若，且，则
D．若复数z满足，则的最大值为3
10．已知i是虚数单位，复数（z的共轭复数为），则下列说法中正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．的实部为1
D．z在复平面内对应的点在第三象限
11．设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
12．已知复数（i为虚数单位），，则下列结论中正确的是（ ）
A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第四象限
C． D．若，则的最大值为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知复数（为虚数单位），则的模为______．
14．已知复数的实部为1，，则______．
15．复数的模为______.
16．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______．
四、解答题
17．计算：．
18．已知关于x的二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值.
19．已知，复数z满足，求z．
20．设实数x y满足，求x y的值.
21．将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．已知求复数z.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由复数的除法运算可得答案.
【详解】
由题得，所以复数z的虚部为－3.
故选：C.
2．B
【解析】
【分析】
先根据复数的乘除法求出，再求共轭复数即可.
【详解】
由，得，所以.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
根据表示圆心为，半径为1的圆上点，再表示圆上点到原点距离，即可确定最大值.
【详解】
令，，则表示与距离为1的点集，即，
此时，表示圆上点到原点距离，
所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，
所以圆上点到原点的最大为2.
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则求得复数，再求其共轭复数即可.
【详解】
因为，故.
故选：C．
5．A
【解析】
【分析】
根据复数的概念和运算法则即可求解.
【详解】
由题意得，，
所以复数的虚部为.
故选：A.
6．C
【解析】
【分析】
根据复数的分类，纯虚数的概念，求出a，即可判断出点得象限．
【详解】
∵复数﹣4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数,
∴实部﹣4＝0①，虚部a＋2≠0②，由①②解得a＝2.
故对应的点为(4，－2)位于第四象限.
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
先化简复数为代数形式，再得到其共轭复数，即得结果.
【详解】
因为，所以，虚部为.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
利用复数的乘法求出x、y，即可求出.
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：B
9．BD
【解析】
【分析】
通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.
【详解】
解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；
对于B选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；
对于C选项，当，满足，但，所以C不正确；
对于D选项，复数z满足，则复数z在复平面内的轨迹为单位圆，则的几何意义，是单位圆上的点到的距离，它的最大值为3，所以D正确；
故选：BD.
10．BD
【解析】
【分析】
应用复数的除法求z，进而写出，结合各选项的描述判断正误.
【详解】
，故，
A：的虚部为2，故不正确；
B：，故正确；
C：的实部为，故不正确；
D：对应的点为在第三象限，故正确.
故选：BD
11．BD
【解析】
【分析】
设，根据复数求模公式、乘法法则、几何意义等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
设，则 ，
对于A：，，故A错误；
对于B：，，
故，故B正确；
对于C：若，在复平面对应的点为，则，故C错误；
对于D：，表示z对应的点Z在以（1,0）为圆心，1为半径的圆上，
则表示点Z与原点（0,0）的距离，
当点Z在原点时，最小为0，
当点时，最大为2，
所以，故D正确.
故选：BD
12．BCD
【解析】
【分析】
（1）先求出的共轭复数，进而求出，从而得到的虚部，在复平面对应的点所在的象限，以及，D选项要先设出，根据得到对应复平面的点在圆心为 ，半径的圆上，由几何方法得到的最大值.
【详解】
因为，所以，所以，的虚部为，A选项错误；的实部为，虚部为，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确；，C正确；，设，则，则，两边平方得：，即复数可以看做复平面内的点，则该点在圆心为 ，半径的圆上，连接原点与圆心并延长，与圆的交点即为的最大值，此时，D正确.
故选：BCD
13．1
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出复数即可计算作答.
【详解】
依题意，，则，
所以的模为1.
故答案为：1
14．
【解析】
【分析】
利用复数的模的概念即得.
【详解】
由题可设，又，
∴，解得，
∴.
故答案为：.
15．10
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算可得，再求模即可.
【详解】
，
∴.
故答案为：10
16．##
【解析】
【分析】
设，则，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解．
【详解】
解：设，则，
甲：由可得，则，
乙：由可得：，
丙：由可得，即，所以，
若，则，则不成立，，则，解得或，
所以甲，丙正确，乙错误，
此时或，又复数对应的点在复平面第一象限内，
所以，
故答案为：．
17．
【解析】
【分析】
利用复数的除法可得结果.
【详解】
.
18．.
【解析】
【分析】
首先设二次方程的实数根为，代入方程求的，再利用复数模的公式，结合基本不等式，即可求得模的最小值.
【详解】
设为方程的实根，则
，
当即时，.
19．
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得；
【详解】
解：复数，复数满足，
，
，
，
．
20．，
【解析】
【分析】
根据复数乘法的运算性质，结合复数相等的性质进行求解即可.
【详解】
，
所以，.
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解.
(1)
(2)
(3)
(4)
.
22．或.
【解析】
【分析】
设 ，根据复数代数形式的乘法运算法则及复数相等的充要条件得到方程组解得即可；
【详解】
解：设 ，则，所以，即，则
解得或，
故或.
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